江苏省睢宁高级中学2026-2027学年度高一年级上学期10月考试数学试题

江苏省睢宁高级中学高一年级10月调研 数学试题 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中的一元二次方程得到集合A的元素，再根据并集的定义计算即可. 【详解】由，因式分解得，解得或，因此. 因为，所以. 2．已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题，所以命题为. 3．命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 4． 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 5． 若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 6．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定 【答案】A 【分析】利用平衡条件得出的表达式，再结合基本不等式求出答案即可. 【详解】设顾客实际购得的黄金为，天平左臂长为， 右臂长为，且， 设第一次称量时放在右盘的黄金质量为克，第二次称量放在左盘的黄金质量为克， 可得，解得， 而，当且仅当时等号成立， 由于，可得，故A正确. 故选：A 7．关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分类讨论，，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围． 【详解】由可得， 当时，无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 综上所述：或， 所以实数的取值范围为或． 故选：B． 8.已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】分三类分别假设三个关系中仅有一个成立，结合集合元素的互异性与排列性质验证，最后代入计算目标式值. 【详解】已知，即为1,2,3的无重复排列，且三个关系有且只有一个正确，分类讨论如下： 若仅①正确，即，②③均错误： 由②错误得，由③错误得，此时仅能取2、3， 结合，无符合条件的取值，排除该情况； 若仅②正确，即，①③均错误： 由①错误得，此时，与集合元素互异性矛盾，排除该情况； 若仅③正确，即，①②均错误： 由①错误得，由②错误得，剩余未分配元素为1、2， 结合得，，符合条件. 代入计算得. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 设，，下列选项正确的是（ ） A. 集合的子集个数为4 B. 若，则 C. 存在实数使得为假命题 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求解集合，再结合集合子集性质、交集运算、集合包含关系对各选项逐一分析. 【详解】对于A：，有2个元素，子集个数为，A正确； 对于B：若，则且.由得，解得， 此时，因，故，，，满足条件，B正确； 对于C：由得，即都属于，则，即，无解， 即不存在实数，使得成立，因此存在使得为假命题，C正确； 对于D：若，分情况讨论： ①时，满足； ②时，需，解得； ③时，需，解得； 综上可得，D错误. 10. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，代入a值，先算判别式判断有无实根，再看能否使用韦达定理描述实数根之和； 选项B，两正根需同时满足判别式非负、两根和大于 0、两根积大于 0，联立不等式求解参数范围；选项C，先求出无实根对应的a范围，再通过区间包含关系判断充分不必要条件； 选项D，一正一负根只需两根之积小于0，对比选项给出的参数范围判断正误． 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 13．若关于的不等式的解集为，则的最小值为_______ 【答案】8 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 14．高斯，著名的数学家､物理学家､天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】不等式可化为，分三类情况讨论解集，由不等式的解集为，求的取值范围. 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由写出集合，根据补集的运算求出，求出集合，根据交集运算求出. （2）由“”是“”成立的必要不充分条件得到集合是集合的真子集，根据真子集的定义列出的不等式（组），计算求解. 【小问1详解】 当时，集合，则或， 又由不等式解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，集合，当时，， 因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集， 则且等号不能同时成立，解得， 所以正实数m的取值范围是. 16．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且，对角线过点，已知米，米. (1)若矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； (2)求矩形花坛的面积的最小值. 【答案】(1) (2)192平方米 【分析】（1）设的长为米，则可得矩形的面积为，即有，解出即可得； （2）利用矩形的面积公式列出解析式，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由可知， 设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积为， 由，得，解得或， 又，所以， 故的长的取值范围是. （2）由题意得矩形花坛的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当的长为米时，矩形花坛的面积最小，最小值为平方米. 17．（15分）已知为实数，集合．若命题，；命题q：若，恒成立． （1）若命题是真命题，求实数取值范围． （2）若命题是真命题，求实数取值范围． （3）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造二次函数，求区间最大值大于0得到p为真的m范围； （2）分离参数用基本不等式求最小值，解绝对值不等式得到q为真的m范围； （3）分p真q假、p假q真两类取交集，合并得到仅有一个真命题时m的范围． 【小问1详解】 设函数，开口向上，对称轴为， 在区间上，得最大值在端点处取得，， 命题为真等价于，即， 解得或，即． 【小问2详解】 不等式对恒成立， 时，恒成立，满足条件； 时，不等式变形为恒成立， ，当且仅当时取等号，故在上的最小值为4， 故，则，解得， 故实数取值范围． 【小问3详解】 为真时，或；为假时，； 为真时，；为假时，或； 当为真，为假时，解得或； 当为真，为假时，解得； 综上可得，． 18. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19．已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”. （1）若集合是“二元和谐集”，求m的值； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1） （2）证明如下： 集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得（舍）或， 即，所以中至少有一个大于2. （3）存在，1个，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，，故只有，满足要求， 所以，得， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 省睢中高一年级10月调研 数学试题 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3．命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4． 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5． 若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定 7．关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8.已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 设，，下列选项正确的是（ ） A. 集合的子集个数为4 B. 若，则 C. 存在实数使得为假命题 D. 若，则 10. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 13．若关于的不等式的解集为，则的最小值为_______ 14．高斯，著名的数学家､物理学家､天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 16．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且，对角线过点，已知米，米. (1)若矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； (2)求矩形花坛的面积的最小值. 17．（15分）已知为实数，集合．若命题，；命题q：若，恒成立． （1）若命题是真命题，求实数取值范围． （2）若命题是真命题，求实数取值范围． （3）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数取值范围． 18. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 19．已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”. （1）若集合是“二元和谐集”，求m的值； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $