江苏省海安高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高一 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知全集U={-1,0,1,2,3),集合A=0,1,2},B={-1,0,1,则(CuA)nB=（) A.{-1 B.{0,1 C.{-1,2,3) D.{-1,0,1,3} 2.命题p:3x≤0，x2-2x+a≤0的否定是() A.x≤0，x2-2x+a>0 B.3x>0,x2-2x+a≤0 C.x>0,x2-2x+a≤0 D.3x≤0，x2-2x+a>0 3.不等式221的解集为（) a动 B c.(m-u+） D.(o-[2树 4.设x∈R,则0<x<5”是|x-1<1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{dx<-2或x>3},则不等式 cx2-bx+a<0的解集是() A. B 3 -3或x>2引 D 6.已知集合A={xax=2,a∈R,B=〔-1,1}，若ASB,则所有a的取值构成的集合为() A.{-2 B.{-2,2} C.{0,2} D.{-2,0,2} 7.若方程x2+(1-k)x-2(k+1)=0有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间(2,3)内，则 实数k的取值范围是() A.(3,4) B.(2,3) C.(1,3) D.(1,2) 高一数学（共2页） 8.已知命题p:“3x∈{l≤y≤2}，x-a≥0”，命题9：“xeR,x2+2ax+4≥0”.若两个命题中 全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数a的取值范围是() A.{d-2<as1} B.{ala<-2} c.{d-2<a<2} D.{al≤a<2} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.下列命题为假命题的是() A.“A∩B≠⑦”是“A三B”的必要不充分条件 B.若P={y1y=x},0={xy=x},则Pc2 C.方程x2+x+a=0有两个负根的充要条件是a>0 D.已知集合M=1,m,m2+3,且4∈M,则m的取值构成的集合为{-l,1,4} 10.设正实数x,y满足x+y=1,则() A.xy有最大值为 B.2+y有最小值为 C.Vx+I+√y+2有最大值为2W2 D.y+有最小值为5 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，用其名字命名的“高 斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，如：[1.2]=1，[-1.2]= 一2，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行 计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是() A.不等式-≤冈≤的解集为[-10,1 B.若vxe信，引，x2-a网+9>0恒成立，则实数a<6 C.不等式2[x2-13[x+21<0的解集为x3<x< D.若不等式[x]2-2[x]-m≤0的解集为x10≤x<3},则0≤m<3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.不等式+b(x+c≤0的解集为x-1≤x<2或x≥3引，则6+c=· a-x 13.不等式x2-x-2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1,则a的取值范围为一 第1页 14.对于实数x,y,z,记max{x,y,z}为x,y,z中的最大者，例如：max{L,2,3}=3, max2,29y=9,max5,55引=5.设实数a,ce(0,2],且b≥3a或a+b≤号，则max亿-a,e-b,4-2c 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(1)若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-6<0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围； (2)若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-6<0对一切a∈[-5,5]恒成立，求实数x的取值范围. 16.(15分)计算下列各式的值 4)an5°+份5+a-v22-22: (2)1og21-lg3·1og32-lg5; (3)已知a,bc为正实数，a=b=C,++=0,求abc的值. 17.(15分)已知集合A={x2x-x2≥0}，集合B={xx2-x+a-a2<0} (1I)若AUB=A,求a的取值范围； (2)在AnB中有且仅有两个整数，求a的取值范围. 高-数学（共2页） 18.(17分)()已知x>1,y>1且x+2y=4,求若+的最小值： ②已知a>6l,若g,b1loga=3求年g的最大位。 a+4 19.(17分)若集合A=BUB2UUBn,其中B,B2,,Bn为非空集合，B∩B,=(1≤i<j≤n), 则称集合{B,B2,…,Bn}为集合A的一个n划分. (1)写出集合A={1,2,3}的所有不同的2划分： (2)设{B,B2}为有理数集2的一个2划分，且满足对任意x∈B,任意y∈B2,都有x<y,判断命 题“B中的元素存在最大值，B2中的元素存在最小值.”的真假，并说明理由 (3)设集合A={L,2,3,…,16},对于集合A的任意一个3划分{B,B2,B},证明：存在i∈{L,2,3},存 在a,b∈B,使得b-a∈B,. 第2页 高一 数学学科 一、单选题 1.已知全集U=〔-1,0,1,2,3，集合A={0,1,2,B={-1,0,1,则(Cu4)nB=() A.{-1 B.{0,1 C.〔-1,23 D.{-1,0,1,3} 【答案】A 2.命题p:3x≤0，x2-2x+a≤0的否定是() A.x≤0，x2-2x+a>0 B.3x>0,x2-2x+a≤0 C.x>0,x2-2x+a≤0 D.3x≤0，x2-2x+a>0 【答案】A 3不等式221的解集为() a别 a周 c.(-u树 D.(-1U 【答案】A 4.设x∈R,则“0<x<5"是x-1<1"的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{dx<-2或x>3},则不等式cx2-bx+a<0 的解集是() 引 c引 【答案】B 试卷第1页（共9页） 6.已知集合A={xax=2,aER,B={-1,1},若ASB,则所有a的取值构成的集合为() A.{-2} B.{-2,2 C.0,2} D.{-2,0,2} 【答案】D 7.若方程x2+(1-k)x-2(亿+)=0有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间(2,3)内，则实数k的 取值范围是() A.(3,4) B.(2,3) C.(1,3) D.(1,2) 【答案】D 8.已知命题p:“3x∈y1≤y≤2，x-a≥0”，命题q:“x∈R,x2+2ax+4≥0”.若两个命题中全称 量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数α的取值范围是() A.{al-2<as 1}B.(ala<-2} c.{d-2<a<23 D.{a1≤a<2} 【答案】B 【详解】命题p为存在量词命题，命题q为全称量词命题，由题意得q为假命题，p为真命题， ①当q为假命题时，其否定“3x∈R,x2+2ax+4<0”为真命题， 即二次方程x2+2ax+4=0有两个不相等的实根， 故判别式A=(2a)2-4×1×4>0,得4a2-16>0,即a2>4,解得a<-2或a>2: ②当p为真命题时，因为x的取值范围是1≤x≤2，x的最大值是2， 只需a≤2即可满足条件，故p为真命题时a≤2， 取上述两个范围的交集，可得实数a的取值范围是{ala<-2). 二、多选题 9.下列命题为假命题的是() A.“AnB≠”是“ASB”的必要不充分条件 B.若P=yly=x2},Q={xy=x2},则P≤Q C.方程x2+x+a=0有两个负根的充要条件是a>0 D.已知集合M=1,m,m2+3),且4∈M,则m的取值构成的集合为{-1,1,4) 【答案】ACD 【详解】对于A,AnB≠O只能得到集合A,B有公共元素，并不能得到ASB, 反之，由ASB,可能有A=,此时AnB=0, 因此“A∩B≠”是“ASB的既不充分也不必要条件，A是假命题； 对于B,依题意，P=[0,+o),Q=R,PSQ,B不是假命题； 对于C,其充要条件是1-4a之0且a>0,解得0<a≤C是假命题： 对于D,由集合M=(1,m,m2+3,得m≠1，因此m的取值构成的集合中不含元素1，D是假命题. 试卷第2页（共9页） 10.设正实数x,y满足x+y=1,则() A.y有最大值为 B.x2+y2有最小值为 C.Vx+1+√y+2有最大值为2V2 D.兰+有最小值为5 【答案】ABD 【详解】对于A:y≤（停）=份- 当且仅当x=y=时等号成立， 故xy的最大值为2A正确： 对于B:x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,由A知xy的最大值为2， 因此1-2xy的最小值为1-2×=2当且仅当x=y=时等号成立， 即x2+y2最小值为，故B正确： 对于C:设S=Vx+I+√y+2,平方得： s2=(x+1)+0y+2)+2√x+1)y+2)=4+2Vx+1)0y+2) 因为(x+1)0+2)≤(40+2'-4，因此32≤8，即5≤2V2, 但等号成立条件为x+1=y+2,结合x+y=1解得x=1,y=0, 不满足y是正实数，等号取不到，因此不存在最大值2√2，故C错误： 对于D:将x=1-代入兰+号可得警+兴+进+=-4+任+》 1-y 因+与-+)c+刃=5+兰+≥5+2臣手=9，竖+之4+9=5， 当且仅当：=手即x=子y=时等号成立，此时经+有最小值为5，故D正确， 试卷第3页（共9页） 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数” 为：设x∈R,用[x)表示不超过x的最大整数，则y=[x称为高斯函数，如：[1.2]=1，[-1.2]=-2，高斯 函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高 斯函数”的描述，正确的是() A.不等式-≤冈≤的解集为-10,1 B.若vx∈，引，-a[y+9>0恒成立，则实数a<6 C.不等式2[2-13[+21<0的解集为x3<x<) D.若不等式[x]2-2[x)-m≤0的解集为{x0≤x<3},则0≤m<3 【答案】BD 【详解】满足不等式-子≤[冈≤的整数为-1,01， [x=-1对应x∈[-1,0)，[x=0对应x∈[0,1)，[x=1对应x∈[1,2)， 满足不等式的区间为[-1,2)，故A错误： 当xe[信引时，冈的取值为1,23,4，令t=冈，不等式t2-at+9>0对t=1,23,4恒成立， t=1时：1-a+9>0→a<10:t=2时：4-2a+9>0→a<号 t=3时：9-3a+9>0→a<6:t=4时：16-4a+9>0→a<空 综上可得，a<6,故B正确： 22-13[+21=(2[-7)(1-3)<0,解得3<冈< ·[x]是整数，故无满足条件的整数解， 解集为0，故C错误； 不等式[x]2-2[x]-m≤0的解集为{x0≤x<3,则[x)∈{0,1,2}， 令t=[x,不等式化为t2-2t-m≤0， 当=012时.2-2-m≤0，m之P-2,则之9 m≥0， 当t=3时，需满足32-2×3-m>0,解得m<3, 综上可得0≤m<3,故D正确 故选：BD 试卷第4页（共9页） 12.不等式+bx+cs0的解集为x-1≤x<2或x≥3引，则b+c= a-x 【答案】2 13.不等式x2-x-2<0成立的-个充分不必要条件是a<x<a2+1,则a的取值范围为· 【答案】-1<a≤1 【详解】由不等式x2-x-2<0,得-1<x<2, 不等式x2-x-2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1, a<a2+1 ∴(a,a2+l)=（-l2),则{a2-1且a≥-1与a2+1≤2的等号不同时成立，解得-1<a≤1， a2+1≤2 ∴.a的取值范围为-l<a≤1， 14设实数a,ace02,且b23a或a+b≤号则mxb-a,c-64-2d的最小值为— 【答案】号【详解】令1=mxb-a,c-b4-2c,则12b-a,≥c-b,124-2c, 当623a时.3+2+1≥30b-+2e-+4-2z=6-3a+424,即1≥号 当a+6s等时，+2+12b-+2-)+4-2=4-a+6)号即号 、2 3 当a月b=1,c-月时，6-a=6-6=42e=号 所以mxb-4e-64-24的最小值为号 15.(1)若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-6<0对一切xeR恒成立，求实数a的取值范围 (2)若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-6<0对一切aE[-5,5]恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】(1)因为(a-3)x2+2(a-3)x-6<0对一切xeR恒成立 ①当a=3时，-6<0恒成立，所以a=3符合题意 a-3<0 ②当a≠3时，{a=4a-32+24a-3)<0'则-3×a<3 综上，a的取值范围为(-3,3]： 6分 (2)因为不等式(a-3)x2+2(a-3)x-6<0对一切aE[-5,5]恒成立 所以(x2+2x)a-3x2-6x-6<0对一切aE[-5,5]恒成立 令f(a)=(x2+2x)a-3x2-6x-6,则 (f(-5)=(x2+2x)(-5)-3x2-6x-6<0 (f(5)=5(x2+2x)-3x2-6x-6<0' 所以-3<K-或-x<1 所以a的取值范围为(-3，-2)U(-1) -13分 试卷第5页（共9页） 16.计算下列各式的值. (1)am5°+)5+-V回2-2e2: (2)log21-1g3.log32-1g5: (3)已知a,,c为正实数，a=b=c,++=0,求abc的值. 【详解】1D0m5°+（份5+1-回2-2e2 =1+2+-)-2e2 =+v2-V2=别 5分 (2)1og21-lg3·1og32-lg5=0-lg3.g-lg5=-0g2+1g5)=-lg10=-1.- -10分 (3)a,b,c为正实数，a*=by=c2, 设a*=by=c2=k>0, 由指数与对数的互换，结合换底公式化简可知 a=k,所以x=ogk=器 b=k,所以y=1ogk=器 c2=k,所以z=1gk=整 因为2+1+1=0， x y2 紧+紫+紧=0，即如业=签=0， g欧 lgk 所以Igabc=0, 即abc=1. -15分 试卷第6页（共9页） 17.已知集合A={x2x-x2≥0}，集合B={xx2-x+a-a2<0} (I)若AUB=A,求a的取值范围： (2)在AnB中有且仅有两个整数，求a的取值范围. 【详解】(1)由2x-x2≥0→0≤x≤2，所以A=[0,2]. 由x2-x+a-a2<0→(x-a)[x-(1-a)]<0, 因为AUB=A,所以BSA, 当a=1-a时，即a=时，不等式为(x-)2<0,显然该不等式解集为空集， 即B=D,显然BSA成立： 当a>1-a时，即a>时，B=(1-a,a), 要想BcA只带日22→aS1,而a>分所y<a51: 当a<1-a时，即a<时，B=(a,1-a), 要起BsA,只需{10日2→a≥0，而a<克所以05a<分 综上所述：a的取值范围为[0,1]： 一7分 (2)由(1)可知：当a=时，B=0,此时AnB=0不符合题意： 由(1)可知：当a>时，B=(1-a,a四， 要想AnB时有且仅有两个整数，贝<8公或0≤日5：<1， a>2 {021<a≤2，显然a>7所以1<a≤2 由0≤1g<1→ae0, a>2 所以1<a≤2； 由(1)可知：a<时，B=(a,1-a), 要超AnB肿有且仅有两个整数，只乱1<二852或三8S2 此1<8s2-1≤a<0,而a<克即-1≤a<0 msaiaco. 所以-1≤a<0, 综上所述：a的取值范围为(1,2]U[-1,0). -15分 试卷第7页（共9页） 18()已知x>1,y>1且x+2y=4,求÷+，异的最小值 5 (2已知a>6>1,若1og.6+lo,a=求 b的最大值. a+ 【详解】(1)6+4v2 一8分 【(2)因为1ogb+lOga=)，所以ogb+135 5 log,b2' 所以21og.b)2-51og.b+2=0,(1og.b-2)21og.b-1)=0, 1 解得log,b=2或log.b= 21 因为a>b>1,所以0<ogb<1, 1 所以1og,6=2所以a=, -12分 b b 1 11 s、 所以a+462+4b+ 2,6. 44, 当且仅当b=4 即b=2时取等号， 所以B 的最大值为 -17分 a+4 19.若集合A=B1UB2UUB,其中B1,B2,,Bn为非空集合，B:nB;=0(1≤i<j≤n),则称集 合{B1,B2,,Bn3为集合A的一个n划分. (1)写出集合A={1,2,3的所有不同的2划分： (2)设{B1,B2}为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意x∈B1,任意y∈B2,都有x<y,判断命题“B1中 的元素存在最大值，B2中的元素存在最小值.”的真假，并说明理由。 (3)设集合A={1,2,3,,16,对于集合A的任意一个3划分{B1,B2,B3,证明：存在i∈{1,2,3，存在Q,b∈B1, 使得b-a∈B. 【答案】(1)1,2,3，{1,33，{2}，{2,3，[1} 4分1个1分，写全得4分 (2)该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设B1中元素的最大值为s,B2中元素的最小值为t,由题可知：s<t,所以s<<t, 2 因为s为B1中元素的最大值，所以生gB1, 因为为B2中元素的最小值，所以营EB2, 因为B1UB2=Q,所以gQ, 这与€Q矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立： 10分 试卷第8页（共9页） (3)由于集合A中有16个元素，所以B1,B2,B3中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设B1中至少包含6个元素， 设b1,b2,b3,b4,b5,b6∈B1,且b1<b2<b3<b4<b5<b6 假设对任意i∈1,2,3，对任意a,b∈B,都有b-a年B, 那么b6-b1,b6-b2,b6-b3,b6-b4,b6-b5EB1 又因为b6-b1,b6-b2,b6-bg,b6-b4:b6-bs∈A, 所以b6-b1,b6-b2,b6-b3,b6-b4,b6-bs∈B2UBg, 则B2,B3中必有一个集合至少包含b6-b1,b6-b2,b6-b3,b6-b4,b6-b5中的3个元素， 不妨设这3个元素为a1,a2,ag∈B2,a1<a2<a3, 由假设可知：a3-a1,a3-a2,a2-a1EB2,对任意i,j(1≤j<i≤3)，存在m,n(1≤m<n≤5)， 都有a-aj=b6-bm-b6+bn=bn-bmEB1 又因为a3-a1,a3-a2,a2-a1∈B3,而a3-a1-(a3-a2)=a2-a1,与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在i∈{1,2,3，存在a,b∈B,使得b-a∈B: -17分 试卷第9页（共9页）