江苏省扬州市南京师范大学第二附属高级中学2026～2027学年高一上学期月考数学试卷（10月份）

高一年级第一学期10月数学学情调研 命题人：杜丽审核人：朱斌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.命题3x<0,x2-2x≥0的否定是() A.x<0,x2-2x≤0 B.∀x≤0，x2-2x<0 C.x≥0，x2-2x<0 D.x<0,x2-2x<0 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时需同时否定结论，且x<0保持不变. 【解答】“x<0,x2-2x≥0”的否定为“x<0,x2-2x<0”,故选D. 2.已知全集U=R,集合A={x0<<2},B={x|x>1},则图中阴影部分所表示的集合为() A.{x0Kx<2}B.{x|1<x<2} C.{x|0<x≤1 D.x|0<x<1 【答案】C 【分析】阴影部分是A中不属于B的部分，即A⌒(CB). 【解答】由B={xx>I,得CB={x|x≤1. 又A={x|0<x<2},所以A⌒(CB)={x|0<x≤1}，故选C. 3不等式22的部华为《) A2x≤3 7 B.xx之2或<2 7 C.2≤r≤ D.cx2，或x≤2 【答案】B 【分析】先移项通分，把分式不等式化为一边为零的形式，再转化为整式不等式. 【解答】由3 -2 6s2,得3。-2≤0，即3-12)≤0， x-2 所以7-2s0,即2x-7之0 0. x-2 x-2 高一第一学期10月数学学情调研1页（共9页） 个 解得K2或x之2故解集为{xx≥2或2少，选B. 4.若A=x|0<<1},B={x|<4),则A是B的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断A三B是否成立，再判断B≤A是否成立. 【解答】因为O<x<I时必有x<4,所以A三B,即A是B的充分条件： 但B中元素不一定属于A,如x=0,所以A不是B的必要条件. 因此A是B的充分不必要条件，选A. x2,x≤0 5.设函数f(x)= 6 则f(f(-2)() x+ -6,x>0 A.-1 B.、1 2 c.1 D.2 【答案】B 【分析】按x≤0与x>O选择对应解析式，先求内层函数值，再求外层函数值. 【解答】因为-2≤0，所以f(-2)=(-2)=4. 因为40，所以4)=4+年-6=4+ 6s、1 3 2 放-2)-f4)-子选B 6.对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为() 1、1 A.若ab≠0且a<b,则二> B.若a>b,cd,则ac>bd a b C.若a<b0,则a>ab>b D.若c>>b>0,则a<b c-a c-b 【答案】C 【分析】逐项判断，注意不等式两边同乘负数时不等号方向改变；可举反例排除. 【解答】A项，取a=-1,b=1,则b,但1=-1<=1，故A错误： a b B项，取a=1,b=-2,c=0,d=-3,则a>b,cd,但ac=0<bd=6,故B错误； C项，由a<b<0,两边同乘<0，得aab:两边同乘b<0,得ab>b,所以ab>b,故C正确： D项，因为ca>b>0,所以c-a>0,c-b>0,且 a b_a(c-b)-b(c-a)c(a-B) >0, c-ac-b（c-a)(c-b)（c-a)(c-b) 高一第一学期10月数学学情调研2页（共9页） 所以a>b c-ac-6'故D错误.故选c 7.若命题x∈[1,4]，x2-6x-a≤0”为假命题，则a的取值范围是() A.[-5,+0） B.（-5,+0) C.(-0,-5] D.（-0,-5) 【答案】D 【分析】全称量词命题为假，等价于其否定存在量词命题为真：再求g(x)=x2-6x在[1,4]上的最大值. 【解答】命题x∈[1,4，x2-6x-a≤0”为假， 等价于存在x∈[1,4]，使a<x2-6x. 令g(x)=x2-6x=(x-3)-9,则g(x)在[1,3]上单调递减，在[3,4上单调递增， 且g(1)=-5,g(4)=-8,所以g(x)=-5, 因此aK-5,即a∈（-o,-5),选D 8.若正实数xy满足1Dg2(x+3y)=10g4x+log2(2y),则3x+y的最小值是（) A.8 B.6 C.16 D.12 【答案】A 【分析】先利用对数运算性质把条件化为x+3y=2y,再用“乘1法与基本不等式求最小值. 【解答】由og,x=og,x2=logx, 得1og3(x+3y)=logx+1og2（2y)=10g2(2y), 所以x+3y=2.两边同除以y,得1+3-2. 于是 所以3x+y≥8.当且仅当x=y时取等号，此时x=y=2,满足条件. 故3x+y的最小值为8，选A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若集合A={xx+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】BC 【分析】集合只有一个元素，需分a=0与a≠0两种情况讨论：a≠0时方程有两个相等实根. 【解答】当4=0时，方程化为2x+1=0,解得x=-,集合只有一个元素，符合题意： 2 高一第一学期10月数学学情调研3页（共9页） 当a≠0时，方程为一元二次方程，只有一个实根需△=2-4a=0,解得a=1,此时根为x=-1,符 合题意、 综上，a=0或a=1,故选BC. 10.设正实数，n满足m+n=2,则下列说法正确的是() A.⊥+4的最小值为？ B.nm的最大值为1 n C.√m+√n的最大值为2 D.m2+n的最大值为2 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及“1的代换逐项判断，注意等号成立条件。 【解答】A项， 上+4L+4m+n= m n 2 m n mn) 2 4 当且仅当n=21,即=二，n=-时取等号，故A正确： m+n B项，n≤ =1,当且仅当m=n=1时取等号，故B正确： 2 C项， （Nm+Vn=m+n+2mm=2+2√mn≤4，所以√m+Vn≤2，当且仅当m=n=1时取等 号，故C正确： D项，m2+n2=(m+n-2m=4-2m.因为0<m≤1，所以2≤m2+n2<4,即最小值为2，没 有最大值，故D错误。 故选ABC. 11.己知k∈Z,若关于x的不等式x2-x<k(x-1)只有一个整数解，则k的可能取值有() A.1 B.-1 C.0 D.3 【答案】BD 【分析】因式分解后按k>1、k=1、k<1讨论解集，再数其中的整数， 【解答】不等式可化为x2-(k+1)x+k<0,即(x-1)(x-k)<0. 当k>1时，解集为(1，k).若只有一个整数解，则整数解只能是2，故k=3: 当k=1时，(x-1)<0,无解： 当k<1时，解集为(k,1).若只有一个整数解，则整数解只能是0，故k=-1. 综上，k的可能取值为-1,3，故选BD. 高一第一学期10月数学学情调研4页（共9页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=V2x-4 的定义域为 x-3 【答案】[2,3)U(3,+0) 【分析】偶次根号下非负，分母不为零。 【解答】由题意得2x-4≥0且x-3≠0，解得x≥2且x≠3. 所以定义域为2,3)U(3,+o). 13.己知关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>},则x-bx+c>0的解集为 【答案】{x|x<-1或x>2} 【分析】由解集形状确定a>0,再利用韦达定理把b,c用a表示. 【解答】因为x2+bx+c<0的解集为{xx<-2或x>1},所以a>0,且-2,1是方程x2+bx+c=0的 两根。 由韦达定理，一-2+1=-b, ,-2x1=C,所以b=a,c=-2a. 不等式x2-bx+c>0化为x2-x-2a>0,即a(x-2)(x+1)>0. 因为a>0,所以(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2. 故解集为{xx<-1或x>2} 14.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽 车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈N),则 被租出去的汽车会减少10x辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每 天的租金定价为元. 【答案】250 【分析】设提高10x元，列出每天收入关于x的不等式，注意x∈N”且1≤x≤20， 【解答】提高10x元后，每辆车每天租金为200+10x元，租出300-10x辆， 每天收入为(200+10x)(300-10x)元. 由题意，(200+10x)(300-10x)>62400, 两边同除以100，得(20+x)(30-x)>624, 整理得x2-10x+24<0,即(x-4)(x-6)<0,所以4<x<6. 又xeN,所以x=5. 此时租金为200+10×5=250（元）. 高一第一学期10月数学学情调研5页（共9页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)己知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的解析式. (2)画出函数f(x)=(x-1)+1,x∈(-2,3]的图象，并求其值域. 【答x】①f-r+,(2图家见解将，值城为L10). 【分析】(1)用待定系数法，比较f(x+1)-f(x)与x+1的系数；(2)结合二次函数的对称轴与端点 值作图、求值域. 【解答】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=0,得c=0. 由f(x+1)=f(x)+x+1,得 a(x+1)+b(x+1)-(ax2+bx)=2ax+a+b=x+1. 比较系数，得2a-1,a+6=1,所以a分号 故f到式+ (2)f(x)=（x-1)+1的图象是开口向上、顶点为(1,1)、对称轴为x=1的抛物线. 因为f(-2)=10,f(1)=1,f(3)=5,且x=-2取不到，所以图象如下： (-2,10) ---0 (3,5) (1.1) -2-10 12 由图象可知，函数在x=1处取得最小值1：当x从右侧趋近于-2时，函数值趋近于10但取不到10. 因此函数的值域为1,10). 高一第一学期10月数学学情调研6页（共9页） 16.(15分) (1)计算： @s()(9+0可： ②g25+1g4+782-1g3×og4. (2)己知a2+a2=3,求下列各式的值： ①a+a1: ②a+a 【答案】(1)①π-25：②2.(2)①7：②V5. 【分析】(1)利用指数幂、根式与对数的运算法则；(2)利用平方关系整体求值，注意4+a4>0 【解答】(1)①原式=4-25-1+3-π=4-25-1+π-3=π-25. ②原式=lg(25×4)+2-log3·l0g34 =lg100+2-1og24=2+2-2=2. (2)①因为+a寸=3，两边平方得 a+2+a1=9,所以a+a1=7. ②设t=a4+a4,则t>0,且 t2=a2+2+a3=3+2=5, 所以t=√5，即a4+a4=√5. 17.(15分) 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5}，非空集合B={x|2-a≤x≤1+2，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B的充分条件，求a的取值范围： (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1)[2，+0)：(2) 【分析】先由B≠⑦求出α的必要范围，再把充分、必要条件转化为集合的包含关系. 【解答】因为B非空，所以2-a≤1+2a,解得a≥ 3 (1)“x∈A”是“x∈B的充分条件，即A三B, 所以2-a≤1且1+2a≥5，解得a≥1且a≥2，即a≥2. 第合a写得a2+), (2)“x∈A”是“x∈B的必要不充分条件，即B≤A且B≠A. 由B∈A,得2-a≥1且1+2a≤5，解得a≤1且a≤2，即a≤1. 高一第一学期10月数学学情调研7页（共9页） 结合a得时a1 当a1时，B=L3引，满E乃三A且8≠A:当a时.B=局 5 也满足B三A且B≠A. 故a的取值范围〉 18.(17分) 已知二次函数y=x2-2x+a,其中a∈R. (1)当a=-8时，求不等式y<0的解集； (2)若任意x>0时，不等式y>0恒成立，求实数a的取值范围； (3)解关于x的不等式y>a(x-1). 【答案】(1)(-2,4)：(2)(（1，+o):(3)当a<2时，解集为{x<a或x>2}:当a=2时，解集为 {xx≠2}；当a>2时，解集为{x|x<2或x>. 【分析】(1)解一元二次不等式：(2)分离参数，求x>0时2x-x2的最大值：(3)因式分解后按两 根大小分类讨论 【解答】(1)当a=-8时，y=x2-2x-8. 由y<0,得x2-2x-8<0,即(x-4)(x+2)<0,解得-2<x<4. 所以解集为(-2,4) (2)当x>0时，y>0恒成立，即x2-2x+a>0恒成立， 所以>-x+2x=-(x-1)+1恒成立. 因为当x=1时，-(x-1)+1取得最大值1，所以a>1. 故a的取值范围为1，+0). (3)由y>a(x-1),得x2-2x+a>x-a, 即x2-(a+2)x+2a>0,亦即(x-2)(x-4)>0. 当a<2时，解集为{x|x<a或x>2}: 当a=2时，(x-2)>0,解集为{xx≠2}： 当a>2时，解集为{xx<2或x>a. 高一第一学期10月数学学情调研8页（共9页） 19.(17分) 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素α，b,c∈A,使得a-b=b-c,则称A为 “等差集” (1)若集合A=1,3,5,9},B三A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B: (2)若集合A={1,m,m2-}是等差集”，求m的值： (3)己知正整数n≥3，证明：{x,x2,x,…,x}不是“等差集”. 【答案】(1){1,3,5}，{1,5,9}，{1,3,5,9}： (2)m=2: (3)证明见解答. 【分析】(1)在A中找出所有三项等差子集，再写出包含它们的子集；(2)按三个元素中哪一个为等 差中项分类：(3)设出三个不同次幂，利用等差中项关系推出矛盾， 【解答】(1)A={1,3,5,9}中的三项等差子集有{1,3,5}和{1,5,9} 因此满足条件的B为{1,3,5}，{1,5,9}，{1,3,5,9} (2)因为A是三元素集合，且为“等差集”，所以其中一个元素是另外两个元素的等差中项. 若m为等差中项，则21=1+(2-1)=m,解得m=0或m=2；又m为正整数，故m=2: 若1为等差中项，则2=m+(m-1),即+m-3=0,无正整数解： 3 若m2-1为等差中项，则2m2-1)=1+,即2m2-m-3=0,解得m=三或m=-1,均不符合m 为正整数. 综上，m=2. (3)反证.假设{x,x2,x2,…,x}是等差集”， 则存在三个不同元素x”,x,x(1≤p<q<r≤n)成等差数列 由于x为正整数，若x=1,则集合中只有一个元素，与n≥3及三个不同元素矛盾，所以x≥2. 三个幂按大小排列为x<x9<x,故等差中项只能是x,即 x2+x=2x9. 两边同除以x2,得1+xp=2x-p 令d=q-p≥1，e=r-q≥1，则1+xa+e=2x2, 即x(2-x)=1. 但x≥2，d≥1，e≥1，所以x>0,2-X≤0，从而x(2-x）≤0，不可能等于1，矛盾. 因此{x,x,x,…,x}不是“等差集” 高一第一学期10月数学学情调研9页（共9页）高一年级第一学期10月数学学情调研 命题人：杜丽审核人：朱斌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.命题“x<0,x2-2x≥0”的否定是（) A.∀x<0,x2-2x≤0 B.x≤0，x2-2x<0 C.∀x≥0，x2-2x<0 D.Vx<0,x2-2x<0 2.已知全集U=R,集合A={x|0<x<2),B={xx>1},则图中阴影部分所表示的集合为() A.{x|0<x<2}B.{x|1<x<2 C.{x|0Kx≤1 D.{x|0<x<I} 2≤2的解集为() 3.不等式3 A.bi B.xx≥7或<2y C. D.1x≥7或x≤2y 2 4.若A={x|0x<1,B={x|x<4),则A是B的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2,x≤0 5.设函数f(x)= x+6-60'则f(-2》() A.-1 B C.1 D.2 高一第一学期10月数学学情调研1页（共4页） 6.对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为() A.若ab≠0且a<b,则1} B.若a>b,c>d,则ac>bd a b C.若a<b<0,则a2>ab>b2 D.若c>a>b>0,则a<b c-a c-b 7.若命题“x∈[1,4]，x2-6x-a≤0”为假命题，则a的取值范围是() A.[-5,+m) B.(5,+∞) C.(-0,-5] D.（-n,-5) 8.若正实数x,y满足1og2(x+3)=1og4x2+log2(2y),则3x+y的最小值是（) A.8 B.6 C.16 D.12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若集合A={x|2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值（) A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设正实数m,n满足m+n=2,则下列说法正确的是（) A.1+4的最小值为9 B.wm的最大值为1 nn C.√m+√n的最大值为2 D.nr+n的最大值为2 11.已知k∈Z,若关于x的不等式x2-x<k(x-1)只有一个整数解，则k的可能取值有() A.1 B.-1 C.0 D.3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数)=2x4的定义域为 x-3 13.己知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1},则x2-br+c>0的解集为 14.某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽 车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈N),则被 租出去的汽车会减少10x辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天 的租金定价为元. 高一第一学期10月数学学情调研2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分 (1)己知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的解析式. (2)画出函数f(x)=(x-1)+1,x∈(-2,3的图象，并求其值域. 16.(15分) (1)计算： 0-((0-: ②1g25+lg4+782-log23×log34. (2)已知+a=3,求下列各式的值： ①a+a1； @a+a」 17.(15分) 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5}，非空集合B={x|2-a≤x≤1+2，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B的必要不充分条件，求a的取值范围. 高一第一学期10月数学学情调研3页（共4页） 18.(17分) 已知二次函数y=x2-2x+a,其中a∈R. (1)当a=-8时，求不等式y<0的解集： (2)若任意x>0时，不等式y>0恒成立，求实数α的取值范围： (3)解关于x的不等式y>(x-1). 19.(17分) 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a,b,c∈A,使得a-b=b-c,则称A为“等 差集”. (1)若集合A={1,3,5,9},B二A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B; (2)若集合A={1,m,m2-1}是“等差集”，求m的值： (3)己知正整数n≥3，证明：{x,x2,x3,…,x”}不是“等差集”. 高一第一学期10月数学学情调研4页（共4页） 高一年级第一学期 10 月数学学情调研 命题人：杜丽　　审核人：朱斌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时需同时否定结论，且保持不变． 【解答】“”的否定为“”，故选D． 2．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】阴影部分是中不属于的部分，即． 【解答】由，得． 又，所以，故选C． 3．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项通分，把分式不等式化为一边为零的形式，再转化为整式不等式． 【解答】由，得，即， 所以，即． 解得或，故解集为，选B． 4．若，，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断是否成立，再判断是否成立． 【解答】因为时必有，所以，即是的充分条件； 但中元素不一定属于，如，所以不是的必要条件． 因此是的充分不必要条件，选A． 5．设函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按与选择对应解析式，先求内层函数值，再求外层函数值． 【解答】因为，所以． 因为，所以． 故，选B． 6．对于实数，下列命题是真命题的为（　　） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】逐项判断，注意不等式两边同乘负数时不等号方向改变；可举反例排除． 【解答】A项，取，，则，但，故A错误； B项，取，，，，则，，但，故B错误； C项，由，两边同乘，得；两边同乘，得，所以，故C正确； D项，因为，所以，，且 ， 所以，故D错误．故选C． 7．若命题“”为假命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】全称量词命题为假，等价于其否定存在量词命题为真；再求在上的最大值． 【解答】命题“”为假， 等价于存在，使． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以． 因此，即，选D． 8．若正实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数运算性质把条件化为，再用“乘1法”与基本不等式求最小值． 【解答】由， 得， 所以．两边同除以，得． 于是 ， 所以．当且仅当时取等号，此时，满足条件． 故的最小值为8，选A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若集合中只有一个元素，则的值（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】集合只有一个元素，需分与两种情况讨论；时方程有两个相等实根． 【解答】当时，方程化为，解得，集合只有一个元素，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，只有一个实根需，解得，此时根为，符合题意． 综上，或，故选BC． 10．设正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为2 D．的最大值为2 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及“1”的代换逐项判断，注意等号成立条件． 【解答】A项，， 当且仅当，即，时取等号，故A正确； B项，，当且仅当时取等号，故B正确； C项，，所以，当且仅当时取等号，故C正确； D项，．因为，所以，即最小值为2，没有最大值，故D错误． 故选ABC． 11．已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】因式分解后按、、讨论解集，再数其中的整数． 【解答】不等式可化为，即． 当时，解集为．若只有一个整数解，则整数解只能是2，故； 当时，，无解； 当时，解集为．若只有一个整数解，则整数解只能是0，故． 综上，的可能取值为，故选BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】偶次根号下非负，分母不为零． 【解答】由题意得且，解得且． 所以定义域为． 13．已知关于的不等式的解集为，则的解集为______． 【答案】 【分析】由解集形状确定，再利用韦达定理把用表示． 【解答】因为的解集为，所以，且是方程的两根． 由韦达定理，，，所以，． 不等式化为，即． 因为，所以，解得或． 故解集为． 14．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆．若要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为______元． 【答案】250 【分析】设提高元，列出每天收入关于的不等式，注意且． 【解答】提高元后，每辆车每天租金为元，租出辆， 每天收入为元． 由题意，． 两边同除以100，得， 整理得，即，所以． 又，所以． 此时租金为（元）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知是二次函数，若，且，求函数的解析式． （2）画出函数，的图象，并求其值域． 【答案】（1）；（2）图象见解答，值域为． 【分析】（1）用待定系数法，比较与的系数；（2）结合二次函数的对称轴与端点值作图、求值域． 【解答】（1）设（）． 由，得． 由，得 ． 比较系数，得，，所以，． 故． （2）的图象是开口向上、顶点为、对称轴为的抛物线． 因为，，，且取不到，所以图象如下： 由图象可知，函数在处取得最小值1；当从右侧趋近于时，函数值趋近于10但取不到10． 因此函数的值域为． 16．（15分） （1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　②． 【答案】（1）①；②．（2）①；②． 【分析】（1）利用指数幂、根式与对数的运算法则；（2）利用平方关系整体求值，注意． 【解答】（1）①原式． ②原式 ． （2）①因为，两边平方得 ，所以． ②设，则，且 ， 所以，即． 17．（15分） 设全集，集合，非空集合，其中． （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】先由求出的必要范围，再把充分、必要条件转化为集合的包含关系． 【解答】因为非空，所以，解得． （1）“”是“”的充分条件，即， 所以且，解得且，即． 结合，得． （2）“”是“”的必要不充分条件，即且． 由，得且，解得且，即． 结合，得． 当时，，满足且；当时，，也满足且． 故的取值范围为． 18．（17分） 已知二次函数，其中． （1）当时，求不等式的解集； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）解一元二次不等式；（2）分离参数，求时的最大值；（3）因式分解后按两根大小分类讨论． 【解答】（1）当时，． 由，得，即，解得． 所以解集为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 所以恒成立． 因为当时，取得最大值1，所以． 故的取值范围为． （3）由，得， 即，亦即． 当时，解集为； 当时，，解集为； 当时，解集为． 19．（17分） 设是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”． （1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； （2）若集合是“等差集”，求的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 【答案】（1），，； （2）； （3）证明见解答． 【分析】（1）在中找出所有三项等差子集，再写出包含它们的子集；（2）按三个元素中哪一个为等差中项分类；（3）设出三个不同次幂，利用等差中项关系推出矛盾． 【解答】（1）中的三项等差子集有和． 因此满足条件的为，，． （2）因为是三元素集合，且为“等差集”，所以其中一个元素是另外两个元素的等差中项． 若为等差中项，则，解得或；又为正整数，故； 若为等差中项，则，即，无正整数解； 若为等差中项，则，即，解得或，均不符合为正整数． 综上，． （3）反证．假设是“等差集”， 则存在三个不同元素（）成等差数列． 由于为正整数，若，则集合中只有一个元素，与及三个不同元素矛盾，所以． 三个幂按大小排列为，故等差中项只能是，即 ． 两边同除以，得． 令，，则， 即． 但，，，所以，，从而，不可能等于1，矛盾． 因此不是“等差集”． 高一第一学期 10 月数学学情调研　1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一学期 10 月数学学情调研 命题人：杜丽　　审核人：朱斌 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．若，，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．对于实数，下列命题是真命题的为（　　） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 7．若命题“”为假命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若正实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若集合中只有一个元素，则的值（　　） A． B． C． D． 10．设正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为2 D．的最大值为2 11．已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为______． 13．已知关于的不等式的解集为，则的解集为______． 14．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆．若要使该公司每天租赁汽车的收入超过6.24万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为______元． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知是二次函数，若，且，求函数的解析式． （2）画出函数，的图象，并求其值域． 　 　 　 　16．（15分） （1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　②． 　 　 　 　 　 　 17．（15分） 设全集，集合，非空集合，其中． （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　18．（17分） 已知二次函数，其中． （1）当时，求不等式的解集； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 　 　 　 　 　 　 　 　 19．（17分） 设是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”． （1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； （2）若集合是“等差集”，求的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 高一第一学期 10 月数学学情调研　1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $