专题07 抛物线（期中复习讲义·培优版，10大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题07 抛物线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 抛物线的定义与方程 题型六：抛物线的实际应用 题型二：抛物线有关的距离和最值问题 题型七：直线与抛物线联立问题 题型三： 抛物线的性质 题型八： 抛物线与中点有关考点 题型四： 焦半径问题 题型九： 抛物线中的定值、定点问题 题型五：焦点弦问题 题型十：抛物线中三角形，四边形的面积问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 抛物线的简单性质 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 基础必考点，常在小题中出现 抛物线的焦点弦的性质 抛物线焦点弦的性质 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点弦的坐标及长度的图形求解. 知识点01 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点02抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 ·易错点： 抛物线的焦半径公式的使用上出现错误，四个图形的公式使用错误. 知识点03 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. ·易错点：中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、位置关系的判断 判断直线与抛物线的位置关系时,通过联立直线方程与抛物线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、直线与抛物线相交的弦长公式 （1）求出直线与抛物线的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与抛物线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 3.若直线过焦点 ）： 焦点弦端点 弦长 题型一 抛物线的定义与方程 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 1.直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 3.用定义求轨迹方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合抛物线的定义，若符合抛物线的定义，则用待定系数法求解即可. 【典例1-1】．（2026·高二·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【典例1-3】．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离少1，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)将曲线按向量平移得到曲线（即先将曲线上所有的点向右平移2个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点向上平移1个单位，得到曲线），求曲线的焦点坐标与准线方程； (3)证明二次函数的图象是拋物线. 【变式1-1】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． . 【变式1-2】已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 题型二 与抛物线有关的距离和最值问题 解｜题｜技｜巧 1.利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 2.用“到焦点距离 到准线距离”相互转换求距离的和的最值 【典例2-1】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A． B． C． D．16 【典例2-3】已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 题型三 抛物线的性质 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 【典例3-1】抛物线的通径长为（    ） A．8 B．4 C． D． 【典例3-2】（多选题）（2026·高二·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【典例3-3】（多选题）（2026·高二·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【变式3-1】抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选题）（2026·高二·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【变式3-4】（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 题型四 焦半径问题 解｜题｜技｜巧 1.抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2.焦半径问题 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【典例4-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式4-1】（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 【变式4-2】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 题型五 抛物线中的焦点弦问题 解｜题｜技｜巧 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 易｜错｜点｜拨 中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 【典例5-1】（2026·高二·河北唐山·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例5-2】已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【典例5-3】(多选)（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【变式5-1】（2026·高二·北京·期末）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于、两点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-3】已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为 ． 【变式5-4】设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六 抛物线的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 1. 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 2. 平行与对称轴的光线被抛物线反射后经过抛物线的焦点，再反射后平行与对称轴 转化为过焦点的直线与抛物线的位置关系进行求解. 【典例6-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【典例6-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期末）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 【变式6-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】3．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 题型七 直线与抛物线联立问题 解｜题｜技｜巧 1.判断直线与抛物线的位置关系时,通过联立直线方程与抛物线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与抛物线相交; Δ=0⇔直线与抛物线相切; Δ<0⇔直线与抛物线相离. 1求弦长的两种方法 （1）求出直线与抛物线的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与抛物线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 3.若直线过焦点 ）： 焦点弦端点 弦长 易｜错｜点｜拨 （1）“只有一个公共点”不一定是切线，要先看直线是否平行对称轴 （2）联立前勿忘讨论：斜率不存在（竖直线）、斜率为 0（水平线） （3）抛物线只有一支，没有 “两点分在左右两支” 的说法，和双曲线区分开 【典例7-1】设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【典例7-2】已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 【典例7-3】已知抛物线，其焦点为，准线为．点是上异于顶点的一动点，过点作的切线，与准线交于点．记，称为点P处的焦切准角．当点的横坐标为1时，点在轴上，且此时焦切准角为． (1)求的方程； (2)设点的横坐标为． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）若，求面积的最小值及此时点的坐标． 【变式7-1】已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 【变式7-2】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式7-3】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上． (1)求抛物线的准线方程和直线的方程； (2)若点M，N在抛物线上，且关于直线对称，求直线MN的方程． 【变式7-4】设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. (1)求抛物线的标准方程； (2)①求证：； ②求的最小值. 题型八 抛物线与中点有关考点 解｜题｜技｜巧 解决抛物线中点弦问题的两种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和抛物线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在抛物线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入抛物线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 【典例8-1】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【典例8-2】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，中点为，，则（    ） A． B．直线过点 C．与面积之和的最小值是3 D．过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点，则轴 【典例8-3】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. (1)求； (2)若直线与交于点，求三角形的面积； (3)求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 【变式8-1】抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，以下说法正确的有（   ） A．以为直径的圆与y轴相切 B．以为直径的圆与抛物线的准线相离 C．若点D为抛物线准线与x轴交点，则一定有 D．过线段的中点M作y轴的垂线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点N，则 【变式8-2】已知半圆（），半圆与半圆关于轴对称，焦点为的抛物线的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形，点，在的抛物线部分上，点在半圆或半圆上，则下列说法正确的是（    ） A．若在半圆上，则到直线的距离最大值为 B．若在半圆上，则的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若在半圆上，是的中点，则的最大值为. 【变式8-3】已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则 . 题型九 抛物线中的定值、定点问题 【典例9-1】（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． (1)求的方程． (2)已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． (3)已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【典例9-2】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式9-1】（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 【变式9-2】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式9-3】．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【变式9-4】（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）如图所示，抛物线与轴交于点､，且经过点． (1)求抛物线的表达式和该抛物线的对称轴方程； (2)在轴上方的抛物线上任取一点，射线､分别与抛物线的对称轴交于点､，点关于轴的对称点为，求证：的面积为定值，并求出该定值； (3)点是轴上一动点，当最大时，求的坐标． 题型十 抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例10-1】（2026·高二·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例10-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积．   【变式10-1】（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【变式10-2】（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 【变式10-3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，且在抛物线上，求的最小值； (3)若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 【变式10-4】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1.若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2.（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·高二·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·高二·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6.（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 8．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 9．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 11．已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 12．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 14．已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，. (1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程. 15．（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 期中重难突破练（测试时间：120分钟） 1．抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 4．已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 5．已知抛物线与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 6.（2026·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7.（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 8．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 11．在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ） A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线上的点到原点距离的最小值为 D．曲线上的点到直线距离的最小值为 12．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 13．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 14．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 15．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：120分钟） 1．已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 3．已知抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 4．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 8．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 11．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 12．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 13．（26-27高三上·云南·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)若，求重心的坐标． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 15．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 抛物线的定义与方程 题型六：抛物线的实际应用 题型二：抛物线有关的距离和最值问题 题型七：直线与抛物线联立问题 题型三： 抛物线的性质 题型八： 抛物线与中点有关考点 题型四： 焦半径问题 题型九： 抛物线中的定值、定点问题 题型五：焦点弦问题 题型十：抛物线中三角形，四边形的面积问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 抛物线的简单性质 抛物线的焦点，准线，抛物线的焦半径 基础必考点，常在小题中出现 抛物线的焦点弦的性质 抛物线焦点弦的性质 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点弦的坐标及长度的图形求解. 知识点01 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点02抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 ·易错点： 抛物线的焦半径公式的使用上出现错误，四个图形的公式使用错误. 知识点03 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦 过焦点的直线（倾斜角为）与抛物线交于两点，，，为中点，过两点，分别做准线的垂线交垂线于两点，则有以下结论： （1）；． （2）焦半径坐标式：. （3）焦半径倾斜式：，且. （4） （5）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （6）三点共线，三点共线． （7），. （8）. （9）过分别做抛物线的切线，切线交点在准线上，交点为，且与轴平行. （10）. （11）. ·易错点：中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、位置关系的判断 判断直线与抛物线的位置关系时,通过联立直线方程与抛物线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、直线与抛物线相交的弦长公式 （1）求出直线与抛物线的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与抛物线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 3.若直线过焦点 ）： 焦点弦端点 弦长 题型一 抛物线的定义与方程 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 1.直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； 2.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 3.用定义求轨迹方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合抛物线的定义，若符合抛物线的定义，则用待定系数法求解即可. 【典例1-1】．（2026·高二·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 【典例1-2】方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 【典例1-3】．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离少1，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)将曲线按向量平移得到曲线（即先将曲线上所有的点向右平移2个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点向上平移1个单位，得到曲线），求曲线的焦点坐标与准线方程； (3)证明二次函数的图象是拋物线. 【答案】(1) (2)焦点为，准线为 (3)证明见解析 【分析】 （1）由抛物线定义即可得抛物线的方程； （2）首先得出曲线的焦点坐标，准线方程，进一步结合平移变换即可得解； （3）注意到将的图象按向量平移可得到的图象，即的图象，而的图象是抛物线，由此即可得证. 【详解】（1）设动点，依题意，动点与定点的距离和动点到的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 即曲线的方程为. （2）曲线的焦点坐标为，准线方程为， 因为是由曲线上的所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，所得曲线的焦点为，准线为. （3）因为是抛物线的标准方程，其对应的曲线是焦点为，准线为的抛物线. 即函数的图象是抛物线，其焦点为，准线为. 将的图象按向量平移可得到的图象，即的图象， 又因为平移变换只改变曲线的位置，不改变曲线的形状， 所以的图象是抛物线. 【变式1-1】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 【变式1-2】已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式1-3】（2026·高二·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 题型二 与抛物线有关的距离和最值问题 解｜题｜技｜巧 1.利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 2.用“到焦点距离 到准线距离”相互转换求距离的和的最值 【典例2-1】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 【典例2-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（ ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 【典例2-3】已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 【变式2-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义、余弦定理得，再应用基本不等式求最值. 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 【变式2-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 【变式2-4】如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 题型三 抛物线的性质 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 【典例3-1】抛物线的通径长为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求得抛物线的标准方程，然后根据通径的知识求得正确答案. 【详解】抛物线，即， 可得，因此通径长为. 故选：C 【典例3-2】（多选题）（2026·高二·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【解析】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 【典例3-3】（多选题）（2026·高二·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【解析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 【变式3-1】抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称， ∴抛物线C的方程为， ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 【变式3-2】（多选题）（2026·高二·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【答案】ABD 【解析】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】设与轴的交点为，易知轴．设点，，由菱形的性质得到，即可得到. 【详解】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为． 故选：D 【变式3-4】（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【解析】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 题型四 焦半径问题 解｜题｜技｜巧 1.抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 2.焦半径问题 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【典例4-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 【典例4-2】（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 【变式4-1】（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 【变式4-3】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解． 【详解】记抛物线的准线为， 如图，作于D点，交y轴于A点，则， 因为，所以为的中点， 所以， ，解得． 故选：A． 题型五 抛物线中的焦点弦问题 解｜题｜技｜巧 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 易｜错｜点｜拨 中过焦点的弦的相关推到和的结论使用上存在不足，使得计算上出现错误. 【典例5-1】（2026·高二·河北唐山·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，， ，根据抛物线的定义可知①， 又，，即②， 由①②可得， . 故选：B. 【典例5-2】已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    【典例5-3】(多选)（24-25高二上·湖北武汉·期末）（多选）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即，， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 【变式5-1】（2026·高二·北京·期末）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于、两点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点、，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得， ，可得， 所以，故. 故选：B. 【变式5-2】已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据结合抛物线方程得到点，进一步得到点，然后可得直线方程. 【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设， 由，，所以，所以或， 所以或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：A 【变式5-3】已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点，其中，根据抛物线的焦半径公式，求得，进而求得，即可的得到答案. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为， 因为点在第一象限，可设点，其中， 又因为点到焦点的距离为，可得，解得， 则，可得，所以点的坐标为. 故答案为：. 【变式5-4】设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据直线过焦点可得选项A正确；求出点坐标，利用两点间距离公式可得选项B正确；联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得选项C错误；求出点坐标，结合焦半径公式可得选项D正确. 【详解】 A.由题意得，，故，，A正确. B.由A得，抛物线标准方程为，准线方程为， ∴，故，正确. .设，由得，， ∴，故，C错误. D.由得，，故， ∴，故， ∴，D正确. 故选：ABD. 题型六 抛物线的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 1. 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 2. 平行与对称轴的光线被抛物线反射后经过抛物线的焦点，再反射后平行与对称轴 转化为过焦点的直线与抛物线的位置关系进行求解. 【典例6-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 【典例6-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期末）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A．的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 【答案】ABC 【分析】由抛物线准线定义即可判断A；设，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判断B；求出点A、B，结合弦长公式即可求解判断C；由直线求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确； 对于B，，故可设，联立， ，，故，故B正确； 对于C，若点，则，则， 故，故C正确； 对于D，由题可得，令得， 所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误； 故选：ABC 【变式6-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 【变式5-3】3．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 【变式6-4】（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 题型七 直线与抛物线联立问题 解｜题｜技｜巧 1.判断直线与抛物线的位置关系时,通过联立直线方程与抛物线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与抛物线相交; Δ=0⇔直线与抛物线相切; Δ<0⇔直线与抛物线相离. 1求弦长的两种方法 （1）求出直线与抛物线的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与抛物线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 3.若直线过焦点 ）： 焦点弦端点 弦长 易｜错｜点｜拨 （1）“只有一个公共点”不一定是切线，要先看直线是否平行对称轴 （2）联立前勿忘讨论：斜率不存在（竖直线）、斜率为 0（水平线） （3）抛物线只有一支，没有 “两点分在左右两支” 的说法，和双曲线区分开 【典例7-1】设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求得，根据，结合抛物线的定义，求得，即可求解； （2）设，设直线，直线，联立方程组，求得和，化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：当直线垂直于轴时，由点点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. （3）解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即.    【典例7-2】已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) (3)（或） 【分析】（1）根据抛物线的性质可求得的值； （2）过点作，垂足为，设可推得，利用抛物线的定义求出即可； （3）设的倾斜角为，斜率，则的倾斜角为，利用和角的正切公式推得其斜率，联立与抛物线方程，分别求出弦长与，利用题设条件求得或，检验后即可求得的方程. 【详解】（1）由抛物线的性质可得，得； （2）抛物线的准线方程为. 过点作，垂足为， 设，因，则，得， 则点的纵坐标为，由抛物线定义得， 解得，所以； （3）设的倾斜角为，易得，斜率， 则的倾斜角为， 斜率. 设点，， 由得，得， 所以 以代可得. 由，得， 得或， 当时，，，又，所以不符合题意. 故的方程为，即（或）. 【典例7-3】已知抛物线，其焦点为，准线为．点是上异于顶点的一动点，过点作的切线，与准线交于点．记，称为点P处的焦切准角．当点的横坐标为1时，点在轴上，且此时焦切准角为． (1)求的方程； (2)设点的横坐标为． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）若，求面积的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）；（ii），此时点的坐标为或． 【分析】（1）求出的坐标，根据斜率可求，从而可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，从而可求切线方程，再求出的坐标，结合数量积可求，从而可求或根据夹角公式可求；（ⅱ）根据（ⅰ）中的结果可求的面积或根据坐标平面上三点的面积公式可求面积，结合导数可求最小值及对应的坐标. 【详解】（1）当点的横坐标为1时，，不妨设，则， 由题意得直线的斜率为1，所以，解得， 所以的方程为． （2）解法一：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 则． 所以， ． 则，， 所以， 所以． 解法二：由对称性设，直线的方程为， 联立消去得， 由与相切得，所以， 切线方程为，即． 代入得．所以． 直线的斜率，直线的斜率， 则． 若取，同理仍得， 故． （ⅱ）解法一：由（ⅰ）得的面积． 求导得， 由，故，， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时，或．点的坐标为或． 解法二：若，则，即． 在中，，，， 的面积 ． 求导得， 因此在区间上单调递增． 当时，． 此时或．点的坐标为或． 【变式7-1】已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)可设直线：，代入抛物线，整理得； 记，，则，， 所以（定值）． (3)． 【分析】（1）根据离心率求出，再由可得解； （2）设直线：，联立抛物线方程，利用韦达定理即可得证； （3）分别求出三角形面积，记，平方后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，又， 所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为． （2）略 （3）因为，，显然，． 联立消去，解得，同理，可解得， 由（2）知，故得； 因为，，记，则， 故，即， 即，即，当且仅当时取到等号． 综上，的最大值为． 【变式7-2】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 【变式7-3】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上． (1)求抛物线的准线方程和直线的方程； (2)若点M，N在抛物线上，且关于直线对称，求直线MN的方程． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由点在抛物线上求参数值，即可得抛物线，进而得准线方程，应用点斜式写出直线方程； （2）设直线MN的方程为，联立抛物线有，且MN的中点坐标为，再由点在直线上求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）如图，因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线为，其准线方程为．    因为直线的斜率为1，所以直线的方程为，即； （2）由（1），设直线MN的方程为， 由，消去得，由，解得． 设，则，于是线段MN的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得，符合题意， 所以直线MN的方程为. 【变式7-4】设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. (1)求抛物线的标准方程； (2)①求证：； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用， 解出未知数，得到方程； （2）①验证轴时成立，再求解当不垂直于轴时，直线的方程，令，得，直接判断； ②方法一，连接，，证明，再证明得到，设直线的倾斜角为，表示为，求解即可； 方法二，同方法一证得，利用相似得到，，表示出以及，带入求解即可. 【详解】（1）因为抛物线：，所以焦点为，准线为， 如图，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立，得， 易知，则，， 又，， 所以，当且仅当时取等号， 因为的最小值为6，所以，， 所以抛物线的标准方程为. （2）①当轴时，，. 当不垂直于轴时，设直线的方程为，， 则直线的方程为， 令，得，即为的中点，所以. 综上可得，. ②方法一  如图，连接，，因为，， 所以，则. 由①知，为的中点，故. 设直线的倾斜角为，，可得，则， 因为， 所以. 所以， 因为，所以，同理， 则， 所以， 所以的最小值为18. 方法二  同方法一证得. 在与中，， 所以，则，即， 同理可得. 又， ， 所以， 则，所以的最小值为18. 题型八 抛物线与中点有关考点 解｜题｜技｜巧 解决抛物线中点弦问题的两种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和抛物线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在抛物线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入抛物线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 【典例8-1】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【典例8-2】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，中点为，，则（    ） A． B．直线过点 C．与面积之和的最小值是3 D．过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点，则轴 【答案】BC 【分析】设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断C，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，设切线为，联立利用相切得到，即切线为，同理可得在点处的切线方程为，得到即可． 【详解】设直线：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； 直线：过，故B对； ， 不妨设，又，， 当且仅当时，取等号，故C对； 由对称性，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，当时，，则， 易知切线斜率不为零，设切线为， 联立曲线得，又因为相切， 所以，解得， 则过在点处的切线方程为， 当时，，同理可得在点处的切线方程为， 联立解得交点的纵坐标， 又中点坐标为， 当时，在轴上，故D错误． 故选：BC． 【典例8-3】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. (1)求； (2)若直线与交于点，求三角形的面积； (3)求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 【答案】(1)2(2)(3)2 【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，设出直线方程，联立并写出韦达定理，根据中点坐标公式，可得答案； （2）联立直线方程求交点，利用三角形的面积公式，可得答案； （3）由题意作图，由图中的线段组合以及三角形三边关系，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】（1）由题得的焦点为，设为， 设，，， 联立方程，化简得：， ，则，. （2）由（1）得， 联立方程，解得，. （3） 由（1）得的方程为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立方程，化简得：， 由，得与相离， 设，，分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足， 连接，， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离， 即. 【变式8-1】抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，以下说法正确的有（   ） A．以为直径的圆与y轴相切 B．以为直径的圆与抛物线的准线相离 C．若点D为抛物线准线与x轴交点，则一定有 D．过线段的中点M作y轴的垂线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点N，则 【答案】ACD 【分析】 对于A，设点在轴上的投影为，在准线上的投影为，为坐标原点，，求以为直径的圆的半径和的中点到轴的距离，由此判断A，对于B，设点在准线上的投影为，，根据抛物线的定义可得线段的中点到准线的距离为，从而可判断B；对于C，设直线方程为，利用设而不求法求，由此判断C，对于D，设线段的中点，根据C的解答求的坐标，由此判断D. 【详解】对于A，设点在轴上的投影为，在准线上的投影为，为坐标原点，， 则， 因为以为直径的圆的半径为， 的中点到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B，设点在准线上的投影为，，则， 所以线段的中点到准线的距离为， 所以以线段AB为直径的圆与准线l相切，故B错误； 对于C，点为抛物线准线与轴交点，所以， 若直线的斜率为，则直线与抛物线有且只有一个交点，矛盾， 故可设直线方程为， 联立，消去，得， 方程的判别式 所以，， ，所以，故C正确； 对于D，设线段的中点， 由C选项的解析可得，， 所以，，， 所以，故D正确； 故选：ACD.    【变式8-2】已知半圆（），半圆与半圆关于轴对称，焦点为的抛物线的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形，点，在的抛物线部分上，点在半圆或半圆上，则下列说法正确的是（    ） A．若在半圆上，则到直线的距离最大值为 B．若在半圆上，则的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若在半圆上，是的中点，则的最大值为. 【答案】ABD 【分析】利用点到直线距离判断A；利用抛物线定义将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求最值判断B；根据图形的对称性以及直线过定点设设直线（），利用圆心到直线距离确定到直线的距离，直曲联立得，构造函数利用导数判断函数的单调性求得最值判断C；利用点差法求出直线方程，直曲联立利用弦长公式求出，再利用极化恒等式即可判断D. 【详解】 根据题意，因为半圆（） 表示以为圆心，为半径的圆的上半部分， 又因为半圆与半圆关于轴对称， 可得半圆（）， 表示以为圆心，为半径的圆的上半部分. 对于选项A，直线的方程为， 到直线的距离为， 所以到直线的距离最大值为，故选项A正确； 对于选项B，抛物线的准线为， 过点作，垂足为， 则，则， 故选项B正确； 对于选项C，根据对称性，不妨设直线（）， 显然离距离最远的点在上， 设到直线的距离为，则， 联立消去，整理得，， 则，， 所以， 所以 ， 设，易得在上单调递增， 所以的最大值为，故选项C错误； 对于选项D，因为，， 所以， 所以， 所以直线的方程为， 联立消去，整理得， 则，， 所以， ，故选项D正确. 故选：ABD. 【变式8-3】已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则 . 【答案】/0.25 【分析】由题意可得直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，求得的坐标，进而求得中点的坐标，进而可得的坐标，计算可求值. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，直线的方程为， 由，可得，整理得， 解得或，当时，，当时，， 所以，，所以， 又中点，所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型九 抛物线中的定值、定点问题 【典例9-1】（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． (1)求的方程． (2)已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． (3)已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)设，．易知，，则，同理． 因为以为直径的圆过点，所以，所以， 整理，得．（*）     设直线：，代入，得， 则，．     代入（*）中，得，整理得． 于是直线：，过定点． 【分析】（1）由题意确定坐标，进而可求解； （2）确定，再考虑与平行的直线：，代入，联立计算求解即可； （3）设，．通过垂直关系，得到，再设：，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由得或所以．     由题意得，解得． 故的方程为． （2）    由题意可知直线的方程为． 代入，得，解得或18．由（1）知，故． 因此．     考虑与平行的直线：，代入，得， 令，得．即时，与相切． 此时与直线的距离．     当在上方时，与恒有两个交点． 当在下方时，若，与有两个交点；若，与有一个交点；若，与没有交点． 因为面积相同的三角形有4个，所以．     又，所以，即的取值范围为． （3）略 【典例9-2】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值－12． 【分析】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的一样，可得，在抛物线上，从而在椭圆上，即可得抛物线与椭圆方程； （2）联立抛物线与直线方程，由根与系数的关系可判断是否为定值． 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的一样，所以，在抛物线上， 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点， 则， 所以椭圆的方程为． （2）是定值． 理由如下：如图，设，    联立． ，由根与系数的关系得， 又因为，所以，同理． ， 所以为定值． 【变式9-1】（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 【答案】(1)证明：设，， 、为抛物线上不同的两点， 由得，则，. 由，得，即. 由题意，直线斜率不为，设其方程为. 与联立得. 由韦达定理得. 所以，解得. 故直线的方程为，恒过定点. (2)； 【分析】（1）设点坐标，将斜率条件转化为纵坐标关系式，设直线联立抛物线，利用韦达定理求定点. （2）利用三角形面积公式（以为底）建立面积关于参数的表达式，进而求最值. 【详解】（1）略 （2）抛物线的焦点，如下图所示： 由（1）知直线过点，则. 由得. 则. 的面积. 当时，取得最小值，. 此时直线的方程为. 【变式9-2】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【详解】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 【变式9-3】．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到点 的距离为2． (1)求抛物线上的动点到直线的最小距离； (2)设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于 对称，证明:直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)设，， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 因为直线与关于对称，所以，即， 所以． （提示：的证明可用三种方法： 法1：到角公式，化简得； 法2：OA与OB的倾斜角，满足，即， 则，得； 法3：设关于直线的对称点为，则， 则，即，得．） 法1.设，，由题意得，且， 则直线的斜率存在，从而可设方程为，显然，， 将与联立消去，得，， 由韦达定理知，可得， 则方程为，可知直线恒过定点． 法2.由前面已得，直线的斜率为， 则直线的方程为， 化简． 又，所以， 则直线恒过定点． 法3.因为直线与关于对称，所以． 设直线的斜率为，则直线OB的斜率为． 直线，与联立， 解得或，则． 同理，直线，与联立， 解得或，则． 直线的斜率为， 于是直线的方程为， 化简得． 则直线AB恒过定点． 【分析】（1）法1：由抛物线定义可知从而得到，设点，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，结合二次函数的图像和性质得到最小值.      法2：利用导数的几何意义求出与直线平行且与抛物线相切的切线方程，求出切线和直线的距离就是所求的最小值. （2）设，，由于直线与关于对称得到，求得（提示：的证明可用三种方法．法1：利用到角公式求解；法2：与的倾斜角，满足，即，利用三角函数的公式求解；法3：设关于直线的对称点为，则，则，从而得解．）法1.利用韦达定理得到，得到的值，从而得到，直线恒过的定点．法2.求出直线的斜率为，利用点斜式求出直线的方程，结合得到直线恒过的定点．法3.由于直线与关于对称得到，直线与联立求出．同理求出，求出直线的斜率，得到直线的方程，通过化简得到直线恒过的定点． 【详解】（1）法1：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 设点，则点P到直线l的距离为 ， 当且仅当时取等号． 则动点P到直线的最小距离为． 法2：由抛物线定义可知，得， ∴抛物线方程． 抛物线，其切线斜率为，要与直线平行， 则，，．切点为，切线为． 直线与的距离． 则最小距离为． （2）略 【变式9-4】（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）如图所示，抛物线与轴交于点､，且经过点． (1)求抛物线的表达式和该抛物线的对称轴方程； (2)在轴上方的抛物线上任取一点，射线､分别与抛物线的对称轴交于点､，点关于轴的对称点为，求证：的面积为定值，并求出该定值； (3)点是轴上一动点，当最大时，求的坐标． 【答案】(1)，对称轴方程为； (2) 如图1，当点N在对称轴右侧时，可设，则， 分别设直线的解析式为，直线的解析式为， 分别联立， 解得， 所以直线的解析式为①， 直线的解析式为②； 将代入①，得， 代入②，得， ， 因的长为， 为定值； 如图2，当点N在对称轴左侧时，可设，则， 同法计算可得：， 因的长为， . 综上所述： ，恒为定值. (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点的坐标，确定值即可； （2）设，直线的解析式为，直线的解析式为，表示出的坐标，进而计算即可； （3）当是轴与经过三点的圆的切点时最大，计算即可. 【详解】（1）抛物线与轴交于点､， 可设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ； （2）略 （3）如图3，当的外接圆与相切，切点为时，最大，理由如下： 设外接圆的圆心为，是异于点的一点，连接，交圆于点， 则，根据三角形外角性质，得，故，所以最大. 设与圆交于点，连接，则， 作直径，连接， ， ，， ， ， ， ，即（*）， 设，则， 代入（*）得，， 过点E作，垂足为，过点C作，垂足为，交于点， 根据垂径定理得，四边形是矩形， 根据，得， ， ， 在直角三角形中，， 整理得，设，则得 解得， 则(舍) ， 故， 所以当最大时，. 题型十 抛物线中三角形，四边形的面积问题 【典例10-1】（2026·高二·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 【典例10-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    【变式10-1】（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【答案】(1)F的坐标为，准线方程为； (2) 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线方程进行求解即可； （2）先求出点M的坐标，得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、焦点弦长公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2）    因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 【变式10-2】（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过点代入求参得出抛物线方程即可； （2）先设点的坐标，再结合两点间距离公式计算得出，再根据四边形图形特征计算面积即可. 【详解】（1）因为抛物线：过点， 所以，，则抛物线方程为. （2）由题可得，设，则，，， 所以，. 因为，所以，解得或（舍）， 故，，，. 又点，，所以，又， 所以四边形是平行四边形， 设为坐标原点，所以四边形的面积为. 【变式10-3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，且在抛物线上，求的最小值； (3)若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）将点代入，求得值，从而求得抛物线的标准方程. （2）由在抛物线上及抛物线的性质可知到F的距离与Q到准线的距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值. （3）设直线的方程，由直线与圆相切，圆心到直线距离的等于半径，求得，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得到AB的距离为，最后根据三角形面积公式，代入的值即可求得的面积. 【详解】（1）因为抛物线经过，故，所以， 所以抛物线的方程. （2） 在抛物线上， 到F的距离与Q到准线的距离相等，设为. 的最小值转化为的最小值， 易知当垂直于准线时，取到最小值， ， 所以的最小值为. （3） 当AB斜率不存在时，，显然不合题意. 当AB斜率存在时，设直线的方程为，即， 与圆相切，   ， 联立直线与抛物线方程得：， 设， ， ， 到AB的距离为， . 【变式10-4】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1.若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 2.（2026·高二·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 3.（2026·高二·重庆·期末）椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 4.（2026·高二·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 5.（2026·高三·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 6.（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 7.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 8．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 9．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，且轴， ∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为， ∴，即， ∴将代入得，解得． 故选：D． 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 11．已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 5 【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，圆，即为， 则； 因为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 设点到准线的距离为， 则，当且仅当为坐标原点时，等号成立， 综上所述：， 当且仅当为坐标原点，为时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：；5. 12．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：    13．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】解法一：分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式和三角形的面积公式可得出关于、的方程组，即可解得的值； 解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，利用抛物线的焦点弦长公式以及面积公式可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】解法一：易知抛物线的焦点为，    若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以，即，① 因为， 即，②． 由①②得，，所以； 解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 因为 ①， ，，解得，， 所以，②， 联立①②可得， 故答案为：. 14．已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，. (1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程解得，即可写出抛物线标准方程和准线方程； （2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得，求出直线方程. 【详解】（1）由题意将点代入抛物线方程可知，解得. 所以抛物线的标准方程为，焦点， 因此准线方程为. （2）由（1）得直线的方程为. 设，如图所示：    联立直线和抛物线方程，消去得. 易得，且. 由抛物线焦点弦公式可知. 所以，解得或（舍去）. 故直线的方程为. 15．（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 【分析】（1）首先求抛物线方程，再联立直线与抛物线方程，根据判别式，再结合条件，求斜率的取值范围； （2）首先利用坐标表示和的直线方程，再用坐标表示，即可证明. 【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）略 期中重难突破练（测试时间：120分钟） 1．抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. 【详解】因为抛物线上的点到的距离等于到直线的距离， 所以是抛物线的准线，故，解得，故A正确. 故选：A 2．已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】过作准线，垂足为，根据抛物线的定义可得，可得，运算求解即可. 【详解】过作准线，垂足为，则， 由题意可得：， 且为锐角，则， 可得， 在中，， 即，解得. 故选：C. 3．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可. 【详解】设焦点为，则，解得．    故选：D 4．已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D． 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 5．已知抛物线与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．点到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的方程求出离心率可判断A；求出双曲线的渐近线方程可判断B；由有相同的焦点求出可判断C；点坐标代入方程可判断D． 【详解】双曲线的焦点为，，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确； 对于D，由C可知，抛物线的焦点为， 因为点在上，所以， 解得，故或， 所以点到的焦点的距离为4，故D正确． 故选：ACD． 6.（2026·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题得圆心，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点， 所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则， 所以，即，解得或（舍）， 所以抛物线C：，， 因为点K与点F关于原点对称，所以，所以在中，， 当时，，； 当时，，此时 ； 当时，不存在． 综上，面积的最大值为2． 故选：B． 7.（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 8．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 9．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把问题转化成抛物线上的点到焦点的距离与到定直线的距离之和的最小值问题，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图： 根据题意，的几何意义为点与点之间的距离， 分析可得点在抛物线上，点在直线上， 抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点. 所以的几何意义为. 由. 过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点. 则（当与点重合，与点重合时取等号） 故选：B 10．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【答案】12 【分析】原条件转换为取得最小值10，由此即可列方程求解. 【详解】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 11．在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（    ） A．曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线上的点到原点距离的最小值为 D．曲线上的点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，作出曲线的图象与曲线的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C，设曲线E上任意一点为，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D，结合点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于选项A，作出曲线的图象，即可判断为封闭图形，再作出的图象，    由图可知曲线围成的面积大于曲线围成的面积，且曲线与轴正半轴的交点坐标为，与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的面积为，所以选项A正确； 对于选项B，因为点，点均满足方程，则可得到曲线关于原点中心对称，所以选项B正确； 对于选项C，设曲线E上任意一点为，则其到原点的距离的平方为，且，即曲线上的点到原点距离的最小值为，故选项C错误； 对于选项D，曲线上任意一点为，则其到直线距离为，故选项D正确； 故选：ABD 12．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 13．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程； （2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解； 【详解】（1）对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. （2）由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 14．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，定点 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参数，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为与交点纵坐标的等式，进而求出； （3）用斜率参数表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数的多项式，构造方程组即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 因为直线经过该抛物线的焦点， 所以，即，故抛物线的方程为. （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得， 则，， 已知直线在轴上方，则， 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，， 所以， 解得（负值舍去）. （3）已知为线段中点，则， 由（2）知， 则，， 以为圆心且过点的圆为， 整理得， 令，解得， 即当时，以为圆心且过点的圆过定点. 15．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 期中综合拓展练（测试时间：120分钟） 1．已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】确定抛物线的准线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D 2．已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解. 【详解】对于A，抛物线，焦点，准线，， 过点作准线的垂线，垂足为， 再过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，设点，则， 由点到直线：的距离公式可得： ，故B正确； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 由点到直线：的距离公式可得：， 则点到直线与到直线的距离之和为： ，故C错误； 对于D， 根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知， 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. 3．已知抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 4．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求出即可得解. 【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 5．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 6．设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示：    因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 7．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 8．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用椭圆定义结合的周长即可求得，再由焦点重合可求得. 【详解】根据椭圆方程可得，的周长为，可得； 所以的右焦点为，抛物线的焦点为， 即，解得. 故选：C 9．已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程. 【详解】由已知，解得， 故抛物线的准线方程为， 故选：A. 10．已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据曲线联立求根判断①，直线和曲线联立结合判别式判断④，根据点代入得出曲线的对称性判断②③即可. 【详解】因为曲线：，：， 对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，①正确； 对于②：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，②错误； 对于③：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误； 对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④正确． 故答案为：①④. 11．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称 C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义得到，然后根据抛物线的图象即可得到当在原点时，最小，即可判断A选项；根据抛物线的图象即可判断BD选项；根据抛物线的定义和几何知识可以得到当三点共线时最小，然后求最小值即可判断C选项. 【详解】 作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则. 当在原点时，最小为1，A错误； 易知抛物线关于轴对称，B错误； ，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确. 点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确. 故选：CD. 12．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 13．（26-27高三上·云南·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)若，求重心的坐标． 【答案】(1) (2)由（1），得． 方法一：由题意，得直线过定点，直线过定点， 且于点，所以点在以为直径的圆上， 圆心为点，半径为． 所以存在定点，使得为定值． 方法二：由题意，得直线的倾斜角不为0，设直线的方程为． 因为，所以直线的方程为． 解得所以点 设，则，消去，得， 即， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上 所以存在定点，使得为定值． (3)． 【分析】（1）由取得最小值1得到，解出，从而得到抛物线的标准方程. （2） 方法一： 由于点得到点在以为直径的圆上，从而得到此圆的圆心和半径，从而得到所求． 方法二：设直线的方程为．由得到直线的方程为．通过联立方程组得到点的坐标，再设，从而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，从而得到所求. （3）设直线的方程为，，，，，重心．通过联立方程组得到．求出，从而得到，由的重心在轴上可以得到，从而得到，．从而得到，继而求出． 【详解】（1）因为抛物线，所以抛物线的准线方程为． 设，则由抛物线的定义，得， 所以当时，取得最小值1， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）略 （3）由题意，得直线的倾斜角不为0， 设直线的方程为， ，，，，重心． 由消去，化简得， 则． 所以． 由题意，得，解得． 因为的重心在轴上，所以， 所以，则． 因为，所以， 故的重心． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． 15．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【答案】（1）或；（2）面积的最大值为；直线的方程为. 【分析】(1) 距离条件要对横坐标分正负讨论，符合抛物线定义，时得到 轴负半轴，轨迹是抛物线加射线，切勿漏掉: (2) 过 轴上定点的直线，设可避开斜率不存在讨论；面积转化为，换元后用对勾函数求最值. 【详解】(1)当点横坐标大于等于时，由题意可转化为点到点的距离等于点到的距离， 设，所以点的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点的轨迹方程为； 当点横坐标小于时，因为点到轴的距离为， 所以点在轴上，即点的轨迹方程为； 所以点的轨迹方程为或. (2)由题知，， 所以当直线与轴重合时，不满足条件， 因为直线经过点，故设直线，， 所以联立方程得，所以， 所以 令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数， 所以，此时，， 所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $