拓展07 蒙日圆、阿氏圆、阿基米德三角形（期中复习讲义核心3大题型）高二数学上学期人教A版

专题07 蒙日圆、阿氏圆、阿基米德三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 蒙日圆 掌握蒙日圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿氏圆 掌握阿氏圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿基米德三角形 掌握阿基米德三角形与抛物线间的联系与应用. 高频易错点，常出现在小题压轴，阿基米德三角形性质不熟悉 知识点01 蒙日圆 1、蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 2、蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由，得 ，由其判别式的值为0， 得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． 知识点02 阿氏圆 1、阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2、阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， ①当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； ②当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为． 证明：以为例．如图②，设，，则， ．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是． 同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形． （3）阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． 知识点03 阿基米德三角形 1、定义：如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边． 2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB； 性质2：MA⊥MB； 性质3：MN∥x轴； 性质4：S△ABM最小值为p² 对于点A，B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点 ④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” 3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线． 3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为． 5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为． 6、点的坐标为； 7、底边所在的直线方程为 8、的面积为． 9、若点的坐标为，则底边的直线方程为． 10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则. 图1 11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则． 12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的． 题型一 蒙日圆 1．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南开封·期中）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 . 3．（24-25高二上·云南昆明·期中）法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为 . 4．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 5．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为 . 6．已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 题型二 阿氏圆 1．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期中）若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·河南洛阳·期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 6．（24-25高二下·浙江·月考）梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点.    (1)求椭圆的方程； (2)证明为定值； (3)已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 题型三 阿基米德三角形 解｜题｜技｜巧 1、阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2、过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 3．（多选题）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 4．（多选题）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 5．（多选题）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 6．（23-24高二上·江苏南京·月考）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．已知三角形为抛物线的“阿基米德三角形”，线段为抛物线的弦，设线段中点为，下列命题正确的是（    ） A．轴 B．若过点，则点S在直线上 C．若，则面积的最大值为4 D．若过点，则 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二上·山西太原·月考）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯写出了经典之作《圆锥曲线论》.在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（且）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，且点的轨迹关于直线对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 4．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（    ） A． B． C． D． 6．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东惠州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 9．（多选题）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（    ） A．点P在直线y＝－1上 B．存在点P，使得 C．AB⊥PF D．△PAB面积的最小值为4 10．（多选题）过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（    ） A．△AMB是直角三角形 B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线 C．MF是△AMB的高线 D．△AMB面积的最小值为 11．阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 12．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（25-26高二上·江西抚州·月考）（多选题）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 2．（多选题）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 3．（多选题）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 4．（23-24高二下·广东·期中）（多选题）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 6．（25-26高二上·江苏常州·月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差. (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 7．（24-25高二下·云南保山·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 8．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 9．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 蒙日圆、阿氏圆、阿基米德三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 蒙日圆 掌握蒙日圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿氏圆 掌握阿氏圆的概念，了解它的应用. 重难必考点，常出现在小题 阿基米德三角形 掌握阿基米德三角形与抛物线间的联系与应用. 高频易错点，常出现在小题压轴，阿基米德三角形性质不熟悉 知识点01 蒙日圆 1、蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 2、蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由，得 ，由其判别式的值为0， 得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． 知识点02 阿氏圆 1、阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2、阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， ①当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； ②当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为． 证明：以为例．如图②，设，，则， ．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是． 同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形． （3）阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． 知识点03 阿基米德三角形 1、定义：如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边． 2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时） 性质1：MF⊥AB； 性质2：MA⊥MB； 性质3：MN∥x轴； 性质4：S△ABM最小值为p² 对于点A，B: ①抛物线焦点弦与抛物线的交点 ②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点 对于点M ③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点 ④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点 满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形” 3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时） 1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线． 3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为． 5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为． 6、点的坐标为； 7、底边所在的直线方程为 8、的面积为． 9、若点的坐标为，则底边的直线方程为． 10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则. 图1 11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则． 12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的． 题型一 蒙日圆 1．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解． 【详解】根据题意作图如下，    因为椭圆C的离心率，所以．因为，则， 所以，所以椭圆C的蒙日圆的半径为． 因为，所以为蒙日圆的直径，所以， 所以． 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为．由面积的最大值为10， 得，得，进而有，故椭圆C的长轴长为． 故选：B． 2．（23-24高二上·河南开封·期中）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 . 【答案】3 【分析】根据题意，圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，列方程求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 故答案为：3. 3．（24-25高二上·云南昆明·期中）法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出椭圆的蒙日圆的方程. 【详解】由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为2，得， 由，得，于是， 所以椭圆的蒙日圆的方程为. 故答案:. 4．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为 . 【答案】/ 【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】由题意得蒙日圆为，则，， 直线的方程为：， 联立得， ， 解得，， 所以. 故答案为：. 6．已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆所过的点列出关于的方程组即可求解； （2）分“外切矩形四边所在切线存在斜率不存在”和“外切矩形四边所在切线斜率都存在”，设切线，与椭圆联立方程，利用位置关系结合判别式求出，同理依次得切线满足，切线满足，切线满足，再利用两平行线间距离求出两组切线的距离，从而得面积并结合对称性和基本定理计算化简即可得解； （3）证明：设切线，与椭圆方程联立结合韦达定理依次求得，进而得斜率，同理得即可证明为定值. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则 ， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值. 题型二 阿氏圆 1．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则由结合距离公式化简可得，从而可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，进而可求出面积 【详解】设点，则， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 所以所求图形的面积为， 故选：D 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式可得曲线的方程，由题意可得对任意实数，都有，分类参数即可求解. 【详解】设,因为，， 所以，化简可得， 所以曲线的圆心为，半径为. 因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点， 所以对任意实数，都有， 即任意实数恒成立. 因为,所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选:A. 3．（24-25高二上·湖北·期中）若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得M的轨迹方程，进而得两圆相交，应用相交条件即可得解. 【详解】解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径， 所以，即， 解得，即 故答案为：. 4．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 5．（24-25高二上·河南洛阳·期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为，    则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是利用三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取等号. 6．（24-25高二下·浙江·月考）梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点.    (1)求椭圆的方程； (2)证明为定值； (3)已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，或. 【分析】（1）根据焦点及椭圆定义列式求解得出椭圆的方程； （2）根据图形特征结合定义计算求值； （3）先设切线方程为：，结合圆的方程应用在圆上计算求参即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的中心在坐标原点，焦点为， 所以椭圆的方程为，其中，且. 又因为由发出的光线经椭圆一次反射后到经过的路程为4， 所以，因此， 则椭圆方程为. （2）延长交于点， 则. 故为定值.    （3）设椭圆上点，其切线方程为：. 切线与直线和的交点分别为和. 以为直径的圆的方程为： . 若存在满足条件的定点，则可设在圆上， 代入得：. 化简得：. 利用椭圆方程，可得， 因此：，即，所以. 即的坐标为或. 题型三 阿基米德三角形 解｜题｜技｜巧 1、阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2、过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 1．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征： ①点必在抛物线的准线上；②． 若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可. 【详解】设抛物线的焦点为， 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 所以点必在抛物线的准线上， 所以点， 直线的斜率为． 又因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：A． 2．为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】D 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确； 点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确； 设直线，联立方程组，根据，可判定C正确； 取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】如图：    依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 3．（多选题）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 4．（多选题）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【分析】设，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得，A正确；写出切线方程，联立求出点坐标，得B错误；用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得C正确；设为抛物线弦的中点，立即得D正确. 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 5．（多选题）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】 先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点 处的切线方程为 设，，设直线AB的方程为， 联立消去x得， 根据根与系数的关系可得， 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，，即点M在以AB为直径的圆上， 联立， 解得， 所以点M的横坐标为， 所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点， 故A正确; 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线MF的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点M坐标为， 则， 故B正确; ， 故C正确; 由题意知，， 则 又根据题意知，则无最小值. 故D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高二上·江苏南京·月考）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．已知三角形为抛物线的“阿基米德三角形”，线段为抛物线的弦，设线段中点为，下列命题正确的是（    ） A．轴 B．若过点，则点S在直线上 C．若，则面积的最大值为4 D．若过点，则 【答案】BD 【分析】对于A，设，得出过点的切线方程为，同理过点的切线方程为，从而表示出的坐标，由此即可判断；对于B，设，联立抛物线，结合韦达定理以及即可判断；对于C，写出面积表达式，，故只需先求的最大值；对于D，设，结合韦达定理、向量数量积的坐标表示即可验算. 【详解】对于A，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0），联立抛物线方程， 化简并整理得，，注意到， 所以方程可变形为， 而，所以， 所以过点的切线方程为，结合，可得 过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为， 联立，结合，解得， 而的中点的坐标为，这表明的纵坐标相等，所以轴或与x轴重合，故A错误； 对于B，若过点，可设，联立， 化简并整理得，显然， 由A选项分析可知点的横坐标，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 联立，化简并整理得，， 由A选项分析可知，轴，的坐标为，， 面积， 而，当且仅当等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，设，联立，化简并整理得， ， ， 由A选项分析可知，， 从而， 所以，这表明，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出，以及，由此即可顺利得解. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二上·山西太原·月考）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式得到，再利用给定结论求解即可. 【详解】由题可知，，解得， 则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点， 则圆的方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯写出了经典之作《圆锥曲线论》.在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（且）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，且点的轨迹关于直线对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，根据求出点的轨迹为圆心为的圆，圆心在上，列出方程，解得. 【详解】设，则， 由于，故， 化简得， 故点的轨迹为圆心为的圆， 由于点的轨迹关于直线对称， 故圆心在上，故，解得. 故选：A. 3．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 4．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时， ，即， 故选：D． 5．阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两点坐标，求出过点的切线方程，联立后得到，得到答案. 【详解】依题意，，设直线，联立， 则，解得或，不妨设， 设直线方程为，联立得， ，， ， 解得， 故直线的斜率，故直线， 同理可得直线的斜率，故直线， 联立，解得， 即，则. 故选：C. 6．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 直线，与椭圆都相切， ，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角， 点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：， 又，； 椭圆离心率，，. 故选：B. 7．（24-25高二上·广东惠州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O，Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ∴. 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 8．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程， 选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 9．（多选题）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（    ） A．点P在直线y＝－1上 B．存在点P，使得 C．AB⊥PF D．△PAB面积的最小值为4 【答案】ACD 【分析】由导数的几何意义可求得过点和过点的切线方程，由直线与抛物线方程联立，结合韦达定理可得两切线的交点坐标，从而可判断A，由韦达定理可得，从而可判断B，由直线垂直的斜率关系可判断C，由韦达定理表示出三角形的面积，结合函数性质可判断D. 【详解】对于A，由题意，设直线 联立，消去整理得： 设，则， 由抛物线可得，则， 则过点的切线斜率为，易知，即， 则切线方程为: ，即， 同理可得：过点的切线方程为：， 联立，解得，即， 所以点在定直线上，A正确； 对于B，由选项A可知，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，即，B错误； 对于C，由选项A可知，，则直线的斜率 由，则AB⊥PF，C正确； 对于D，由选项C可知： ， ， 则，当时，有最小值为4，D正确. 故选：ACD 10．（多选题）过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（    ） A．△AMB是直角三角形 B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线 C．MF是△AMB的高线 D．△AMB面积的最小值为 【答案】ABC 【分析】关于阿基米德三角形△AMB的结论，需要逐个选项去判断，由，即可证明A；求出处的切线方程，可以得出的坐标进而可以验证B；设的中点为，利用可以判断C；利用三角形面积公式结合韦达定理可以判断D. 【详解】设，，，，由可得：，， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 设直线，联立，化为， 得到，． 对于A，，， 所以△AMB是直角三角形，故A正确； 对于B，由导数的几何意义可得处的切线方程为：， 则，化简可得：， 所以直线的方程为：， 同理可得：直线的方程为：， 所以，则， 因为，解得：， 所以， 所以，因为抛物线C：的准线为， 所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，且取的中点， 连接，平行轴，故B正确； 对于C，，，所以 所以MF是△AMB的高线，故C正确； 对于D，因为平行轴，所以 因为，． 所以， ， 代入可得：， 当时，，故D不正确. 故选：ABC.    11．阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 【答案】 【分析】求出直线与直线的方程，联立两直线方程即可求得P点坐标，则可求；也可以使用二级结论“过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上”快速推导结果. 【详解】依题意，，直线， 由得，得或， 不妨设． 因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为， 与联立得关于的方程， 即， 令，得， 故直线的斜率，即直线， 同理可得直线的斜率，直线． 由得即，则． 二级结论法： 直线，由得出或， 不妨设， 由抛物线焦点弦的性质可得，过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上， 且交点的纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，所以，所以． 故答案为：. 12．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：  ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为． (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程 (2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】（1）选 ①②直接得出即可求出，得抛物线方程；选③联立方程求出弦端点横坐标表示出弦长，即可解出，得出抛物线方程； （2）令，，，利用导数求出切线方程,由点坐标适合方程，可得出直线的方程，代入点可证. 【详解】（1）即为， 若选①，抛物线方程为， 选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为. 选③，代入，解得，所以弦长为，解得， 所以抛物线方程为. （2）令，，，则，, ，, 即为， 又即， 同理，， ， 而过点即 点在直线上 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（25-26高二上·江西抚州·月考）（多选题）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 2．（多选题）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】ABC 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确；点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确；设直线，联立方程组，根据，可判定C正确；取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：ABC.    【点睛】方法点拨：圆锥曲线中的最值问题的分类及求解策略： 1、圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中的几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题； 2、对于圆锥曲线中的最值问题，一般可采用数形结合的方法或转化为函数的最值的问题加以解决，解决最值范围问题时，应重视圆锥曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用. 3．（多选题）阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（    ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为 C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值 D．一般情况下，阿基米德三角形的面积 【答案】ABC 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确； B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 即， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 故本选项说法正确； C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以， 直线的方程为： 所以点坐标为：，点 到直线的距离为： ， ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确； D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： 所以阿基米德三角形的面积， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用. 4．（23-24高二下·广东·期中）（多选题）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以为直径的圆必与准线相切 B．为定值4 C．设点，则周长的最小值为 D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点处的切线方程为 设，，设直线的方程为， 联立消去得，显然， 根据根与系数的关系可得， 所以，， 所以以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即以AB为直径的圆必与准线l相切于点，故A正确； 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，即点M在以AB为直径的圆上， 联立，解得， 所以点的横坐标为， 所以点在抛物线的准线上， 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点坐标为， 则，故B正确； 对于C： 抛物线的焦点为，准线为，所以， 由抛物线的定义可知， 则的周长为， 当且仅当、、三点共线时取等号，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为锐角，则且， 由题意知， ，，，， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是利用两角和的正切公式表示出，再由基本不等式求出的最小值. 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 6．（25-26高二上·江苏常州·月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差. (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1)； (2)16； (3)存在，点. 【分析】（1）设，根据已知直接列方程化简可得； （2）用点坐标表示，结合圆的方程消元，然后可解； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理代入化简，然后可解. 【详解】（1）设，由得， 即， 整理得①. （2）设，因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72. 所以取的最大值与最小值之差为. （3）由消去并整理得， 设，， ， 假定在轴上存在定点，使得， 设，则， 即，整理得， 则，化简得， 当时，，当时，，因此当时，恒成立， 所以在轴上存在定点，使得，点. 7．（24-25高二下·云南保山·期中）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据椭圆的离心率及蒙日圆方程列出的方程，即可求解； （2）（i）求得，可知轴，由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用等面积法求出，得内切圆的圆心坐标，进而可得内切圆的方程； （ii）设，，，点在椭圆上，得，利用等面积法可求得，，从而，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求得，，从而，结合基本不等式可求得答案. 【详解】（1）由题意得，，且， 因为椭圆的蒙日圆方程为，所以， 解得，，.     故椭圆的标准方程为. （2）（i）点的横坐标为2，， 又，轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，     ， 且的周长为，     又， ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为.     （ii）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即 由， 即，解得， 同理可得，，，     ，直线的方程为， 由，化简得，     ，得， 同理可得，， ，     由， ，     当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值为. 8．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. 【分析】（1）选①②③，设出点A，B，P的坐标，借助切线方程求出直线AB的方程，代入焦点坐标，求出点P的横坐标，再利用斜率计算判断作答. （2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答. 【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 所以点P在定直线上，即点P在定直线上成立. 选②，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，显然有， 当时，直线AB的斜率，直线PF的斜率， 则有，即， 所以成立. 选③，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，直线， 由得，不妨令， 直线PA的斜率，直线PB的斜率， 有，显然不垂直于， 所以不成立. （2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB的方程为：， 由消去x整理得：，显然， ，弦AB的中点Q的纵坐标为， ， ，，而， 即，化简得，解得或， 所以点P的坐标是，. 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 9．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用定义整理得，再根据条件列式求得； （2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）设（且），， 则， 整理得，， 另一方面动点的阿波罗尼斯圆方程是， 于是，，解得，，，， 则椭圆的两条准线距离. （2）①由，又， 则（或由角平分线定理得）, 令，则，设，，则有， 又直线的斜率，则， 又得， 将其代入中， 得，即， 因，则， 故的取值范围为； ②因点S，F，T在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，不妨设此圆半径为，直线与圆相交于点，显然点也在圆上， 根据阿波罗尼斯圆定义有：， 即，整理得， 因圆的面积，解得，即， 又， 则 解得，， 则，故直线l方程为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $