专题06 双曲线（期中复习讲义·培优版，11大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题06 双曲线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求双曲线的方程 题型07 等轴双曲线问题与双曲线对称问题 题型02 双曲线上点到焦点的距离（最值）问题 题型08 直线与双曲线联立问题 题型03 焦点三角形问题 题型09 双曲线中的面积问题 题型04 双曲线渐近线问题 题型10 双曲线中的中点弦问题 题型05 求双曲线离心率定值、取值范围问题 题型11 双曲线中的定值、定点问题 题型06 双曲线轨迹问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义与方程 双曲线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握双曲线的定义求轨迹方程 双曲线的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，渐近线及特征三角形，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 双曲线的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点02 双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 易错点：1. 实轴，虚轴，通径的长度位置，利用数形结合掌握双曲线的定义以及应用上，消参的表示上为易错点 2.易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 知识点03 直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点04 双曲线中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 题型一 求双曲线的方程 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的标准方程，通过双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例1-1】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【典例1-3】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【变式1-3】（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-4】化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 题型二 双曲线上点到焦点的距离（最值）问题 答｜题｜模｜板 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 易｜错｜点｜拨 注意距离之差为常数与距离之差的绝对值为常数的区别. 【典例2-1】 双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【典例2-2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式2-1】已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式2-2】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线 切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-3】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【变式2-4】（2026·高三·辽宁朝阳·期中）已知双曲线(，)的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆圆心的横坐标 ，内切圆圆心的坐标 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算，也容易和椭圆的焦点三角形面积公式混淆. 【典例3-1】已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【典例3-2】已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【典例3-3】已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【变式3-1】（2026·高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【变式3-3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四 双曲线渐近线问题 答｜题｜模｜板 先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误． 【典例4-1】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【典例4-3】双曲线的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是 （写出所有正确的序号）    （1）P到两条渐近线的距离之积为2 （2）当直线l运动时，始终有 （3）在中， （4）内切圆半径取值范围为 【变式4-1】若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线右支上，则下列结论正确的是（   ） A．直线的斜率为，则 B．使为等腰三角形的点有且仅有2个点 C．点到两条渐近线的距离积为 D．已知点，则最小值为7 【变式4-4】已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 题型五 求双曲线离心率定值、取值范围问题 答｜题｜模｜板 离心率： 1、点在双曲线上，利用坐标法带入双曲线方程，求解出之间的关系即可； 2、点在双曲线上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例5-1】设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【典例5-3】（26-27高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-4】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l上，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为） B．点到双曲线渐近线的距离为 C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D．记的内切圆的半径为r1，的内切圆的半径为，若，则 【变式5-2】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【变式5-3】已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 双曲线轨迹问题 答｜题｜模｜板 1. 直译法．若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可．多见于距离的和、差、积、商(比)的关系． 2．定义法．若动点运动的几何条件符合某方程为已知的曲线的定义，那么便可先设其标准方程形式，然后运用待定系数法解之．多见于直线和圆锥曲线，它是高考命题热点． 3．几何法．即运用平几中的基本轨迹命题或平面规则图形的某些性质． 【典例6-1】动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【典例6-3】（2026·高二·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【变式6-1】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，直线，过动点分别作，的垂线，垂足分别为，，记点的轨迹为曲线，若四边形的面积为1，则（     ） A．的方程为 B．四边形的周长可以为 C．设，，在第一象限，则周长的最小值为 D．直线与直线的斜率之积为1 【变式6-2】已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 【变式6-3】（2026·高二·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【变式6-4】（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 题型七 等轴双曲线问题与双曲线对称问题 答｜题｜模｜板 1.通过双曲线一焦点的光线，被双曲线反射后，反向延长线经过双曲线的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用双曲线的定义，焦点三角形的面积公式，余弦定理等进行求解. 2.等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为 易｜错｜点｜拨 双曲线的焦点三角形面积，余弦定理的表示和应用上不足. 【典例7-1】已知双曲线，则（    ） A．的取值范围为 B．双曲线的焦点坐标为 C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为 D．当双曲线为等轴双曲线时， 【典例7-2】圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【变式7-1】已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 题型八 直线与双曲线联立问题 解｜题｜技｜巧 设双曲线：，直线：联立两个方程，消去， 整理得到关于的一元二次（或一次）方程： 1. 当 （直线不平行渐近线，是二次方程） 判别式： ：2 个交点，相交 ：1 个公共点，相切 ：无公共点，相离 2. 当 （，直线平行渐近线，方程退化为一次方程） 一次方程只有一个解，直线和双曲线只有 1 个交点，但不是相切！是相交 3求弦长的两种方法 （1）求出直线与双曲线的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与双曲线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 【典例8-1】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【典例8-2】双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【变式8-1】已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【变式8-2】已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【变式8-3】已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 题型九 双曲线中的面积问题 【典例9-1】（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【典例9-2】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【变式9-1】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【变式9-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【变式9-3】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【变式9-4】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型十 双曲线中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 【典例10-1】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【典例10-3】（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． (1)求双曲线的标准方程； (2)试证明直线的斜率为定值； (3)若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 【变式10-1】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【变式10-2】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知双曲线（，）的左顶点到其渐近线的距离为． (1)求C的方程； (2)斜率为且不过原点的直线与双曲线的右支交于，两点，线段的中点为S，射线分别与曲线和直线：交于点P，Q，且． （ⅰ）求证：直线过定点T，并求出点T的坐标； （ⅱ）设直线，与分别交于点D，E，求的大小． 【变式10-3】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与的左右两支交于、两点． （i）若直线的斜率为，求的长； （ii）若，证明：，，成等比数列． 题型十一 双曲线中的定值、定点问题 【典例11-1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【典例11-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【变式11-1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知直线平行于轴，双曲线的右焦点为上一动点到的距离是到距离的倍. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，直线交于点，点在直线上，且. （i）证明：存在定点使得； （ii）若，求的坐标. 【变式11-2】．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【变式11-3】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． (1)求双曲线的标准方程． (2)设直线与曲线有唯一的公共点． （i）若直线与直线交于点，证明：； （ii）过作垂直于的直线分别交轴，轴于，两点，记点，在该平面内是否存在不重合的两定点、，使得为定值．若存在，求出定点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-4】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1.已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是 A． B． C． D． 2.（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（21-22高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西商洛·一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 8．(多选)（24-25高二下·广西南宁·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C表示双曲线 B．当时，曲线C表示椭圆 C．曲线C不可能表示两条直线 D．曲线C可能表示抛物线 9.（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 10，（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 11．（24-25高二下·福建福州·期中）已知双曲线的一条渐近线倾斜角为60°，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程以及离心率； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上． 12．已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 13．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 14．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 15．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 期中重难突破练（测试时间：100分钟） 1.（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 2．已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 3．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为 ． 4．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 8.（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9.（2026·高二·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 11.椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4 (1)求椭圆的标准方程； (2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； 12.若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． (1)证明：直线l的方程为； (2)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 13．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 11.椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4 (1)求椭圆的标准方程； (2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； 12.若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． (1)证明：直线l的方程为； (2)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：100分钟） 1.已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4.（多选）（2025·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 5．（多选）（25-26高三上·河北·开学考试）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 6. 已知曲线：是双曲线，曲线：是椭圆，其离心率分别是和，则 . 7.已知点，在双曲线（，）上，直线. (1)求双曲线的标准方程； (2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； (3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 9．（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 10．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求的方程． (2)设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 11．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. (1)求的方程； (2)设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 12．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，其右焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，其中在第三象限，直线交双曲线于另一点（为坐标原点）． （i）若，求四边形的面积； （ii）设分别为双曲线的左，右顶点，直线分别交直线于点，直线与相交于点，求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求双曲线的方程 题型07 等轴双曲线问题与双曲线对称问题 题型02 双曲线上点到焦点的距离（最值）问题 题型08 直线与双曲线联立问题 题型03 焦点三角形问题 题型09 双曲线中的面积问题 题型04 双曲线渐近线问题 题型10 双曲线中的中点弦问题 题型05 求双曲线离心率定值、取值范围问题 题型11 双曲线中的定值、定点问题 题型06 双曲线轨迹问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义与方程 双曲线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握双曲线的定义求轨迹方程 双曲线的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，渐近线及特征三角形，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 双曲线的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点02 双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 易错点：1. 实轴，虚轴，通径的长度位置，利用数形结合掌握双曲线的定义以及应用上，消参的表示上为易错点 2.易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 知识点03 直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点04 双曲线中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 题型一 求双曲线的方程 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的标准方程，通过双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例1-1】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【典例1-2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 【典例1-3】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【变式1-1】（2026·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，半焦距为，则，， 故，.所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式1-2】已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 则，， 所以方程为； 如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 则，， 所以方程为. 故答案为：， 【变式1-3】（2026·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 【变式1-4】化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 题型二 双曲线上点到焦点的距离（最值）问题 答｜题｜模｜板 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 易｜错｜点｜拨 注意距离之差为常数与距离之差的绝对值为常数的区别. 【典例2-1】 双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 【典例2-2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为.    故选：C 【典例2-3】（2026·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式2-1】已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得答案. 【详解】因为，所以， 因为是双曲线上的一点，所以， 即，解得（舍去），或. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线 切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，令半焦距为c， 设是双曲线的右焦点，连接， 由分别为的中点，得，由双曲线定义，得， 由切圆于点，得， 所以.故选：D 【变式2-3】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【答案】B 【详解】，，，， 由，由得或10， 又，所以.故选：B. 【变式2-4】（2026·高三·辽宁朝阳·期中）已知双曲线(，)的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的定义和基本不等式可得当，时，取得最小值，再由即可求出离心率范围.为双曲线右支上的任意一点，则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， ，即，即， . 故答案为：C. 题型三 焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆圆心的横坐标 ，内切圆圆心的坐标 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算，也容易和椭圆的焦点三角形面积公式混淆. 【典例3-1】已知双曲线：的左右焦点分别为    ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 . 【答案】4 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长， 而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故答案为：. 【典例3-2】已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 【典例3-3】已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 【变式3-1】（2026·高二·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【答案】4 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 【变式3-3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式3-4】（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 题型四 双曲线渐近线问题 答｜题｜模｜板 先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误． 【典例4-1】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：B. 【典例4-2】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为.故选：B. 【典例4-3】双曲线的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是 （写出所有正确的序号）    （1）P到两条渐近线的距离之积为2 （2）当直线l运动时，始终有 （3）在中， （4）内切圆半径取值范围为 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）根据点到直线的距离直接计算可得； （2）根据线段与线段的中点是否重合可得； （3）根据直线的倾斜角与三角形内角的关系，再结合三角恒等变换可得； （4）根据三角形内切圆半径与三角形的面积的关系，将半径表示成关于P点的横坐标的一个函数关系，从而求得半径的范围. 【详解】①由双曲线，可化为，则，， 双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以， 所以P到两条渐近线和的距离分别为： ，，所以 故（1）正确； ②由直线l与双曲线C的左右支都相交，所以直线l的斜率存在， 设l的方程为，，，，. 联立，消去y得， 若，即，方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得， 所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同，且P，Q，S，T都在直线l上. 所以与的中点重合，根据中点的性质可得. 故（2）正确； ③在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以. 故（3）正确； ④设内切圆半径为r，设，，则.， 所以. 同理. 所以 由，， 所以， 因，所以，得，， 所以.所以内切圆半径取值范围为. 故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（3）（4）. 【变式4-1】若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为.故选：C. 【变式4-3】已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线右支上，则下列结论正确的是（   ） A．直线的斜率为，则 B．使为等腰三角形的点有且仅有2个点 C．点到两条渐近线的距离积为 D．已知点，则最小值为7 【答案】ACD 【分析】对于A：根据渐近线的性质分析判断即可；对于B：分析可知，，结合双曲线的对称性分析判断；对于C：设，根据点到直线的距离公式结合双曲线的方程运算求解；对于D：利用双曲线的定义整理可得，结合图形的性质分析求解即可. 【详解】由双曲线方程可知，，，且焦点在x轴上， 则，渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的渐近线性质可知：直线的斜率， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，， 若为等腰三角形，显然， 当时，结合对称性可知点有且仅有2个点； 当时，结合对称性可知点有且仅有2个点； 综上所述：点有且仅有4个点，故B错误； 对于选项C：设，则，即， 则点到渐近线、的距离分别为、， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以最小值为7，故D正确； 故选：ACD. 【变式4-4】已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      题型五 求双曲线离心率定值、取值范围问题 答｜题｜模｜板 离心率： 1、点在双曲线上，利用坐标法带入双曲线方程，求解出之间的关系即可； 2、点在双曲线上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例5-1】设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆和双曲线离心率公式代入计算即可. 【详解】设圆锥曲线的离心率为， ①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有； ②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有. 综上，所求的离心率为或. 故选：AD. 【典例5-2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 【典例5-3】（26-27高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ，即 或 ， 又 ，所以，故选：D 【典例5-4】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得双曲线的渐近线与右顶点，再利用由渐近线的性质得到，从而利用齐次式法求得双曲线的离心率范围，由此得解. 【详解】因为的渐近线为，右顶点为， 显然直线过双曲线的右顶点，且斜率为， 所以由渐近线的性质可得， 所以双曲线的离心率为， 又，所以， 故选：A 【变式5-1】已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l上，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为） B．点到双曲线渐近线的距离为 C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D．记的内切圆的半径为r1，的内切圆的半径为，若，则 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即可判断选项. 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， 设直线与双曲线左右两支的交点分别为，， 联立方程组，整理可得：， 则，也即，解得：，故选项正确； 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：点到双曲线渐近线的距离，故选项错误； 对于，若直线AB垂直于x轴，则直线的方程为：，设点，，要使为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：， 则，即，所以， 又因为，则，也即，整理可得：，则，解得：，因为， 所以，故选项正确； 对于，过分别作的垂线，垂足为， 则，因为， 则，又因， 则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以轴， 因为， 则，所以， 由可知：，则，也即， 因为，，所以，，故选项正确， 故选：. 【变式5-2】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 【变式5-3】已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简， 根据已知角范围求解即可. 【详解】在中， 由． 因为，所以， 所以，所以． 故选:A. 【变式5-4】设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出，由勾股定理即可得到的关系，从而解出． 【详解】由题意可得，，，解得：，，因为，所以，即，亦即，所以． 故选：A． 题型六 双曲线轨迹问题 答｜题｜模｜板 1. 直译法．若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可．多见于距离的和、差、积、商(比)的关系． 2．定义法．若动点运动的几何条件符合某方程为已知的曲线的定义，那么便可先设其标准方程形式，然后运用待定系数法解之．多见于直线和圆锥曲线，它是高考命题热点． 3．几何法．即运用平几中的基本轨迹命题或平面规则图形的某些性质． 【典例6-1】动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程. 【详解】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是 故选：A 【典例6-2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【解析】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【典例6-3】（2026·高二·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【解析】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 【变式6-1】（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，直线，过动点分别作，的垂线，垂足分别为，，记点的轨迹为曲线，若四边形的面积为1，则（     ） A．的方程为 B．四边形的周长可以为 C．设，，在第一象限，则周长的最小值为 D．直线与直线的斜率之积为1 【答案】AC 【详解】选项 A，点到距离，点到距离， 由，四边形是矩形，面积，得，即，即， 由条件，所以，得，A 正确； 选项 B，矩形周长， 由基本不等式得， 故，故，故矩形周长的最小值是，而，B 错误； 选项 C，双曲线，即，，焦点，双曲线定义，即， ，，， 故周长， 因为，当且仅当在与双曲线第一象限交点取等号， 所以周长的最小值是，C 正确； 选项 D，当为时，此时，直线的斜率为0，直线的斜率不存在，D 错误.    【变式6-2】已知A，B两点的坐标分别为，．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)过点的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么? 【答案】(1)，点M的轨迹是除去，两点的双曲线 (2)不是线段CD的中点，理由见解析 【分析】（1）根据斜率公式化简得出轨迹方程； （2）法一：联立直线CD与双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，列出方程，作出判断； 法二：利用点差法得出直线方程，再与双曲线方程联立，判别式检验. 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 因为A，B两点的坐标分别为，， 所以直线AM的斜率为 所以直线BM的斜率为 由已知得， 化简得点M的轨迹方程为， 故点M的轨迹是除去，两点的双曲线 （2）解法一：依题意易知直线CD的斜率存在 设直线CD的方程为， 联立，消y得：， 由直线CD与双曲线相交于两点可得：， 设，，则， 若是线段CD的中点，则，解得：． 此时，与矛盾， 故不是线段CD的中点 解法二：假设是线段CD的中点， 设，，则， ∵C、D在双曲线上，∴， ①-②整理可得：，即， ∴线段CD所在直线，的方程是，即， 联立，消y得：，即， ，不是线段CD的中点. 【变式6-3】（2026·高二·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【解析】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【变式6-4】（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设，直线的倾斜角为， 则，且直线的倾斜角为，所以, 所以， 所以为钝角，即有， 又因为， 解得， 则, 又因为即为点到直线的距离， 所以， 同理可得：， 又因为，即， 即，整理得：，即， 又因为位于第一象限，位于第四象限， 所以动点的轨迹方程为：； （2）设， 由，得， 则且，则有， 由韦达定理可得 又因为直线，直线， 联立两方程，并消去，得， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 联立，消去，化简得，解得， 故，所以，满足， 则直线的方程为，即. 题型七 等轴双曲线问题与双曲线对称问题 答｜题｜模｜板 1.通过双曲线一焦点的光线，被双曲线反射后，反向延长线经过双曲线的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用双曲线的定义，焦点三角形的面积公式，余弦定理等进行求解. 2.等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为 易｜错｜点｜拨 双曲线的焦点三角形面积，余弦定理的表示和应用上不足. 【典例7-1】已知双曲线，则（    ） A．的取值范围为 B．双曲线的焦点坐标为 C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为 D．当双曲线为等轴双曲线时， 【答案】AD 【分析】根据双曲线的标准方程即可求解AB；根据双曲线的标准方程，求解渐近线即可判定C；根据等轴双曲线的定义即可求解D. 【详解】选项A：令，解得，A正确； 选项B：由于，，故该双曲线的焦点在轴上， 而，得，所以焦点坐标为，B错误； 选项C：当时，的标准方程为，易知渐近线方程为． 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则渐近线的斜率为或，C错误； 选项D：当双曲线为等轴双曲线时，，解得，D正确． 故选：AD 【典例7-2】圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 【变式7-1】已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点代入得，解得. 所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 【变式7-2】（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长则必过点， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【变式7-3】（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 题型八 直线与双曲线联立问题 解｜题｜技｜巧 设双曲线：，直线：联立两个方程，消去， 整理得到关于的一元二次（或一次）方程： 1. 当 （直线不平行渐近线，是二次方程） 判别式： ：2 个交点，相交 ：1 个公共点，相切 ：无公共点，相离 2. 当 （，直线平行渐近线，方程退化为一次方程） 一次方程只有一个解，直线和双曲线只有 1 个交点，但不是相切！是相交 3求弦长的两种方法 （1）求出直线与双曲线的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与双曲线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 【典例8-1】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 【典例8-2】双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，则，即或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 【变式8-1】已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. (1)当时，求点的坐标； (2)求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. (3)设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1)或 (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）联立得，再根据有唯一公共点，解得，再代入方程求点坐标即可； （2）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程； （3）设，，联立得到，再计算即可判断． 【详解】（1）根据题意， 则，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； （2），， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. （3）证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值．    【变式8-2】已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 【变式8-3】已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 题型九 双曲线中的面积问题 【典例9-1】（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的取值范围是 (3)或 【详解】（1）由离心率，得. 又，代入得，所以. 双曲线方程化为，将点代入， ，解得，. 所以双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为， 联立， 消去，整理得. 因为直线与双曲线交于两个点，所以 由，得. 由， 得. 综上所得，的范围是. （3）直线倾斜角为，斜率， 直线：，整理为. 联立， 代入化简得，即. 设，， ，. 所以 . 设，点到直线：的距离 . ， 得，. 解得或. 所以坐标为或. 【典例9-2】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【答案】(1) (2)① ②由（1）知，，故. 在中，由余弦定理可得， 即； 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以； 设的高为，所以，因此； 又因为与的高相等， 所以. 【分析】（1）根据已知条件列关于的方程组，解方程组即可. （2）①根据双曲线定义和圆的性质将进行转化，再利用三角不等式求最值； ②在中由余弦定理和基本不等式先求得的范围，利用两种面积公式表示， 进而得到三角形高的范围，表示的面积即可证得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，. ①点在双曲线右支上运动，由双曲线定义得，即. 圆：圆心为，半径，点在圆上，则（当且仅当在线段上时取等号）. 所以 又（当且仅当在线段上时取等号）， ， 所以（当且仅当在线段上，在线段上时取等号）， 所以的最小值为. ②略 【变式9-1】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【详解】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 【变式9-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    【变式9-3】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由标准方程读出 ，利用 求 ，代入离心率公式 即得 ； （2）由 三点位置，结合中点条件可求，代入双曲线方程可求（依右支舍去负根），再代回斜率公式得 ； （3）将 展开整理得 ，与双曲线方程联立消元求得 ，以 为底求焦点三角形面积。 【详解】（1） 双曲线 （2）已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 （3）由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 【变式9-3】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率与焦距，联立关系式，求出直接写出双曲线方程； （2）由直线与圆相切，用点到直线距离求出参数m；联立直线双曲线，韦达定理算弦长，再求原点到直线距离，用求面积； （3）设定点，直径圆条件转化向量数量积，代入韦达整理为关于m的多项式，令各次项系数为0，解方程组求n. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． （3）略 【变式9-4】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依据给定条件和双曲线中基本量的关系求解基本量，得到标准方程即可. （2）依据题意设出直线方程，再结合题意用单一变量表示出三角形面积，建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【详解】（1）由题意可得，， 点到渐近线的距离，且， 解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 如图，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 由解得，则 所以， 所以的面积， ， 由的面积为3，得，整理得， 解得，所以， 所以直线的方程为或 题型十 双曲线中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 【典例10-1】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 【典例10-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标. 【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率． 设，线段AB的中点为，则， 可得，． 因为A，B为双曲线上的两点， 所以，两式相减整理得，， 即，解得，所以直线， 因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点， 联立，解得，可知线段AB中点的坐标为． 故答案为：. 【典例10-3】（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． (1)求双曲线的标准方程； (2)试证明直线的斜率为定值； (3)若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，将其与双曲线方程联立得， 化简得（，且）． 设，由韦达定理，，得， 将代入直线的方程，解得，则． 同理可得． 故直线的斜率. (3)或 【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明； （3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解. 【详解】（1）由题意，则,∵点在双曲线上， ∴，解得，则， ∴双曲线的标准方程为． （2）略 （3）由（2）得，， ∴的中点的坐标为， 即，整理得：，又因为， 所以点的轨迹方程为：或. 【变式10-1】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【答案】(1) (2)设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 【分析】（1）利用双曲线右焦点到渐近线距离等于直接得到，结合离心率和关系式求出，写出标准方程； （2）写出双曲线上点处切线方程，联立切线与两条渐近线，利用韦达定理求出交点横、纵坐标之和，验证中点坐标恰好就是切点，完成证明． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）略 【变式10-2】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知双曲线（，）的左顶点到其渐近线的距离为． (1)求C的方程； (2)斜率为且不过原点的直线与双曲线的右支交于，两点，线段的中点为S，射线分别与曲线和直线：交于点P，Q，且． （ⅰ）求证：直线过定点T，并求出点T的坐标； （ⅱ）设直线，与分别交于点D，E，求的大小． 【答案】(1) (2)（i）（方法一）设：，，，， 联立， 所以， 则，所以直线的方程为：， 与联立可得：， 由可得： 化简整理可得：，即直线：， 所以直线过定点； （方法二）：设：，，， 所以 同时，由点M，N在双曲线上可得：， 作差得：① 由于点S为线段的中点，所以，， 所以①化简为：，即直线的斜率为，所以方程为：，与联立可得：， 由可得：， 化简整理可得：，即直线：，所以直线过定点； （方法三）设：，，，， 所以， 由可得，所以直线的方程为：， 与联立可得：， 由可得：， 化简整理可得：，即直线：，所以直线过定点. 定点为； （ii）. 【分析】（1）利用双曲线的概念及点到直线的距离公式计算即可； （2）（i）方法一、设直线方程及的坐标，联立直线与曲线结合韦达定理、中点坐标公式含参确定直线，再联立曲线结合弦长关系得出方程确定定点；方法二、设直线方程及的坐标，联立直线与曲线结合韦达定理得出，再利用点差法及中点坐标含参确定直线，联立曲线结合弦长关系得出方程确定定点；方法三、设直线方程及的坐标，联立直线与曲线结合韦达定理得出，直接利用中点弦性质结论确定直线，联立曲线结合弦长关系得出方程确定定点； （ii）方法一、结合上问结论及韦达定理、平面向量数量积计算即可；方法二、设直线、的倾斜角，根据斜率与倾斜角的关系、韦达定理计算即可. 【详解】（1）略 （2）方法一、当时， 在中，令，并两式相乘可得： 于是有，所以的大小为． 方法二、不妨设点在第一象限，则点在第四象限， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则有为钝角，为锐角， 且， 因为，所以有： 当时， 在中，令，并两式相乘可得： 所以，即， 所以不存在，故． 【变式10-3】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为3，且左右焦点分别为，，点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与的左右两支交于、两点． （i）若直线的斜率为，求的长； （ii）若，证明：，，成等比数列． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（1）知双曲线的标准方程为，， 由题意直线的斜率存在，设， ，，则由题意. 联立，消去并化简得， 则，，，则有， 因为，所以， 即，所以， 化简得，此时 ， 而 ， 所以，所以，，成等比数列． 【分析】（1）利用离心率、焦点到渐近线距离以及的关系求解双曲线的方程； （2）（i）求出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求解即可； （ii）设直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，根据弦长公式及求得，再根据弦长公式分别求得，进而利用等比数列定义证明即可. 【详解】（1）已知双曲线的离心率为，则，所以，即. 设双曲线的右焦点为，根据双曲线对称性不妨取渐近线方程为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）由（1）知，因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 设，，联立，消去并化简得， 则，， 所以； （ii）略 题型十一 双曲线中的定值、定点问题 【典例11-1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【典例11-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【详解】（1）由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）略 【变式11-1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知直线平行于轴，双曲线的右焦点为上一动点到的距离是到距离的倍. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，直线交于点，点在直线上，且. （i）证明：存在定点使得； （ii）若，求的坐标. 【答案】(1) (2)（i） 方法一： 设到的距离为，由于，由三角形相似得， 依题意，，故到的距离为，， 而，且由题意得， 故，即在以为圆心，4为半径的圆上 因此，只需是直径，则，故存在点满足题意 检验：当在x轴时，与重合，与矛盾，故不在轴，故与不会重合，即点满足题意 方法二： 不妨设，由于，故 故 由于图形整体关于轴对称，故点必然在轴上，设其坐标为 则 依题意得，故 展开并代入坐标得 由于始终成立，故，当时，三者均满足，故存在点 检验：当在x轴时，与重合，与矛盾，故不在轴，故与不会重合，即点满足题意 方法三： 设直线， 由于不在轴，故必然存在， 代入得，故直线倾斜角的正切值为 联立与双曲线得 ，由韦达定理得， 由于交点为，故，代入得 故的倾斜角的正切值为 而，即 故，即在以为圆心，4为半径的圆上 因此，只需是直径，则，故存在点 检验：当在x轴时，与重合，与矛盾，故不在轴，故与不会重合，即点满足题意 （ii）或 【分析】（1）设出点坐标，根据题目中的条件，用待定系数法求解. （2）（i）可利用证明是直径或者向量的数量积为0或者韦达定理结合斜率的定义进行证明； （ii）利用三角形相似或者斜率的定义结合正切的差角公式求解. 【详解】（1） 设，可得，由于轴，故可设， 依题意可得，，即， 可得，故有 由题意可得 解得，即 （2）（i）略 （i i）由于图形整体关于轴对称，故点必然在轴上 由此可得，随着的移动，点最多存在两个，分列左右 方法一： 取，故垂直平分 由于，故 故，故有 取点，故 故有 由于，故，而，且 故，可得 因此 由于，故若在右侧存在第二个点，其必定位于线段上，设其为 由于 故 故 可得 代入数据得，故 故点的坐标为或 方法二： 由（2）（i）得 设 可得倾斜角的正切值为倾斜角的正切值为 可得直线的斜率为的斜率为 结合，可得 同理可得 故 解得或 故点的坐标为或 【变式11-2】．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)设直线，联立得， 因为直线与双曲线有两个交点， ，且， 设则. ， 直线方程为，当时，. 为定值. (3)存在， 【分析】(1)利用双曲线渐近线得到 比例关系，再把已知点代入双曲线方程联立求解参数，直接得到标准方程； (2)设 ，联立双曲线用韦达定理，求出交点 P，把斜率乘积全部转化为韦达的整体代数式，消参得到定值；(3)设切线斜率，利用相切判别式为 0 得到关于斜率的二次方程，由斜率之积的条件推导出动点D的轨迹椭圆，再利用椭圆定义找到定点与定值. 【详解】（1） 由题意得，双曲线标准方程为. （2）略 （3）存在，， 设切线方程为， ， ，， ，， 整理得在以为焦点的椭圆上. 由椭圆定义可知，椭圆上任意点到两焦点距离和为， 存在点使为定值. 【变式11-3】（2026·贵州黔南·模拟预测）已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． (1)求双曲线的标准方程． (2)设直线与曲线有唯一的公共点． （i）若直线与直线交于点，证明：； （ii）过作垂直于的直线分别交轴，轴于，两点，记点，在该平面内是否存在不重合的两定点、，使得为定值．若存在，求出定点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）直线与双曲线联立， 消去，整理得到关于的方程， 因为直线与双曲线有唯一公共点，所以， 则， 化简得到， 又切点为，由韦达定理得到， 直线与交于，将代入，解得， 则， ， ， 又， 则，故，得证. （ii）存在，定点， 【分析】（1）由焦点坐标得到，将的坐标代入双曲线方程，通过计算得到双曲线标准方程. （2）（i）直线与双曲线联立方程组，消去，整理得到关于的方程，由直线与双曲线有唯一公共点得到，结合切点和韦达定理得到，求出，求出的坐标，利用向量的数量积公式求出，从而得到，得证. （ii）求出过作垂直于的直线方程，求出轴截距和轴截距，从而得到满足，结合，可得，结合双曲线的定义得解. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点坐标分别为 ，， 所以，， 因为双曲线过 ，所以 ，， 将代入， 整理得，解得（舍去），， 则双曲线标准方程. （2）（i）略. （ii）因为过且垂直于的直线斜率为， 所以过作垂直于的直线方程为， 令，得到轴截距为， 令，得到轴截距为， 于是满足， 结合 ，可得， 即， 因此在等轴双曲线 上，其半焦距为， 两焦点为， 对任意上述点 M，均有， 所以所求两定点存在，可取，，定值为. 【变式11-4】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 【答案】(1)（） (2)（i）设（，），则，即， 则，同理可得， 因为，所以， 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值. （ii） 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）（i）设（，），计算，，然后可求得，再结合已知可得证； （ii）设：，设，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，计算出与的面积之和并代入转化为关于的函数，结合导数知识得最值. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以，为焦点且实轴长为的双曲线的上支， 由，，得，， 故的方程为（）. （2）（i）略 （ii）依题意可得直线的斜率必然存在，设：，代入， 得，则恒成立， 设，，，， 则，，则， 因为，所以的面积 由（i）知，则，同理得的面积． 不妨设，，则与的面积之和如下， 为 ， 令，， 则 ． 因为，所以，则在上单调递增， 所以， 从而与的面积之和的最小值为. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1.已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中， ，所以，， 由双曲线的定义可得，即，所以， 故双曲线E的标准方程为. 故选:D. 2.（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D 5．（21-22高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定即可得双曲线方程. 【详解】双曲线的焦点坐标是和可得， 实轴长是2可得， 所以， 所以方程是. 故选：B. 6．（2023·陕西商洛·一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得. 【详解】焦距为，即，； ，，又，， ，即，，解得：. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 8．(多选)（24-25高二下·广西南宁·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C表示双曲线 B．当时，曲线C表示椭圆 C．曲线C不可能表示两条直线 D．曲线C可能表示抛物线 【答案】AC 【分析】根据椭圆、双曲线的定义列式求解m范围，可判断AB；根据方程特征可判断CD. 【详解】对于A，曲线，当时，表示双曲线， 即时，曲线C表示双曲线，A正确； 对于B，曲线，即曲线， 当，即时，曲线C表示椭圆，B错误； 对于C，由B的分析可知，时，曲线C表示圆， 当，此时m不存在， 结合以上分析可知无论m如何取值，方程都不能化为两个一次因式积等于0形式， 故曲线C不可能表示两条直线，C正确； 对于D，方程不含一次项，故曲线C不可能表示抛物线，D错误， 故选：AC 9.（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 10，（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    11．（24-25高二下·福建福州·期中）已知双曲线的一条渐近线倾斜角为60°，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程以及离心率； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上． 【答案】(1)C的方程为，离心率为； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用渐近线倾斜角以及实轴长可得，，即可求出C的方程以及离心率； （2）设并求得直线方程，解得交点的坐标代入椭圆方程验证即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 又由可得，所以； 可得，即； 因此双曲线C的方程为； 离心率为. （2）易知， 由动直线与C交于不同的两点，不妨设，如下图所示： 则直线的斜率为， 所以两直线的方程分别为； 联立，解得， 又因为在双曲线上，所以，即可得 又椭圆为， 易知，即点满足椭圆方程， 即点E恒在椭圆上. 12．已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据离心率公式以及将点代入方程即可求解双曲线的方程； （2）设直线方程为，与双曲线联立方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可； （3）设直线l方程为，联立求出，由题意得且，再根据，求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线：，，，则， 将点，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）当直线斜率为0时，易知，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，整理得，， ， ，，     从而，解得或， 故直线的斜率为或． （3）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，，如图4， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即，     代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，m的取值范围为． 13．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 14．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 15．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ，，，， 联立直线的方程与双曲线的方程，并整理， 得， 则，. 与，分别联立，解得，， 则， 因此，即， 因为，， 所以． 当的斜率不存在时，根据对称性，显然有． 综上，． 【分析】（1）利用渐近线、焦点到渐近线距离以及的关系求解双曲线的方程，考查双曲线的几何性质. （2）要证，由直线上距离与横坐标的关系，将其转化为证明，分别联立直线与双曲线、直线与渐近线，借助韦达定理得到两组横坐标之和相等，变形得，进而证得线段相等. 【详解】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，则，即. 设双曲线的右焦点为，渐近线方程化为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故的方程为. （2）略. 期中重难突破练（测试时间：100分钟） 1.（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 【答案】 【详解】如图，记与轴交于点， 由题意得，，，故，. ∵，为中点， ∴为的中位线， ∴，， 由得与相似，∴， ∴，， ∵的角平分线为， ∴由角平分线定理得，， 由双曲线的定义得，， ∴， ∴，故为直角三角形， ∴的面积为. 2．已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 3．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线方程求得，，利用中点坐标公式求得，结合点在渐近线方程上，可求得离心率. 【详解】由双曲线，可得右焦点，右顶点， 过过点且与轴垂直的直线方程为，代入双曲线方程可得， 解得，又因为点在第一象限，故， 因为是的中点，所以由中点坐标公式可得， 直线与的渐近线交于点，又渐近线方程， 所以，所以，两边平方得， 所以，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D 5．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出渐近线的斜率，再根据求双曲线的离心率. 【详解】如图：不妨设点在第一象限. 因为与轴垂直，，且， 所以. 所以点坐标为. 所以. 所以. 故选：B 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 8.（2026·高二·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 9.（2026·高二·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 10.（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点的轨迹方程； (2)设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设，直线的倾斜角为， 则，且直线的倾斜角为，所以, 所以， 所以为钝角，即有， 又因为， 解得， 则, 又因为即为点到直线的距离， 所以， 同理可得：， 又因为，即， 即，整理得：，即， 又因为位于第一象限，位于第四象限， 所以动点的轨迹方程为：； （2）设， 由，得， 则且，则有， 由韦达定理可得 又因为直线，直线， 联立两方程，并消去，得， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 联立，消去，化简得，解得， 故，所以，满足， 则直线的方程为，即. 11.椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4 (1)求椭圆的标准方程； (2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】(1)根据双曲线的方程确定的坐标，从而得出椭圆的焦距，再根据椭圆的定义可得椭圆的长轴为4，进而确定椭圆的方程. (2)设点M的坐标，用点M,三点的坐标表示，再根据点M满足双曲线的方程，求解出的值. 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标分别为 从而椭圆的焦距，得 又椭圆上一点P到椭圆两个焦点的距离之和为4，所以椭圆的长轴，即 从而得 故椭圆的方程为： （2）设点，则 因为点M在双曲线上，所以，代入上式得 故的乘积为定值1. 12.若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外时，其极线是圆锥曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线为点处的切线，直线与轴的交点为． (1)证明：直线l的方程为； (2)若点，，直线上是否存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由题意知，点与直线是双曲线的一对极点和极线， 故直线的方程为，即． (2)由直线，知，又，，则， 故，即，故双曲线的方程为． 假设存在点，使得过点的双曲线的两条切线互相垂直． 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为，， 则切线，． 由点和直线是双曲线的一对极点和极线， 得直线的方程为，即． 又，则． 因为点在直线上，所以， 切点在双曲线上，则， 化简可得， 同理可得， 则与是方程的两个解． 由韦达定理可得，得，故点的轨迹方程为． 又直线， 圆心到直线的距离， 令，则， 由均值不等式，得，因此，即， 故，所以直线与曲线无交点， 故不存在点，使得过点作双曲线的两条切线互相垂直． 【分析】（1）利用极点极线的对应规则，曲线上点的极线就是该点的切线，代入圆锥曲线一般式可直接写出切线方程； （2）圆锥曲线两条互相垂直切线的交点轨迹为蒙日圆，先求出轨迹方程，再通过直线与曲线的位置关系判断是否存在满足条件的点. 【详解】（1）略 13．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）略 （2）略 期中综合拓展练（测试时间：100分钟） 1.已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 2.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为， 由，则，， 因为是的平分线， 所以, 又因为， 所以， 所以，解得，即， 所以双曲线的离心率取值范围为.故选：B 3.（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题给条件得到的关系，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线右焦点为，连接. 又中，，则, 由直线可得，则， 又由双曲线可得， 则，则有，即 又，则有， 整理得，解之得 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C 4.（多选）（2025·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 5．（多选）（25-26高三上·河北·开学考试）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 6. 已知曲线：是双曲线，曲线：是椭圆，其离心率分别是和，则 . 【答案】 【分析】可知轴为曲线的渐近线，进而可得，设，根据题意整理可得，结合椭圆定义可得以及，即可得结果. 【详解】对于曲线：，则轴为其渐近线，即渐近线相互垂直， 可知该双曲线为等轴双曲线，可得， 对于曲线，设曲线上的点， 由于将代入中，方程不变，故曲线关于对称， 由于将代入中，方程不变，故曲线关于对称， 由此令，代入到中， 可得，该椭圆焦点为， 由于曲线：是椭圆可按变换得到， 故按此变换，由，可取， 可得，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，， 又因为 ， ， 则， 可知曲线是以为焦点的椭圆，则，可得， 所以. 7.已知点，在双曲线（，）上，直线. (1)求双曲线的标准方程； (2)当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； (3)当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的代入方程，求出a,b,即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，结合韦达定理可得直线方程，即可得证. （3）由已知可得直线与双曲线相切，可得，也可得点与，进而可得点的轨迹方程. 【详解】（1）由点，在双曲线， 即，解得， 所以双曲线方程为； （2） 由已知，设，， 联立直线与双曲线，得， 则，即，且， ，， 又点与关于轴的对称， 则， 所以， 即， 即，恒过定点； （3）由已知直线，，且， 联立直线与双曲线，可得， 则,， 即，， 所以，,代入直线可得， 即， 所以直线，即， 所以，， 即，可得. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)：，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 9．（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 10．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求的方程． (2)设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据右焦点坐标及渐近线方程，结合列方程组求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据题意及韦达定理求出的范围，结合求解即可. （ⅱ）由双曲线的对称性知，进而得到，设，得到；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为. 由题意得，，， 又，所以，， 所以的方程为. （2）易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，且， 联立，整理得， ， 所以，， 由直线与的右支交于两点，得. （ⅰ）因为，所以，即，所以. 将其代入，解得，，且， 所以，整理得，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为. （ⅱ）由双曲线的对称性知，，所以， 所以 ， 设，则， 则， 设， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 11．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. (1)求的方程； (2)设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)(i)先由等轴双曲线的焦点坐标求出满足的等量关系，联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理和弦长公式（或三角形面积公式）表示出的面积，将关系式代入化简求值；(ii)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标. 【详解】（1）由已知得，得，所以. （2）（i）已知等轴双曲线的中心在原点，右焦点为， 设该双曲线的方程为， 其半焦距，解得， 所以该双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以， 联立得， ， 设点到的距离为 ， 因为，所以. （ii）由第(1)问可知，椭圆的方程为， 椭圆的上顶点坐标为， 左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为：， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或. 12．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，其右焦点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，其中在第三象限，直线交双曲线于另一点（为坐标原点）． （i）若，求四边形的面积； （ii）设分别为双曲线的左，右顶点，直线分别交直线于点，直线与相交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由及离心率求解即可； （2）（i）先求点坐标，进而求得直线方程，得出点坐标，即可计算面积；（ii）设出直线方程，由韦达定理得出，再求出点的轨迹方程，化简即可求解最值． 【详解】（1）由题意可知，双曲线右焦点为，所以半焦距， 离心率，即，解得， 根据，可得， 所以，双曲线的标准方程为：． （2）（i）设，因为在右支()， ， 同理可得， 由题意得：， 代入双曲线方程求：， 取（在第一象限），则， 因为与关于原点对称，所以， 直线过和，斜率， 直线方程：， 联立直线与双曲线方程：， 代入整理得，， 已知是一个根，由韦达定理， ，， 所以， 四边形的顶点为， ， ， ,, 所以， ，， 所以，所以， 所以， 所以． （ii）设直线方程为， 联立双曲线：， 设，则是上述方程的根， ， 直线方程：，令，得， 利用，得， ， 同理，， 则 ， 所以，， 设， 直线过，方程：， 直线过，方程：， 设，则，， 代入： ， 整理得， 配方得：， 这是一个椭圆，且， 设，直线为，， 到的距离，， 其中，， 令，则， ， 已知，， 计算和， ， ， 因为，所以， 所以， 又， 所以 ， 要使最小，需最大， 由椭圆方程，当时， 取最大值，， ， 所以的最小值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $