精品解析：江苏扬州市邗江区瓜洲中学2026-2027学年高一上学期10月份质量检测数学试卷

瓜洲中学高一年级十月份质量检测 数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合，则（       ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值是（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则x的取值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. 关于的不等式的解集为 D. 是关于的不等式的一个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的_________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 13. 已知集合，，若，，则________． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）求 （3）求 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 19. “笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瓜洲中学高一年级十月份质量检测 数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知集合，，所以， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题：，， 其否定：，. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 4. 集合，则（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求解出集合，进而求得. 【详解】先解不等式求得集合，进而求得. ，解得或，所以或， 所以. 5. 已知，，且，则的最小值是（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】，， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 7. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由常数代换以及基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定，满足的条件，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为. 所以. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则x的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意知，或． ①当时，． 此时，，满足题意； ②当时，或. 若，则，满足题意； 若，则，满足题意. 故的取值可能为，，1， 故B、D正确，A、C错误． 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 11. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. 关于的不等式的解集为 D. 是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的_________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】若，则，所以“”是“”的充分条件； 若，则，不能推出，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 13. 已知集合，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再结合交集、并集的运算性质确定集合，利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，通过韦达定理求出的值，最终计算. 【详解】解不等式，因式分解得，解得，所以. 因为，，结合可得， 即一元二次不等式的解集为. 由一元二次不等式解集的性质可知，方程的两个实根为，. 根据韦达定理： ，代入根得，解得，. 所以. 14. 已知正实数，满足，则的最小值为_______ 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用已知替换所求式中的常数，将原式化简为，再通过乘""法构造基本不等式的适用形式求解最小值. 【详解】已知正实数，满足，所以，且，， 因为 ， ， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 将代入，解得，，均满足正实数条件， 所以， 即所求最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）求 （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以或 16. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法求解即可； （2）根据解分式不等式的方法求解即可； （3）根据解绝对值不等式的方法求解即可. 【小问1详解】 ，即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ，即且， 解得且， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 ，即， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可按照与分别讨论参数范围即可；（2）根据“”是“”的必要不充分条件得到是的真子集，进而建立不等关系得到的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知， 若，当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是． 18. （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）（i）1；（ii）； （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 【解析】 【分析】（1）利用构造基本不等式的形式，利用“一正二定三相等”求解即可；（2）分别利用，，，得到不等关系，再利用不等式性质得到，最后验证等号成立条件即可. 【详解】（1）解：（ⅰ）因为，所以， 令，，则，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1 （ⅱ）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． （2）略 19. “笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． （1）若，，求与； （2）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 【答案】（1）； ； （2），.(答案不唯一，只需满足，即可). 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意可得，或，，结合基本不等式及为素数求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以； ； 【小问2详解】 因为，，为素数， 所以，或，， 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为为素数，所以等号不成立； 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，满足为素数， 所以当时，取最大值为. 此时符合条件的一组集合是. (答案不唯一，只需满足，即可) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $