精品解析：四川达州市第一中学校2026年秋八年级上学期第一次素质训练数学试卷

达一中初2025级2026年秋季第一次素质训练 数学试题 考试时间120分钟，满分150分． A卷（100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在，，，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ） A. B. C. D. 5. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 8. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ） A. 13 B. 12 C. 10 D. 8 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 的立方根是____________，的平方根是____________． 10. 已知方程是关于x，y的二元一次方程，则____________． 11. 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 12. 若实数，则代数式的值为___. 13. 如图，中，，，．在的上方分别以、、为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为____． 三、解答题（共5个小题，共48分） 14. 按要求解题： （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 16. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 17. 如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． （1）作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； （2）信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 18. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则__． 20. 如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________． 21. 在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则______． 22. 如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 23. 在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有_______个． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 （1）该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ （2）经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 25. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 26. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达一中初2025级2026年秋季第一次素质训练 数学试题 考试时间120分钟，满分150分． A卷（100分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在，，，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可． 【详解】解：是整数，是有限小数，是循环小数，是分数，均为有理数， ，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数，共3个． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行判断即可．满足下列两个条件是最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 4. 如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 5. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 6. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 7. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 8. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ） A. 13 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得． 【详解】解：由折叠的性质可知， 设为x，则为， ∵四边形为长方形 ∴， ∴在中由勾股定理有 即 化简得 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 的立方根是____________，的平方根是____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】解：∵， ∴0.064的立方根是0.4． ∵；， ∴9的平方根是， 即的平方根是． 10. 已知方程是关于x，y的二元一次方程，则____________． 【答案】1或25 【解析】 【分析】因为该方程是二元一次方程，所以x和y的次数都为1，可列关于m、n的次数方程，同时未知数的系数不能为0，可列关于m、n的系数不等式．求解m的次数方程，再结合系数不等式，确定m的取值．求解n的次数方程，再结合系数不等式，确定n的取值．将确定的m、n代入计算即可． 【详解】针对x的项：， 解得 ； 同时 ， 也就是 ， ∴只能取 ． 针对y的项： ， 解得 ； 同时，， 这里都满足该条件． 把、代入，得； 把、代入，得． 综上，的值是1或25． 11. 一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 12. 若实数，则代数式的值为___. 【答案】3 【解析】 【详解】∵ =， ∴=（a-2）2==3， 故答案为3. 13. 如图，中，，，．在的上方分别以、、为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、圆面积的计算，解题关键是找出各个图形之间的关系，求出．先由勾股定理得，再由直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积，即可得出． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：． 三、解答题（共5个小题，共48分） 14. 按要求解题： （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先按照立方根的定义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义化简，再进行加减计算即可； （2）先对方程组中含分母的方程去掉分母，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 得， 整理得， ，得，解得， 将代入，得，解得， 原方程组的解为． 15. 已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2）的平方根 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，， ， 的整数部分3， ， ，，； 【小问2详解】 ，，， ， 的平方根． 16. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． （1）作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； （2）信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 【答案】（1）解：由题意得，∠B=45°，∠ADB=90°，AB=240√2km， ∴是等腰直角三角形，， ∴点到射线的距离为； ∵， ∴处能接收信号； （2）接收信号持续 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）通过证明是等腰直角三角形，求出的长，再结合题意判断处能接收信号，即可解答； （2）分别求出信号接收站恰好能接收信号的临界点与，求出的长度，再利用时间路程速度，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， 当时，， 当时，， ∴， ， 答：接收信号持续． 18. 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出a的值，然后代入式子求出m的值，最后求出am的值． 【详解】解：要使有意义，则， 解得， 故， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了求二次根式有意义的条件，二次根式的取值范围的基本依据是被开方数大于或等于零,当分母中含有二次根式时,还要保证分母不等于零,从而将其转化为解不等式或不等式组．若被开方数为非负数时,则取值范围是全体实数． 20. 如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 21. 在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，根据“三倍解方程”的定义，方程组的解中两个未知数有3倍关系，即或．分别将这两种关系代入原方程组，通过解方程组求出的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组是“三倍解方程”， ∴当时，代入第一个方程， 得， 解得 则； 将， 代入第二个方程， 得 解得； 当时，代入第一个方程， 得 解得 则． 将，代入第二个方程， 得 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 22. 如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 23. 在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可． 【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，符合题意； ②由题意知，，则是直角三角形，但不是符合的条件形，故不符合题意； ③由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意； ④由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意； 即符合要求的只有3个， 故答案为：3． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 （1）该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ （2）经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 【答案】（1）生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个 （2）有两种，厂家最少需投资152万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个， 根据题意得：， 解得， 答：生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个； 【小问2详解】 根据题意得： ， 整理得：， ， 又都为正整数，为5的正整数倍， 或， 当时，， 需投资：（元）， 当时， ， 需投资：（元）， 又， 最少投资1520000元， 答：厂家生产方案有两种：生产甲网球拍4000个，乙网球拍2500个；生产甲网球拍3200个， 乙网球拍3000个；厂家最少需投资152万元． 25. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3） ，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）利用分子有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 26. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵，， ； 【小问2详解】 解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $