期中专题04：角的平分线-2026-2027学年人教版数学八年级上册

期中专题04：角的平分线-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026•五华区校级模拟）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定AD＝BD的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•浦东新区校级期末）嘉嘉同学用三角板作△ABC的边AC上的高，下列三角板摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•望奎县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．（2025秋•南部县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝3，BC＝5，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 5．（2025秋•海伦市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，DE⊥AB，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（　　） A．mn B．2mn C．m+n D． 6．（2026春•茂南区期中）如图，△ABC≌△A′B′C′，∠ACB＝90°，∠B′CA＝30°，则∠ACA′的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．90° 7．（2026春•高新区期中）某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线AB为直线l的垂线的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2026春•温江区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•无棣县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，根据尺规作图的痕迹，则∠ADE的度数是________ ． 10．（2026春•渝北区校级同步）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，AB＝4，点D是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为_____ ． 11．（2025秋•青阳县期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积等于_____ ． 12．（2026春•阜新期中）如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝__________ ． 13．（2026春•市南区校级期中）如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC，PA，若PD＝PE＝PF，∠APB＝37°，则∠BCA的度数为________ ． 14．（2026春•昌图县期末）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A、B为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于MN；作直线MN交BC于点D，连接AD，DE平分∠ADC，交AC于点E，BD＝6，△ADE的面积为12，则EC的长为_____ ． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•大连月考）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高． （1）作∠ACB的平分线，交BD于点E（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若∠A＝70°，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数． 16．（2026秋•璧山区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝32，CE＝11，求AE的长． 17．（2025秋•珠海校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD⊥BC． （1）求作：∠BAC的角平分线AE，交BC于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求∠EAD的度数． 18．（2026秋•会昌县校级月考）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠EDB＝∠FDC．求证：EB＝FC． 19．（2026秋•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD为BC边上的高，F为AB边上一点，连接CF交AD于点E，且AF＝AE． （1）用无刻度的直尺和圆规过点B作AC的垂线，交AC于点P，交CF于点G，再连接AG．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明：EG＝FG． 证明：∵BA＝BC，且BP⊥AC， ∴∠ABP＝∠CBP， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴_________ ＝∠BCG， ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BCE+∠CED＝90°， ∵__________ ， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠AEF＝∠CED， ∴∠BAG+∠AFE＝∠BCG+∠CED＝________ ， ∴∠AGF＝90°， ∴AG⊥EF， 又∵AF＝AE， ∴EG＝FG． 20．（2025秋•老河口市期中）（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°． ①求∠BOE的度数； ②在BC上截取BF，使BF＝BE，连接OF，补全图形并求证：OD＝OF； （2）如图2，点D是△ABC外一点，BD平分∠ABC，BD交AC于点O，CA平分∠BCD，∠BAC＝100°，∠ABC＝40°，AB＝2，BC＝3，求CD的长． 期中专题04：角的平分线-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•五华区校级模拟）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定AD＝BD的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图中是BC垂直平分线的作图，不能确定AD＝BD，不符合题意； B、图中是∠BAC角平分线的作图，不能确定AD＝BD，不符合题意； C、图中是BC垂线或高线的作图，不能确定AD＝BD，不符合题意； D、图中是AB垂直平分线的作图，能确定BC＝12，BD＝AD，AC＝18，符合题意． 故选：D． 2．（2026春•浦东新区校级期末）嘉嘉同学用三角板作△ABC的边AC上的高，下列三角板摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：用三角板作△ABC的边AC上的高，三角板摆放位置正确， 故选：D． 3．（2025秋•望奎县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD是△ABC的角平分线，CD＝3cm， ∴DE＝DC＝3cm， 即点D到AB的距离为3cm， 故选：B． 4．（2025秋•南部县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝3，BC＝5，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【解答】解：如图，BC＝5，BF＝3，过F点作FH⊥AB于H点， ∴FC＝BC﹣BF＝5﹣3＝2， 由题意得：AF平分∠CAB，且∠C＝90°， ∴FC⊥AC， ∴FH＝FC＝2， ∴点F到AB的距离为2． 故选：D． 5．（2025秋•海伦市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，DE⊥AB，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（　　） A．mn B．2mn C．m+n D． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴BC⊥CD， 又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，CD＝n， ∴DE＝CD＝n， ∵AB＝m， ∴． 故选：D． 6．（2026春•茂南区期中）如图，△ABC≌△A′B′C′，∠ACB＝90°，∠B′CA＝30°，则∠ACA′的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．90° 【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠ACB＝∠A′CB′＝90°， ∵∠B′CA＝30°， ∴∠ACA′＝∠A′CB′﹣∠ACB′＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 7．（2026春•高新区期中）某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线AB为直线l的垂线的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：根据当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线．三个图逐个分析如下： 从左起第一个图： 根据作图痕迹可知直线AB是线段的垂直平分线，所以直线AB为直线l的垂线； 左起第二个图： 根据作图痕迹可知尺规作图作出了一个菱形，菱形的对角线互相垂直，所以直线AB为直线l的垂线； 最后一个图： 等腰三角形底边三线合一，所以直线AB为直线l的垂线． 故选：D． 8．（2026春•温江区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴CE⊥BC， ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，AC＝3cm， ∴EC＝DE， ∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝3cm． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•无棣县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，根据尺规作图的痕迹，则∠ADE的度数是　59°　 ． 【解答】解：由作图可得：AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝62°， ∴， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝59°， 故答案为：59°． 10．（2026春•渝北区校级同步）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，AB＝4，点D是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则点D到BC的距离为　1　 ． 【解答】解：如图所示，过点D作DE、DF、DG分别垂直于AC，AB、BC，垂足分别为E、F、G，连接AD ∵∠ACB与∠ABC的角平分线交于点D， ∴DE＝DF＝DG， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD ∴ ∴， ∴6DG＝6， ∴DG＝1， ∴点D到BC的距离为1， 故答案为：1． 11．（2025秋•青阳县期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积等于　6　 ． 【解答】解：作EF⊥BC于点F， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，CD⊥AB， ∴EF＝DE＝2， ∴根据三角形的面积公式得，， 则△BCE的面积为6， 故答案为：6． 12．（2026春•阜新期中）如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝　3：4：2　 ． 【解答】解：过点O作OF⊥AC于点F，OG⊥AB于点G，OE⊥BC于点E，垂足分别为F，G，E，如图所示， ∵AO，BO，CO是△ABC的角平分线，且OE⊥BC，OG⊥AB，OF⊥AC， ∴OE＝OF＝OG， ∵AB＝6，BC＝9，AC＝12， ∴S△AOC6OF， S△AOB3OG， S△BOCBC×OEOE， ∴S△BOC：S△AOC：S△AOB＝3：4：2； 故答案为：3：4：2． 13．（2026春•市南区校级期中）如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC，PA，若PD＝PE＝PF，∠APB＝37°，则∠BCA的度数为　74°　 ． 【解答】解：∵PD＝PE＝PF，PD⊥BA，PE⊥AC，PF⊥BC， ∴PB，PA分别平分∠ABC，∠DAC， ∴，， ∵， ∴∠DAC﹣∠ABC＝74°， ∴∠BCA＝∠DAC﹣∠ABC＝74°． 故答案为：74°． 14．（2026春•昌图县期末）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A、B为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于MN；作直线MN交BC于点D，连接AD，DE平分∠ADC，交AC于点E，BD＝6，△ADE的面积为12，则EC的长为　4　 ． 【解答】解：过点E作EF⊥AD于F， 由线段垂直平分线可知，AD＝BD＝6， ∵DE平分∠ADC，∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴EC＝EF， ∴，即， ∴EC＝4． 故答案为：4． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•大连月考）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高． （1）作∠ACB的平分线，交BD于点E（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若∠A＝70°，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数． 【解答】解：（1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧分别交BC、AC于点N、M，再分别以N、M为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于一点P，最后连接CP交BD于点E；如图，CE为所求作； （2）∵BD是AC边上的高， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BEC＝∠BDC+∠ACE， ∴∠ACE＝∠BEC﹣∠BDC＝115°﹣90°＝25°， 由条件可知∠ACB＝2∠ACE＝2×25°＝50°， ∵∠A＝70°， ∴在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣50°＝60°， ∴∠ABC＝60°． 16．（2026秋•璧山区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝32，CE＝11，求AE的长． 【解答】解：过D点作DF⊥AB于F点，如图， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DC⊥AC， ∴DF＝DC， 在△BDF和△EDC中， ， ∴△BDF≌△EDC（AAS）， ∴BF＝CE＝11， ∵AB＝32， ∴AF＝32﹣11＝21， 在Rt△ADC和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL）， ∴AC＝AF＝21， ∴AE＝AC﹣CE＝21﹣11＝10． 17．（2025秋•珠海校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD⊥BC． （1）求作：∠BAC的角平分线AE，交BC于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求∠EAD的度数． 【解答】解：（1）∠BAC的角平分线AE，如图即为所求； （2）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°． 18．（2026秋•会昌县校级月考）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠EDB＝∠FDC．求证：EB＝FC． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF（角平分线的性质定理）． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°． 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（ASA）． ∴EB＝FC． 19．（2026秋•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD为BC边上的高，F为AB边上一点，连接CF交AD于点E，且AF＝AE． （1）用无刻度的直尺和圆规过点B作AC的垂线，交AC于点P，交CF于点G，再连接AG．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明：EG＝FG． 证明：∵BA＝BC，且BP⊥AC， ∴∠ABP＝∠CBP， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴　∠BAG ＝∠BCG， ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BCE+∠CED＝90°， ∵AF＝AE ， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠AEF＝∠CED， ∴∠BAG+∠AFE＝∠BCG+∠CED＝　90°　 ， ∴∠AGF＝90°， ∴AG⊥EF， 又∵AF＝AE， ∴EG＝FG． 【解答】解：（1）如图所示，射线BP即为所求； （2）证明：∵BA＝BC，且BP⊥AC， ∴∠ABP＝∠CBP， 在△ABG和△CBG中， ， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCG， ∵AD为BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BCE+∠CED＝90°， ∵AF＝AE， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠AEF＝∠CED， ∴∠BAG+∠AFE＝∠BCG+∠CED＝90°， ∴∠AGF＝90°， ∴AG⊥EF， 又∵AF＝AE， ∴EG＝FG， 故答案为：BA＝BC，∠BAG，AF＝AE，90°． 20．（2025秋•老河口市期中）（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°． ①求∠BOE的度数； ②在BC上截取BF，使BF＝BE，连接OF，补全图形并求证：OD＝OF； （2）如图2，点D是△ABC外一点，BD平分∠ABC，BD交AC于点O，CA平分∠BCD，∠BAC＝100°，∠ABC＝40°，AB＝2，BC＝3，求CD的长． 【解答】（1）①解：∵BD，CE是△ABC的角平分线， ∴，， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠， ∴∠BOE＝∠DBC+∠ECB＝60°； ②证明：补图如图1， 在△BOE和△BOF中， ， ∴△BOE≌△BOF（SAS）， ∴OE＝OF，∠BOF＝∠BOE＝60°， ∵∠COD＝∠BOE＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠BOF﹣∠COD＝60°， ∴∠COF＝∠COD， 在△COF和△COD中， ， ∴△COF≌△COD（ASA）， ∴OD＝OF； （2）解：如图2，在BC上截取BM，使BM＝BA，连接OM， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴△BOA≌△BOM（SAS）， ∴OA＝OM，∠BOA＝∠BOM， ∵CA平分∠BCD， ∴∠DCO＝∠MCO， ∴∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝60°， ∴∠AOB＝∠COD＝∠BOM＝60°， ∴∠MOC＝∠COD＝60°， ∴△COM≌△COD（ASA）， ∴OM＝OD； ∴CM＝CD， ∴CD＝CM＝BC﹣BM＝BC﹣AB＝1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $