期中专题06：等腰三角形-2026-2027学年人教版数学八年级上册

期中专题06：等腰三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•余干县校级月考）已知等腰三角形两边的长分别为7和13，则此等腰三角形的周长为（　　） A．27 B．33 C．27或33 D．27或32 2．（2026春•昆都仑区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026春•莱西市期末）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　） A．120° B．100° C．108° D．110° 4．（2025秋•江阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝3，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2025秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，若E是线段AD上的动点，则∠AEB的度数可能是（　　） A．115° B．105° C．95° D．85° 6．（2026春•蒲城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A．18° B．27° C．25° D．36° 7．（2025秋•荆门期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　） A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115° 8．（2025秋•山丹县校级期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 9．（2026秋•江都区月考）△ABC中，∠A＝∠B＝60°，BC＝3，则△ABC的周长为_____ ． 10．（2025秋•东海县期末）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAC＝145°，则∠EAC＝_______ 度． 11．（2025秋•铅山县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝2，则BD＝_____ ． 12．（2025秋•枞阳县期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝_______ ． 13．（2026秋•宁波校级月考）如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的取值范围是____________________ ． 14．（2025秋•碑林区校级同步）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为________________ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•内黄县月考）已知△ABC中，AB＝5，BC＝2x+3，AC＝12． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为等腰三角形，求x的值． 16．（2026秋•丹徒区月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高，边AB的垂直平分线EF分别交AB，AD于点E，F，连接BF，CF． （1）若AF＝5，求CF的长度； （2）若∠BAC＝80°，则∠FCA＝_______ °． 17．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 18．（2025秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①_________ ， ∴②_________ ＝③_________ ， ∴AD＝AE．（④__________ ） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 19．（2026春•肥城市期末）【探究型问题】 （1）小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC，CE．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明． 期中专题06：等腰三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•余干县校级月考）已知等腰三角形两边的长分别为7和13，则此等腰三角形的周长为（　　） A．27 B．33 C．27或33 D．27或32 【解答】解：当13为腰长，7为底边长时，13+7＞13，满足三角形三边关系， ∴周长为13+13+7＝33， 当7为腰长，13为底边长时，7+7＞13，满足三角形三边关系， ∴周长为7+7+13＝27， ∴此等腰三角形的周长为27或33． 故选：C． 2．（2026春•昆都仑区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴BD＝AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BD＝BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE＝BC， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ADE， ∴DE＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个． 故选：D． 3．（2026春•莱西市期末）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　） A．120° B．100° C．108° D．110° 【解答】解：∵在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝2∠C， ∴∠ABC＝∠A＝2∠C， ∴180°＝∠ABC+∠A+∠C＝2∠C+2∠C+∠C， ∴∠C＝36°， ∴∠A＝2∠C＝2×36°＝72°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠A＝72°， ∴∠BED＝∠EDC+∠C＝72°+36°＝108°， ∵BE＝DE， ∴， ∴∠BDC＝∠EDB+∠EDC＝36°+72°＝108°． 故选：C． 4．（2025秋•江阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝3，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：∵DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC， ∴EC＝ED＝3， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝6． ∴BC＝BE+EC＝6+3＝9， 故选：D． 5．（2025秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，若E是线段AD上的动点，则∠AEB的度数可能是（　　） A．115° B．105° C．95° D．85° 【解答】解：连接BD， ∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣40°）＝70°， 由题意得到：BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝70°， ∴∠CBD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝110°， ∵E是线段AD上的动点， ∴∠AEB≥ADB， ∴∠AEB的度数可能是115°． 故选：A． 6．（2026春•蒲城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A．18° B．27° C．25° D．36° 【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ABC＝∠ACD＝70°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵DE＝BD， ∴BD＝CD＝DE， ∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°． 故选：C． 7．（2025秋•荆门期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　） A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115° 【解答】解：∵BI平分∠DBC， ∴∠DBI＝∠CBI， ∵DE∥BC， ∴∠DIB＝∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴BD＝DI． 同理，CE＝EI． ∴△DBI和△EIC是等腰三角形； ∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8； ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠IBC+∠ICB＝65°， ∴∠BIC＝115°， 故选项A，C，D正确，不符合题意，B错误，符合题意， 故选：B． 8．（2025秋•山丹县校级期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵在等边△ABC中，BD是AC边上的中线， ∴， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE（等边对等角）， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∴∠E＝∠DBC， ∵DE＝4， ∴BD＝DE＝4， 则BD的长为4， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2026秋•江都区月考）△ABC中，∠A＝∠B＝60°，BC＝3，则△ABC的周长为　9　 ． 【解答】解：∵三角形内角和为180°，∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴AB＝BC＝AC＝3， ∴△ABC的周长为3+3+3＝9． 故答案为：9． 10．（2025秋•东海县期末）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAC＝145°，则∠EAC＝　35　 度． 【解答】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F， ∵CD＝CB，AC平分∠DCB， ∴DF＝BF，CF⊥BD， ∴CF是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵∠BAC＝145° ∴∠DAF＝∠BAF＝∠EAC＝35°， 故答案为：35． 11．（2025秋•铅山县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝2，则BD＝　6　 ． 【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB； ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A； ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝2AC＝8， ∴BD＝AB﹣AD＝6， 故答案为：6． 12．（2025秋•枞阳县期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝　12　 ． 【解答】解：由条件可知：∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB， ∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF， ∴EB＝EG，DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF ＝ED+FG ＝12， 故答案为：12． 13．（2026秋•宁波校级月考）如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的取值范围是x＝0或x＝44或4＜x＜4　 ． 【解答】解：分三种情况： ①如图1，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个； ②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D， ∴MC⊥OB， ∵∠AOB＝45°， ∴△MCO是等腰直角三角形， ∴MC＝OC＝4， ∴OM＝4， 当M与D重合时，即x＝OM﹣DM＝44时，同理可知：点P恰好有三个； ③如图3，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N为圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点； ∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个； 综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x＝0或x＝44或4＜x＜4． 故答案为：x＝0或x＝44或4＜x＜4． 14．（2025秋•碑林区校级同步）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为　　 ． 【解答】解：延长BD交AC于点E， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD， ∵BD⊥CD， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， ∵CD＝CD， ∴△CDE≌△CDB（ASA）， ∴DE＝DB，CB＝CE＝5， ∵∠A＝∠ABD， ∴AE＝EB＝AC﹣CE＝4， ∴DE＝DBEB＝2， ∴CD， ∴CD的长为． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•内黄县月考）已知△ABC中，AB＝5，BC＝2x+3，AC＝12． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为等腰三角形，求x的值． 【解答】解：（1）∵AB＝5，BC＝2x+3，AC＝12， 由三角形的三边关系可得： AC﹣AB＜BC＜AC+AB， ∴12﹣5＜2x+3＜12+5， 解得：2＜x＜7； （2）当AB＝BC＝5时，5+5＝10＜12，不符合题意； 当AC＝BC＝12时，5+12＝17＞12，符合三角形三边的关系， 则2x+3＝12， 解得：x＝4.5． 16．（2026秋•丹徒区月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高，边AB的垂直平分线EF分别交AB，AD于点E，F，连接BF，CF． （1）若AF＝5，求CF的长度； （2）若∠BAC＝80°，则∠FCA＝　40　 °． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴CF＝BF． 又∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴CF＝AF＝5； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∵CF＝AF， ∴∠FCA＝∠FAC＝40°． 故答案为：40． 17．（2025秋•蜀山区校级期末）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 18．（2025秋•亭湖区期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　∠AED ， ∴②　∠ADE ＝③　∠AED ， ∴AD＝AE．（④　等角对等边　 ） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 19．（2026春•肥城市期末）【探究型问题】 （1）小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC．求∠EFC的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点F作FM⊥AC于点M，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． （2）参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为BA延长线上一点，BE的垂直平分线交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC，CE．猜想∠CAD与∠FCE的数量关系，补全图形并加以证明． 【解答】解：（1）连接BF并延长交AC于H， ∵FG是BE的垂直平分线， ∴FE＝FB， ∴∠FEB＝∠FBE， ∴∠HFE＝2∠FBE， ∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴FD是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠HFC＝2∠FBC， ∴∠EFC＝∠HFE+∠HFC＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°； （2）补全图形如图，连接BF，CE， 由（1）可知∠FEB＝∠FCA， ∵∠FEB+∠AME+∠MAE＝180°，∠FCA+∠FMC+∠EFC＝180° ∴∠EAC＝∠EFC ∵∠BAD+∠CAD+∠EAC＝180°，∠FEC+∠FCE+∠EFC＝180°，∠BAD＝∠CAD，∠FEC＝∠FCE ∴∠CAD＝∠FCE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $