精品解析：安徽合肥市阳光中学(太湖路校区)2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

九年级数学学情评估卷（一） 第21章二次函数与反比例函数（§1~§2） 满分：100分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 已知抛物线，下列结论中，错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 4. 二次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 5. 已知抛物线经过点，，且，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 图中抛物线的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知二次函数，当时，的最小值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 10. 二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 无论取何值，都有 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知函数是关于x的二次函数，则________． 12. 若抛物线的对称轴为直线，则________． 13. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 14. 若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是________． 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为________； （2）若，则的取值范围为________． 三、解答题（共5小题，满分50分） 16. 已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式； 17. 已知二次函数的图象经过点，两点． （1）试求b、c的值； （2）能否通过上下平移二次函数的图象，使得到的新函数的图象过点．若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． （1）若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 19. 已知二次函数图象过点． （1）若，求a的值． （2）若，当时，请比较m、n的大小关系． （3）求证： 20. 已知二次函数（为常数且）． （1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式． （2）若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围． （3）若二次函数在时有最小值，求的值． 四、附加题（本题5分，计入总分，但累计总分不超过100分） 21. 已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情评估卷（一） 第21章二次函数与反比例函数（§1~§2） 满分：100分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、未明确，当时不含二次项，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意； C、中的最高次数为2，且二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； D、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意． 2. 二次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，结合顶点位置确定图象经过的象限． 【详解】解：二次函数的一般形式为（），二次项系数a的符号决定开口方向：当时，抛物线开口向下．本题中函数为，其中，因此抛物线开口向下． 对于形式的二次函数，对称轴为直线（即y轴），顶点坐标为，即原点． 抛物线开口向下，顶点在原点，因此当时，函数值： 当时，对应点横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限； 当时，对应点横坐标为负、纵坐标为负，位于第三象限． 因此该二次函数图象经过第三、四象限． 3. 已知抛物线，下列结论中，错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、抛物线中，，抛物线开口向下，因此A选项正确，不符合题意； B、由抛物线得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； C、由抛物线得，抛物线的顶点坐标为，因此C选项错误，符合题意； D、图象开口向下，对称轴为直线，因此当时，随的增大而减小，因此D选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 二次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 根据二次函数的性质，求出对称轴和顶点坐标，求解即可； 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为， 二次函数的图象经过第三、四象限； 故选：B 5. 已知抛物线经过点，，且，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线, ∴离对称轴越远，函数值越大 ∵ ，即， ∴． 6. 图中抛物线的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴，从而可得，，，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴图中抛物线的表达式可能是， 故选：A． 7. 二次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知二次函数的a=b=m＜0，,通过二次函数的性质判断开口方向，对称轴确定答案 【详解】∵ ∴二次函数的a=b=m＜0；c=0. a＜0，开口向下；a，b同号对称轴在y轴左边；c=0过原点；故选A 【点睛】判断二次函数图像主要通过开口方向，对称轴及与y轴的交点判断，所以本题先要通过解析式来确定二次函数中a，b，c与0的大小关系，从而判断二次函数的图像． 8. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到二次函数的对称轴为，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 9. 已知二次函数，当时，的最小值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键时根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 其对称轴为， 因为， 其函数图像开口向下， 所以离对称轴越远，取值越小， 若， 则有时，取值最小值， 最小值为． 故答案为：D． 10. 二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 无论取何值，都有 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义得到x的指数为2，二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 12. 若抛物线的对称轴为直线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：∵的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：4． 13. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n， 由图象可知当x＝1时，y1＞y2， ∴m＞n． 故答案为＞． 点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键． 14. 若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点坐标公式．根据二次函数的性质和轴上点的坐标特征计算即可． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 顶点的纵坐标是， 即， 解得， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为________； （2）若，则的取值范围为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解． （1）根据对称点，即可求解对称轴； （2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案． 【详解】解：（1）若，则点关于直线对称， ∴， 故答案为：4； （2）， 图象开口向上，与轴的交点坐标为， 图象有点，点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，满分50分） 16. 已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式； 【答案】（1） 描点连线绘制函数图象如下： （2）二次函数， 【解析】 【分析】本题主要考查求解二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （2）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据（1）中图像可知此函数为二次函数， 由题意可知二次函数的顶点， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， （或）． 17. 已知二次函数的图象经过点，两点． （1）试求b、c的值； （2）能否通过上下平移二次函数的图象，使得到的新函数的图象过点．若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，将原二次函数图象向下平移个单位长度． 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标列方程组，求解b,c的值即可； （2）设平移后的函数解析式，代入目标点坐标求平移量，判断平移方向与距离． 【小问1详解】 解：∵ 二次函数的图象经过点，， ∴ 将两点坐标代入解析式，得   解得 ； 【小问2详解】 能，理由如下： 由（1）得原函数解析式为， 设将原函数图象向上平移个单位长度后，新函数解析式为. ∵ 新函数图象过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∵ ， ∴平移方向为向下，平移距离为个单位长度. 综上所述，将原二次函数图象向下平移个单位长度，可使新函数图象过点． 18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． （1）若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 【答案】（1），开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为； （2）6 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据函数解析式得出对称轴为：，，然后建立方程得出，代入函数解析式利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ， ∵， ∴开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为：； 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为：， ∵点，都在该二次函数图象上， ∴对称轴为：， ∴， ∴， ∴， ∴，即n的最大值为6． 19. 已知二次函数图象过点． （1）若，求a的值． （2）若，当时，请比较m、n的大小关系． （3）求证： 【答案】（1） （2） （3） 证明：把代入二次函数解析式得， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质； （1）直接把代入解析式求解即可； （2）先求出对称轴，由对称轴可知，为抛物线的顶点，根据二次函数的图象和性质即可得解． （3）把代入二次函数解析式求出m，n，再代入，可得，根据平方的非负性即可判断结果的正负，进而得证． 【小问1详解】 解：当时，把代入解析式得； 【小问2详解】 解：令得，，即， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点为：， 对称轴为直线， ， 为抛物线的顶点， ， 二次函数的最小值为n， ， ； 【小问3详解】 略 20. 已知二次函数（为常数且）． （1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式． （2）若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围． （3）若二次函数在时有最小值，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可得抛物线开口向下，且当时二次函数随的增大而减小，即得到，据此即可求解； （）分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下，且当时二次函数随的增大而减小， ∵当时，此二次函数随着的增大而减小， ， ∴； 【小问3详解】 解：当抛物线开口向上时， ∴当时，二次函数有最小值， 则， 解得； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，二次函数有最小值， 则， 解得； 综上所述，或． 四、附加题（本题5分，计入总分，但累计总分不超过100分） 21. 已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线：，开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $