安徽省亳州市蒙城县部分校2026-2027学年 九年级数学上学期九月份第一次学情自测

沪科版九年级数学上册第一次月考 一、选择题（每小题4分） 1.下列函数中，y是x的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 3.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.若反比例函数的图象在二、四象限，则m的值可以是(    ) A. B. 2 C. 1 D. 0 5.已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程为常数的正数解x的取值范围可能是    x … … 3 4 … … 1 … … A. B. C. D. 7.如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段测速区间上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系如图，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，其中下列结论不正确的是(    ) A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时， D. 关于x的一元二次方程的一个根是1，另一个根是 9.在如图所示的某函数图象上可以找到n个不同的点：，，…，，使得…，则n的最大值为(    ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10.点在二次函数为常数的图象上，当时，二次函数的最大值与最小值的差为(    ) A. B. C. 12 D. 二、填空题（每小题5分） 11.写出一个开口向上，与y轴交于点的抛物线的函数表达式：      . 12.已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是          . 13.在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，点A关于x轴的对称点B在双曲线上，则的值为          . 14.在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线 的值为        ； 设的图象与x轴交点为，若，则a的取值范围是        . 三、解答题（每小题8分） 15.已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反 求该抛物线对应的函数表达式 当x为何值时，y随x的增大而增大？ 16.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系.  求出抛物线的解析式；  若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 4、 解答题（每小题8分） 17.已知抛物线 求证：不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； 若该抛物线与x轴两交点为和，且，求m的值. 18.已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … 此二次函数图象的顶点坐标为______， m的值为______； 在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； 结合图象回答：当时，y的取值范围是______. 五、解答题（每小题10分） 19.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点. 求反比例函数与一次函数的解析式； 过点A作轴，垂足为C，求的面积. 20.如图：抛物线过，两点，点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m， 求抛物线的解析式； 过点P作轴于点D，PD交BC于点N，作轴于点E，PE交抛物线的对称轴于点M，若，求m的值. 六、解答题（每小题12分） 21.如图，中，，，，，反比例函数的图象与AB交于点 线段AC长为______， B点坐标为______，______； 求m，k的值； 若将沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值. 22.综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系. 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人. 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： 当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______. 【模型应用】 在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内包含10分钟减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支. 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量如突发情况、安检流程优化等进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性. 七、解答题（14分） 23.已知抛物线：经过点和，抛物线：为常数，且 求抛物线的解析式，并求出它的对称轴； 点和点分别在，上. ①若，，试判断与的大小，并说明理由； ②若点P，Q的横坐标始终满足，其中d为非零常数，且的值是一个与无关的定值，求这个定值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、不是二次函数； B、中x的最高次数为1，不是二次函数； C、是二次函数； D、不是二次函数． 故选： 根据二次函数的定义判断即可． 本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2.【答案】B  【解析】解：由得抛物线开口向下，  对称轴为直线，顶点坐标为，  时y随x增大而增大，  时y随x增大而减小．  故选： 根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小． 本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 3.【答案】D  【解析】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：，即 故选： 利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 4.【答案】B  【解析】解：反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得，， 故选： 根据反比例函数的图象在二、四象限，可知，从而可以求得m的取值范围，然后即可解答本题． 本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5.【答案】A  【解析】【分析】 先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】 解：， 当时，， 抛物线过点， ， 抛物线的开口向上， 且对称轴为， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ， ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， 故选： 6.【答案】D  【解析】解：由表格可发现y的值在最接近0，  时，对应的x就是方程的解，  据表中数据判断方程为常数的正数解x的取值范围可能是  故选： 由表格可发现y的值在间最接近0，再看对应的正整数x的值即可． 本题考查了估算一元二次方程的近似解，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点解决问题的关键是正确推理． 7.【答案】C  【解析】解：由图2得，限速区间AB段的总路程为，  最高车速为，  在最高车速下的行驶时间，  同理可得，在最低车速下的行驶时间为，  通过AB段限速区间的行驶时间应该在之间．  ，  选项符合题意．  故选： 根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段测速区间上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系如图，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式． 8.【答案】B  【解析】解：二次函数的图象过点， ，即，故A正确； 图象与x轴交于，两点， 方程的两根为m，1，  由根与系数的关系得，即，故D正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又， ， ， 对称轴在直线右侧， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大不成立，故B不正确； 对称轴在y轴左侧，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，故C正确， 故选： 将点代入解析式判断A；利用根与系数的关系判断D；根据m的范围确定对称轴位置，结合增减性判断B；根据时的增减性判断 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：由…得， 点，，…，都在同一个反比例函数的图象上． 当反比例函数位于第一、三象限时， 反比例函数图象与此函数的图象最多有8个交点； 当反比例函数位于第二、四象限时， 反比例函数图象与此函数的图象最多有6个交点． 因为， 所以n的最大值为 故选： 由…，得出这一系列的点在同一个反比例函数的图象上，再对反比例函数位于第一、三象限和二、四象限的情况进行分类讨论即可． 本题主要考查了函数的图象及点的坐标变化规律，能根据题意得出点，，…，都在同一个反比例函数的图象上是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：， ， 解得：或 舍去， ， ， 对称轴为直线：， ， ， 当时，y有最大值，， 当时，y有最小值，， 差为， 故选： 把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】解：依题意答案不唯一 开口向上确定二次项系数符号，与y轴交于点确定常数项，由此即可求解． 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次项系数及常数项． 12.【答案】  【解析】解：二次函数的对称轴是直线，  二次函数的对称轴也是直线，  由题意可知与x轴的一个交点为，  设与x轴的另一个交点为，  根据对称性可得：  解得，  的另一个解为，  故答案为： 二次函数与x轴的两个交点的横坐标关于对称轴对称，所以的两个根在数轴上关于直线对称，由此即可得出答案． 本题主要考查二次函数的图形与性质，关键是要牢记与x轴的交点和的两个根的关系． 13.【答案】0  【解析】解：点在双曲线上， ； 又点A与点B关于x轴对称， 点B在双曲线上， ； ； 故答案为： 由点在双曲线上，可得，由点A与点B关于x轴对称，可得到点B的坐标，进而表示出，然后得出答案． 本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 14.【答案】1   【解析】解：把，代入解析式得：， 整理得：， 二次函数对称轴为，代入得： ； 故答案为：1； 由得二次函数解析式为， 该函数图象与x轴交点为，， 根据根与系数的关系可得：，， ， ， 代入得：， ， ， 三边同除以2得：， 平方得：， 整理得：， ， 故答案为： 将点P坐标代入二次函数解析式，得到b与a的关系，再利用对称轴公式求解m； 利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形得到的表达式，代入不等式求解a的范围． 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键． 15.【答案】【小题1】抛物线的对称轴为直线， ， 该抛物线形状和开口大小与抛物线相同，开口方向相反， ， 将，，代入， 得该抛物线的函数表达式为 【小题2】，抛物线开口向下， 又抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大   【解析】解：抛物线的对称轴为直线， ， 该抛物线形状和开口大小与抛物线相同，开口方向相反， ， 将，，代入， 得该抛物线的函数表达式为； ，抛物线开口向下， 又抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 由抛物线的对称轴、开口大小和方向确定顶点式中参数a和b的值； 根据抛物线开口方向与对称轴，结合二次函数增减性求解x的取值范围． 本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 16.【答案】解：根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为，抛物线的顶点坐标为，  设抛物线解析式为：，  将点代入可得：  ，  ，  则抛物线的解析式为：；  令，则，  即点在抛物线上，  所以此球能准确投中．  【解析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，设抛物线的解析式为，根据待定系数法求出抛物线解析式即可；  令，求出y的值，得出点的坐标，进而即可作出判断． 本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式． 17.【答案】证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； 解：该抛物线与x轴两交点为和， ，是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得  【解析】证明一元二次方程中即可； 利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，正确进行运算是解题关键． 18.【答案】  二次函数的图象如下：     【解析】解：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知 故答案为：，5； 根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象，如图所示： 当时，y的取值范围是 故答案为： 根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； 根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； 根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 19.【答案】解：将点代入， ， ， ， ， 将，代入， ， ， ； 由题可知，，，，，   【解析】将点代入，求出反比例函数解析式；再将A，B代入一次函数解析式即可； ； 本题考查反比例函数和一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 20.【答案】解：将A，B点的坐标代入函数解析式得， ， 解得， 抛物线的表达式为 点P的横坐标是m， 点P的坐标为 令直线BC的函数解析式为， 则， 解得， 直线BC的函数解析式为 ，且抛物线的对称轴为直线， 又点N坐标为， ， ， 解得， 又，   【解析】将A，B点的坐标代入函数解析式即可解决问题． 用m表示出PM和PN，建立关于m的方程即可解决问题． 本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 21.【答案】  ，  n的值为2或5  【解析】解：中，，，，， ， ， ， 故答案为：6，4，5； 设直线AB为， 代入，得， 解得， 直线AB为， 把代入得，， ， ， 点D在反比例函数的图象上， ； 将沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，则此时，， 平移后的与双曲线恰有一个交点， 点或在反比例函数的图象上， 或， 解得或， 故n的值为2或 根据等腰直角三角形的性质即可求解； 利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得m的值，利用待定系数法即可求得k； 利用平移的性质得到平移后的点，，分别代入反比例函数的解析式即可求得． 本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形变化-平移，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识点是解题的关键． 22.【答案】18x，；   排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；   最少开7条通道．理由见解析．  【解析】若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为用x表示，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为； 故答案为：18x，； ， 当时，； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； 设开了m条通道， 则：， 对称轴为， 排队人数10分钟包括10分钟内减少， ，即：， 又最多开通9条， ， 为正整数， 最小值为7， 最少开7条通道． 根据题意得安检时间为x分钟，则已入场人数为用x表示，w与x的函数表达式为； 根据二次函数的性质可得出结论； 运用二次函数的性质解答即可． 本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． 23.【答案】抛物线的解析式为，对称轴为直线 ①若，，则， ， 又， ， ；②定值为  【解析】解：经过点和， ， 解得， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线； ①若，，则， ， 又， ， ； ②点P，Q的横坐标始终满足， ， 又，            ， 又的值是一个与无关的定值， ， ， ， 定值为 利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后利用对称轴公式即可求得它的对称轴； ①由题意则，即可求得，结合即可得到，即可得到； ②由题意，，则，又根据的值是一个与无关的定值，即可得到，解得，即可求得 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $