2026—2027学年人教版九年级数学上册期中模拟试卷

2026—2027 学年第一学期期中模拟测试 九年级数学（人教版） （满分 120 分　　考试时间 120 分钟） 说明：1．本卷共六个大题，23 个小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟． 　　　2．请按题号在答题卡相应位置作答，答在试题卷上无效． 　　　3．考试过程中不得使用计算器． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　　　B．平行四边形　　　C．正八边形　　　D．等腰梯形 2．把抛物线 y=−x² 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y=−(x+2)²+3　　B．y=−(x−2)²+3　　C．y=−(x−2)²−3　　D．y=−(x+2)²−3 3．若 x₁，x₂ 是一元二次方程 x²−4x+1=0 的两个实数根，则 x₁²+x₂² 的值为（　　） A．14　　　B．16　　　C．18　　　D．−14 4．在平面直角坐标系中，点 A(a，3) 与点 B(−2，b) 关于原点对称，则 a+b 的值为（　　） A．1　　　B．−1　　　C．5　　　D．−5 5．如图，点 A，B，C 均在 ⊙O 上，若 ∠OAB=40°，则 ∠ACB 的度数为（　　） A．40°　　　B．45°　　　C．50°　　　D．80° （第 5 题图） 6．如图，二次函数 y=ax²+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象的对称轴为直线 x=1，且经过点 (−1，0)．下列结论：①abc>0；②b²−4ac>0；③2a+b=0；④a+b+c>0．其中正确的结论是（　　） A．①②③　　　B．①②④　　　C．①③④　　　D．②③④ （第 6 题图） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7．如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE，点 D 恰好落在边 BC 上．若 ∠BAD=40°，则 ∠ABC=＿＿＿＿°． （第 7 题图） 8．已知圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm，则这个圆锥的侧面积为＿＿＿＿cm²（结果保留 π）． 9．某喷泉的水柱从池底竖直喷出，水柱的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）满足 h=−5t²+20t+1，则该水柱能达到的最大高度为＿＿＿＿m． 10．从分别写有 −1，0，1，2 的四张无差别卡片中随机抽出两张（不放回），则两张卡片上的数字之和为 0 的概率是＿＿＿＿． 11．若关于 x 的一元二次方程 kx²+(k+2)x+=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为＿＿＿＿． 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点 P 是边 AB 上一点，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到 CQ，连接 AQ，则 AQ 的最小值为＿＿＿＿． （第 12 题图） 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．（6 分）解下列方程： （1）x²−6x+5=0； （2）3x(x−1)=2−2x． 14．（6 分）已知抛物线 y=−x²+2x−3． （1）求这条抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ （3）求这条抛物线与 y 轴的交点坐标，并判断它与 x 轴是否有交点，说明理由． 15．（6 分）已知 a，b，c 分别是 △ABC 的三边长，且关于 x 的一元二次方程 (a+c)x²+2bx+(a−c)=0 有两个相等的实数根． （1）判断 △ABC 的形状，并说明理由； （2）若 a=5，b=3，求 △ABC 的面积． 16．（6 分）一个不透明的袋中装有三个小球，分别标有数字 1，2，3，除标号外无其他差别． （1）从袋中随机摸出一个小球，摸到标号为奇数的概率是＿＿＿＿； （2）从袋中随机摸出一个小球，记下标号后不放回，再随机摸出一个小球并记下标号．请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的小球标号之和为 4 的概率． 17．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(−1，1)，B(−4，2)，C(−3，4)． （1）画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A₁B₁C₁，并写出点 A₁ 的坐标； （2）画出 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到的 △A₂B₂C₂，并写出点 B₂ 的坐标； （3）求点 A 旋转到点 A₂ 所经过的路径长（结果保留 π）． （第 17 题图） 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18．（8 分）如图，抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于点 A(−1，0)，B(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标，并直接写出当 y>0 时 x 的取值范围； （3）若点 P(m，y₁)，Q(m+2，y₂) 都在该抛物线上，且 y₁<y₂，求 m 的取值范围． （第 18 题图） 19．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠COD=120°，AB=8． （1）求 CD 的长； （2）求图中阴影部分（弓形 CD）的面积（结果保留 π 和根号）． （第 19 题图） 20．（8 分）某商店销售一种进价为 40 元/件的商品，当售价为 60 元/件时，每月可售出 300 件．市场调查发现：售价每降低 1 元，每月可多售出 30 件．设售价降低 x 元（0≤x≤20）． （1）求每月销售利润 w（元）与 x 之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．（9 分）如图，某公园有一座抛物线形拱桥，桥拱的跨度 AB=8 m，拱顶 C 离水面的高度为 4 m．以水面 AB 所在直线为 x 轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）当水位上涨 1 m 时，水面的宽度是多少米？（结果保留根号） （3）一艘宽 4 m、高 2.8 m 的游船从桥下正中央通过，能否顺利通过？请说明理由． （第 21 题图） 22．（9 分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F． （1）求证：DF 是 ⊙O 的切线； （2）若 AB=10，BC=12，求 DF 的长； （3）在（2）的条件下，求 CE 的长． （第 22 题图） 六、解答题（本大题共 12 分） 23．（12 分）【阅读材料】解决“已知正方形（或等边三角形）内一点到三个顶点的距离，求某个角”这类问题时，常常利用旋转把分散的线段集中到同一个三角形中：把含点 P 的某个小三角形绕某一顶点旋转，使两条边重合，从而构造出全等三角形，再用勾股定理的逆定理判定直角． 【尝试解决】（1）如图 1，P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5，求 ∠APB 的度数； 【类比迁移】（2）如图 2，P 是正方形 ABCD 内一点，且 PA=1，PB=2，PC=3，求 ∠APB 的度数； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，求正方形 ABCD 的面积． 图 1 图 2 —— 试题结束 —— 参考答案与评分标准 （答案与解析仅供教师参考，解答题的解法不唯一） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A B C A 题号 7 8 9 10 11 12 答案 70 15π 21 −1 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．C　【解析】正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；平行四边形只是中心对称图形，等边三角形、等腰梯形只是轴对称图形． 2．B　【解析】把 y=−x² 的图象向右平移 2 个单位长度得 y=−(x−2)²，再向上平移 3 个单位长度得 y=−(x−2)²+3． 3．A　【解析】由根与系数的关系得 x₁+x₂=4，x₁x₂=1，∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=16−2=14． 4．B　【解析】关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，∴a=2，b=−3，∴a+b=−1． 5．C　【解析】∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=40°，∴∠AOB=180°−40°−40°=100°．∴∠ACB=∠AOB=50°． 6．A　【解析】由图象开口向上得 a>0；由对称轴 x=1 得 b=−2a<0；由图象过点 (−1，0) 得 a−b+c=0，∴c=b−a=−3a<0．①abc=a·(−2a)·(−3a)=6a³>0，正确；②b²−4ac=4a²+12a²=16a²>0，正确；③2a+b=2a−2a=0，正确；④a+b+c=a−2a−3a=−4a<0，错误．故选 A． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 7．70　【解析】由旋转得 AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=(180°−∠BAD)÷2=(180°−40°)÷2=70°．∵点 D 在边 BC 上，∴∠ABC=∠ABD=70°． 8．15π　【解析】圆锥的侧面积 S=πrl=π×3×5=15π（cm²）． 9．21　【解析】h=−5t²+20t+1=−5(t−2)²+21，∴当 t=2 时 h 取得最大值 21，即水柱能达到的最大高度为 21 m． 10．　【解析】不放回地抽出两张，共有 (−1，0)、(−1，1)、(−1，2)、(0，1)、(0，2)、(1，2) 6 种等可能的结果，其中数字之和为 0 的只有 (−1，1)，∴所求概率为 ． 11．−1　【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(k+2)²−4k·=k²+4k+4−k²=4k+4=0，∴k=−1．此时二次项系数 k=−1≠0，符合题意． 12．　【解析】以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴、CB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(3，0)，B(0，4)．设 P(x，y)，由点 P 在 AB 上得 +=1，即 y−3=．由旋转得 Q(y，−x)，∴AQ²=x²+(y−3)²=x²+=．当 x= 时，AQ² 取得最小值 ，∴AQ 的最小值为 ． 三、解答题（每小题 6 分，共 30 分） 13．　（1）(x−1)(x−5)=0，∴x₁=1，x₂=5．（3 分） （2）原方程可化为 3x²−3x=2−2x，即 3x²−x−2=0， ∴(3x+2)(x−1)=0，∴x₁=1，x₂=−．（3 分） 14．　（1）y=−(x²−4x)−3=−(x−2)²−1，∴顶点坐标为 (2，−1)，对称轴为直线 x=2．（2 分） （2）∵a=−<0，抛物线开口向下，∴当 x<2 时，y 随 x 的增大而增大．（2 分） （3）令 x=0，得 y=−3，∴与 y 轴的交点坐标为 (0，−3)．（1 分） 令 y=0，得 −x²+2x−3=0，即 x²−4x+6=0，Δ=(−4)²−4×1×6=−8<0，∴该抛物线与 x 轴没有交点．（1 分） 15．　（1）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2b)²−4(a+c)(a−c)=4b²−4(a²−c²)=0，∴a²=b²+c²，∴△ABC 是直角三角形，且 ∠A=90°（a 为斜边）．（3 分） （2）∵a=5，b=3，∴c==4，（2 分） ∴S△ABC=bc=×3×4=6．（1 分） 16．　（1）．（2 分） （2）画树状图（或列表）如下，共有 6 种等可能的结果：(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，3)、(3，1)、(3，2)．（2 分） 其中标号之和为 4 的有 (1，3)、(3，1) 共 2 种，∴P(和为4)==．（2 分） 17．　（1）△A₁B₁C₁ 如图所示，A₁(1，−1)．（2 分） （2）绕原点顺时针旋转 90° 时，(x，y)→(y，−x)，∴B(−4，2) 的对应点为 B₂(2，4)，△A₂B₂C₂ 如图所示．（2 分） （3）OA==，点 A 旋转到点 A₂ 所经过的路径是圆心角为 90° 的弧，∴路径长=×2π×=π．（2 分） 四、解答题（每小题 8 分，共 24 分） 18．　（1）设 y=a(x+1)(x−3)，把 C(0，3) 代入得 3=−3a，∴a=−1，∴y=−x²+2x+3．（3 分） （2）y=−(x−1)²+4，∴顶点坐标为 (1，4)；当 y>0 时，−1<x<3．（2 分） （3）抛物线的对称轴为直线 x=1．∵y₁<y₂，∴点 P 到对称轴的距离大于点 Q 到对称轴的距离，即 |m−1|>|m+1|，解得 m<0．（3 分） 19．　（1）∵AB 是直径且 CD⊥AB，∴CE=DE=CD，∠COE=∠COD=60°．（2 分） 在 Rt△OCE 中，OC=AB=4，∴CE=OC·sin60°=4×=2，∴CD=4．（2 分） （2）OE=OC·cos60°=2．（2 分） S阴影=S扇形OCD−S△OCD=π×4²−×4×2=π−4．（2 分） 20．　（1）w=(60−x−40)(300+30x)=−30x²+300x+6000（0≤x≤20）．（4 分） （2）w=−30(x−5)²+6750，∴当 x=5 时 w 取得最大值 6750，此时售价为 60−5=55（元/件）．（3 分） 答：售价定为 55 元/件时，每月销售利润最大，最大利润是 6750 元．（1 分） 五、解答题（每小题 9 分，共 18 分） 21．　（1）由题意，抛物线的顶点为 C(0，4)，∴设 y=ax²+4．（1 分） 把 B(4，0) 代入得 16a+4=0，∴a=−，∴y=−x²+4（−4≤x≤4）．（2 分） （2）当 y=1 时，−x²+4=1，∴x²=12，∴x=±2．（2 分） ∴水面的宽度为 4 m．（1 分） （3）能顺利通过．（1 分） 理由：船从正中央通过时，船的两侧对应 x=±2，此时桥拱的高度 y=−×2²+4=3（m）．∵3>2.8，∴游船能顺利通过．（2 分） 22．　（1）连接 OD，AD．∵AB 是 ⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=DC．∵OA=OB，∴OD 是 △ABC 的中位线，∴OD∥AC．（2 分） ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．又 OD 是 ⊙O 的半径，∴DF 是 ⊙O 的切线．（2 分） （2）∵AB=AC=10，BD=DC=BC=6，∴AD==8．（2 分） 在 Rt△ADC 中，DF⊥AC，∴DF===．（1 分） （3）∵AB 是 ⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，即 BE⊥AC． ∵∠C=∠C，∠CEB=∠CDA=90°，∴△CEB∽△CDA，∴=，∴CE===．（2 分） 六、解答题（共 12 分） 23．　（1）将 △BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°，使 BC 与 BA 重合，得到 △BP′A，连接 PP′． 则 BP′=BP=4，AP′=CP=5，∠PBP′=60°，∴△BPP′ 是等边三角形，∴PP′=4．（2 分） 在 △APP′ 中，AP=3，PP′=4，AP′=5，∴AP²+PP′²=9+16=25=AP′²，∴∠APP′=90°．（2 分） ∴∠APB=∠APP′+∠P′PB=90°+60°=150°．（1 分） （2）将 △BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，使 BC 与 BA 重合，得到 △BP′A，连接 PP′． 则 BP′=BP=2，AP′=CP=3，∠PBP′=90°，∴PP′==2．（2 分） 在 △APP′ 中，AP=1，PP′=2，AP′=3，∴AP²+PP′²=1+8=9=AP′²，∴∠APP′=90°． ∴∠APB=90°+45°=135°．（1 分） （3）过点 B 作 BH⊥AP，交 AP 的延长线于点 H． ∵∠APB=135°，∴∠BPH=45°，∴△BPH 是等腰直角三角形，∴BH=PH=BP=．（1 分） ∴AH=AP+PH=1+． 在 Rt△ABH 中，AB²=AH²+BH²=(1+)²+2=3+2+2=5+2．（1 分） ∴正方形 ABCD 的面积为 5+2．（1 分） 学科网（北京）股份有限公司 $