精品解析：广东江门市蓬江区荷塘雨露学校2026-2027学年度第一学期期中教学质量监测九年级数学

2026-2027学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学 （时间：120分钟满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 2. 已知方程x2－3x－k＝0的一个根为－2，那么它的另一个根为（ ） A. 5 B. 1 C. 10 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根． 【详解】解：设，是方程的两根， 由题意知， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：当，是一元二次方程的两根时，，． 3. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， ， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解． 4. 若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义即可求出的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数就叫做反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题关键． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 6. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】分别把各点代入反比例函数 求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．也可以画出函数的大致图像，根据函数的增减性来判断． 【详解】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数的图象上， ∴， ∵-2<3<6， ∴y3< y2< y1． 故选D． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：， 、异号， 当，时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限； 当，时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限． ∴选项A、B、D中图象不符合题意，选项C中图象符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的图象位置与系数及常数项之间的关系是解答的关键． 8. 将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　） A. y=（x+3）2﹣2 B. y=（x+3）2+2 C. y=（x﹣1）2+2 D. y=（x﹣1）2﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2， ∴二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移． 9. 在这六个数中，随机取出一个数记为，那么使得关于的一元二次方程有解，且使得关于的方程有整数解的所有的值之和为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使得关于的一元二次方程有解，利用根的判别式求出符合条件的值，再解方程，解出a的可能值，最终综合选择满足所有条件的a的值，然后求它们的和即可． 【详解】解：要使得关于的一元二次方程有解， 则Δ≥16-4×（-2a）≥0， 解得a≥-2, ∴a的可能值为-2，-1、0、1、2， 解可得， ， 使得方程有整数解满足条件的a的值为0、2， 综上所述满足条件的a的值为0、2， 0+2=2， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及分式方程，灵活运用根的判别式以及熟练求解分式方程是解题的关键． 10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断． 【详解】解：当0＜t≤2时，S=t2， 当2＜t≤4时，S=t2﹣（2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8， 观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C． 故答案为C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程的常数项是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可． 【详解】解：由题意可知： ∴解得：或， 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则m＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可以列出方程和不等式，解方程和不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程，解题关键是根据定义列出方程，注意：二次项系数不为0． 13. 一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式． 【详解】解：由题意得：，可得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式． 14. 规定：在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为．若，则x的值为_________. 【答案】−1或5##5或 【解析】 【分析】根据新定义运算法则以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴x=−1或x=5， 故答案为：−1或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是理解新定义，熟练运用一元二次方程的解法． 15. 如图，已知，，将线段平移至的位置，其点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，若四边形的面积是18，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的纵坐标为3，点与点的横坐标的差为2；然后利用的面积，来求得点的坐标，再用待定系数法求出的值． 【详解】解：，， 将线段平移至的位置，点坐标为，点坐标为． ∵四边形的面积是18 ∴， ． ． 则点的坐标为． 又点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是明白平移到后，点的纵坐标为3，点与点的横坐标的差为2． 三、解答题（一） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）先对方程左边进行因式分解，然后问题可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法可求解方程． 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为： ∴或 ∴，． 17. 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标． 【答案】抛物线顶点坐标为（0，-2） 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】把点A（1，0）、B（-1，0）、C（0，-2）的坐标, 分别代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． ∴抛物线顶点坐标为（0，-2）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求解析式和化为顶点式是解二次函数题目的关键. 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 四、解答题（二） 19. 某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 【答案】人行通道的宽度为米 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为米，根据矩形绿地的面积和为平方米，列出关于的一元二次方程，求解即可．本题主要考查一元二次方程的实际应用的面积问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为米，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为米． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为，在x轴上找一点P，使最小，求出点的坐标． 【答案】（1）m=3，n=-3，反比例函数的解析式为：； （2）； 【解析】 【分析】（1）将点，点分别代入之中，即可求出的值；然后再将点代入即可得到反比例函数的解析； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则为最小，故得点为所求作的点，根据对称性先求出点，点，再利用待定系数法求出直线的解析式为，由此可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，点分别代入之中， 得：，， 解得：，， ∴点，点， 将点代入之中，得：， ∴反比例函数的解析式为：， 【小问2详解】 作点关于x轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图： 则为最小， 故得点为所求作的点．理由如下： 在轴上任取一点，连接，，， ∵点关于轴的对称点， ∴轴为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 根据“两点之间线段最短”得：， 即：， ∴为最小． ∵点，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 又∵点，点和点关于轴对称， ∴点点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入， 得：，解得：， ∴直线A'B'的解析式为：， 对于，当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键． 21. 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元 【解析】 【分析】（1）设出解析式，把代入求出系数即可； （2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 由题意，可设，把代入得： ， 所以y与x之间的关系式为：； 【小问2详解】 设利润为W，则 ＝ ＝ ＝ ＝ 因为，所以当时，W最大为400元． 答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和二次函数的应用，正确运用待定系数法、掌握二次函数的性质是解题的关键． 五、解答题（三） 22. 综合与实践 【问题背景】许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似的看成抛物线． 【数学建模】在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．抛物线的顶点C在y轴正半轴，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．点A的坐标是，． 探究1：直接写出：抛物线顶点C的坐标为______，点B的坐标为______； 探究2：求抛物线对应的函数解析式（不要求写自变量x取值范围）； 探究3：将图2中的抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，若，求m的值． 【答案】（1），；（2）；（3）6或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数与坐标轴交点． （1）根据可写出：抛物线顶点C的坐标；根据关于轴对称可求B的坐标； （2）根据题意可设抛物线为，代入A的坐标求出a即可； （3）求出平移后抛物线的解析式，令求出其与y轴的交点D，根据平移后，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线顶点C的坐标为． ∵关于轴对称，， ∴， 故答案为：，； （2）由题意可设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线对应的函数关系式为； （3）设平移后的抛物线对应的关系式为， 当时，， 此时抛物线与y轴的交点坐标为， ∵， ∴， 解得（负值已舍）或（负值已舍）， ∴m的值为6或． 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值； （3）设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）先确定出点B、C坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设出点P的坐标，进而得出点D、E的坐标，进而表示出的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）分为边和对角线两种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C， ∴、， ∵点B、C在抛物线解上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设， ∵点P在直线l下方的抛物线上，轴，轴，点D，E都在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值是3． 【小问3详解】 解；抛物线的解析式为， 令，解得：或， ∴，， ∴， 若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， 设，则， ∴ ∴，解得：或(与A重合，舍去)， ∴； ②当以为对角线时，设，则， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得：， 解得：或与（A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数的最值、平行四边形的性质、中点坐标、两点间距离公式、平行四边形的判定等知识点，灵活运用分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学 （时间：120分钟满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知方程x2－3x－k＝0的一个根为－2，那么它的另一个根为（ ） A. 5 B. 1 C. 10 D. －2 3. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A. 2 B. C. D. 1 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 6. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　） A. y=（x+3）2﹣2 B. y=（x+3）2+2 C. y=（x﹣1）2+2 D. y=（x﹣1）2﹣2 9. 在这六个数中，随机取出一个数记为，那么使得关于的一元二次方程有解，且使得关于的方程有整数解的所有的值之和为（　） A. B. C. D. 10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程的常数项是，则_______． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则m＝___． 13. 一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为_____． 14. 规定：在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为．若，则x的值为_________. 15. 如图，已知，，将线段平移至的位置，其点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，若四边形的面积是18，则______． 三、解答题（一） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 四、解答题（二） 19. 某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为，在x轴上找一点P，使最小，求出点的坐标． 21. 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 五、解答题（三） 22. 综合与实践 【问题背景】许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似的看成抛物线． 【数学建模】在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．抛物线的顶点C在y轴正半轴，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．点A的坐标是，． 探究1：直接写出：抛物线顶点C的坐标为______，点B的坐标为______； 探究2：求抛物线对应的函数解析式（不要求写自变量x取值范围）； 探究3：将图2中的抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，若，求m的值． 23. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值； （3）设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $