精品解析：湖南衡阳市衡阳县滨江中学2026-2027学年九年级上学期数学10月阶段学情自测

九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 5. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 无法确定 7. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 8. 对于两个实数a，b，规定符号表示a，b中的较大数，相等时取．如：，．若，则x的值是（ ） A. 5 B. 5或 C. 或 D. 5或 9. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 10. 如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的值为______． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 13. 若直线与双曲线交于点，，则的值是___________． 14. 如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则__________． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； （2）将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． （3）若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 19. “秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 20. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 21. 如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M．点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点G的坐标． 22. 【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 23. 如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．根据题意可得，点和点关于原点对称，据此求出的坐标即可． 【详解】解：和关于原点中心对称， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 3. 在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 4. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 5. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 6. 如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 7. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度、时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间（分钟）， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为（分钟）， 通过段限速区间的行驶时间应该在分钟之间． 选项符合题意． 故选：C． 8. 对于两个实数a，b，规定符号表示a，b中的较大数，相等时取．如：，．若，则x的值是（ ） A. 5 B. 5或 C. 或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】按的定义分和两种情况列方程，结合取值范围验根求解． 【详解】解：根据的定义，分两种情况讨论． 当，即时，， ∴ ， 整理得， 解得，． ∵ ， ∴ 舍去，取． 当，即时，， ∴ ， 整理得， 解得，． ∵ ， ∴ 舍去，取． 综上，的值为或． 9. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接，将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由图知，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 当时，，即， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，根据反比例函数的定义和性质得，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程（a≠0）的两个根，则与系数的关系式：，． 13. 若直线与双曲线交于点，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，联立两函数解析式得到，则由根与系数的关系得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点，， ∴，， 令，得， ， ． 14. 如图，若线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则__________． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 延长相交于点，则是直角三角形，根据线段将边长为6、8、的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，延长相交于点， 则是直角三角形， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴m为2或6， 故答案为：2或6． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，证明，进而求出点的坐标，进而求出值即可. 【详解】解：∵直线与轴、轴分别相交于点、两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴于点，则， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 智能玻璃的透明度x应控制在范围内， 理由：把和3000分别代入得， ，， 智能玻璃的透明度x应控制在范围内． 【解析】 【分析】设y与x之间的函数表达式为，把代入即可得到结论； 把和3000分别代入得，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入得，， 与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； （2）将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． （3）若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，即可获得答案； （2）根据旋转的性质，即可获得答案； （3）连接，则交点即为与的对称中心，结合图形确定点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，连接，则交点即为与的对称中心， 由图可知，． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 ， 或 ，． 【小问2详解】 ， ，，， ， ， ，． 19. “秋风起，蟹脚痒”金秋十月是螃蟹大量上市时．东营某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某种规格的螃蟹的市场行情．如表是“智多星”小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题． 东营某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2025.10.2 活动地点 某水产超市 实践内容 调查螃蟹的市场行情，解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 当螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克螃蟹每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该水产超市某天正好销售螃蟹70千克，则获利多少元？ 问题2 当螃蟹的售价定为多少元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大？ 【答案】问题1：获利1750元；问题2：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于根据题目所给条件建立利润与售价之间的函数关系，然后利用函数的性质来求解问题． 问题1：先根据售价的变化求出销售量的变化，进而得到实际售价，再根据利润公式计算获利． 问题2：先设出售价，根据售价与销售量的关系表示出销售量，再根据利润公式建立利润与售价的函数关系，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：问题1：设每千克螃蟹涨价x元， 则销售量每天为千克， 由题意得：， 解得：， 元）， 答：获利1750元； 问题2：设售价定为m元/千克，该店当日销售螃蟹所获利润为y元， 由题意得： ， ，函数图象开口向下， 当时，y最大，最大值为1800元． 答：当螃蟹的售价定为70元/千克时，该店当日销售螃蟹所获利润最大． 20. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． （1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为， 反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上，且横坐标为8， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴． 21. 如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M．点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点G的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和点D的坐标求出点A和点C的坐标，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）证明，得到．求出点H的坐标，得到的长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的中心为点M， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ，， ， ， ． ∵，即轴， ∴点H的纵坐标为8， 在中，当时，， ∴ ， ， ， ． 22. 【问题情境】 九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【理解探究】 （1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，因此得出结论：对于长为，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）若已知矩形的长为，宽为，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，写出与应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】 （1）小明得出的结论不正确． 举例说明如下： 若已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， 当时，，符合题设， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为， 即对于长为6，宽为1的已知矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． （2）存在，此时与应满足的关系式为 【解析】 【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）小明得出的结论不正确．举例说明：若已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）略 （2）设“减半”矩形长为，宽为另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 23. 如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 【答案】（1）， （2）①；②1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式；然后配方成顶点式求解即可； （2）①如图，连接，证明出四边形是正方形，得到点D，B，共线，，，求出，然后利用代数求解即可； ②首先求出所在抛物线的表达式为，然后与抛物线联立求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得 ∴抛物线P的解析式为； ∴ ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图，连接 ∵， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形 ∴， ∵以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形 ∴点D，B，共线，， ∴ ∴旋转过程中G扫过的面积； ②∵， ∴由旋转的性质得， ∴所在抛物线的表达式为 ∴联立抛物线和得， 整理得， ∴ ∴抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $