精品解析：湖南省邵阳市新宁县十校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

湖南省邵阳市新宁县十校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 总分：120分 时量：120分钟 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列函数是二次函数是（ ） A B. C. D. 2. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知=，那么的值为（ ） A. B. C. D. ﹣ 4. 如图，点A、B、C是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（ ） A. B. C. D. 7. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（ ） A. 400条 B. 500条 C. 800条 D. 1000条 8. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9. 一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的取值为（　　） A. ＞2 B. ≥2 C. ＝2 D. ＝ 10. P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A 4 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的解为________________________． 12. 已知反比例函数，当时，___________． 13. 从新宁县月中随机抽取天的中午，记录这天时的气温（单位：），结果如下：，可估计该地这一个月中午时的平均气温为______． 14. 为防护甲流，学校为每班准备了个口罩，已知初中部一共有个班级，那么一共购买了______个口罩．（用科学记数法表示） 15. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__． 16. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是______． 17. 我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有_______ （填序号） 18. 已知中，，，点是边的中点，的两边分别与交于点． （1）___________． （2）当与相似时，___________． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：（ +）÷，其中x＝． 21. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 22. 如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 23. 某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件． (1)若商店每天销售这种小商品的利润要达到6000元, 则每件商品应降价多少元? (2)每件商品销售价是多少元时，商店每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 24. “天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） （1）求点到点距离：（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点P的坐标； （3）若点M是直线上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F． （1）如图1，当F在边上，若时，求的长； （2）若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省邵阳市新宁县十校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 总分：120分 时量：120分钟 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A. 是二次函数，符合题意， B. 是反比例函数，不符合题意， C. 是正比例函数，不符合题意， D. 不是二次函数，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 2. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 3. 已知=，那么的值为（ ） A. B. C. D. ﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】依据，可得ab，代入即可得出答案． 【详解】∵， ∴ab， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 4. 如图，点A、B、C是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴ 故选B． 5. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 6. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键． 根据的正切可得，而，进而即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 根据题意可得：， ， 故选：A． 7. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（ ） A. 400条 B. 500条 C. 800条 D. 1000条 【答案】D 【解析】 【详解】设湖中有x条鱼，则200：10=x：50， 解得x=1000（条）． 故选：D． 【点睛】考点：用样本估计总体． 8. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义．由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值． 【详解】解：的面积为3， ， ， ， 图象经过一、三象限 ， ， 故选：C． 9. 一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的取值为（　　） A. ＞2 B. ≥2 C. ＝2 D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16-8c=0，解之即可得出结论 【详解】∵一元二次方程2x2+4x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=42-4×2c=16-8c=0， 解得：c=2． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 10. P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（　　）个． A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得到|x﹣2|+|y﹣1|=3，分四种情况：①x﹣2=±3，y﹣1=0，②x﹣2=±2，y﹣1=±1，③x﹣2=±1，y﹣1=±2，④x﹣2=0，y﹣1=±3，进行讨论即可求解． 【详解】解：依题意有： |x﹣2|+|y﹣1|=3， ①x﹣2=±3，y﹣1=0， 解得，； ②x﹣2=±2，y﹣1=±1， 解得，，，； ③x﹣2=±1，y﹣1=±2， 解得，，，； ④x﹣2=0，y﹣1=±3， 解得，． 故满足条件的点P有12个． 故选：D． 【点睛】本题为新概念题目，考查了观察与实验能力，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的解为________________________． 【答案】或． 【解析】 【分析】直接利用开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， 解得：，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． 12. 已知反比例函数，当时，___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将已知的值代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，代入得，， 解得． 故答案为：2． 13. 从新宁县月中随机抽取天的中午，记录这天时的气温（单位：），结果如下：，可估计该地这一个月中午时的平均气温为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，根据算术平均数的计算方法直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 估计该地这一个月中午时的平均气温为， 故答案为：． 14. 为防护甲流，学校为每班准备了个口罩，已知初中部一共有个班级，那么一共购买了______个口罩．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，科学记数法，先列式求出总口罩数，再用科学记数法表示即可，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数． 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠OBC=60°， ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键． 16. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：． 17. 我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有_______ （填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的，分两种情况求出函数解析式，进而判断①②③，图象法，求出临近点，判断④． 【详解】由题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的， 由图象可知：过点，或，， 当过点，时： 设函数解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 此时， ∴， 同理，当过点，时：， 此时， ∴， 故①错误，②正确； ∵图象过，对称轴为，故③正确； 如图， 当直线过时，，， 当直线过时，，， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 当与只有一个交点时： 令，整理，得： ，解得：， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 综上：当直线与 的图象有2个公共点，则或；故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及待定系数法求解析式，对称性求对称轴，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 18. 已知中，，，点是边的中点，的两边分别与交于点． （1）___________． （2）当与相似时，___________． 【答案】 ①. 10 ②. 或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）分，，三种情形讨论，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：10； （2）①当与相似时，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当与相似时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当与相似时，， ∵是的外角， ∴， ∴这种情况不存在． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，有理数的乘方和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，零指数幂，有理数的乘方和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：（ +）÷，其中x＝． 【答案】-1. 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】考查分式化简求值，解答本题的关键明确分式化简求值的方法． 21. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85，85，80； （2）七年级决赛成绩较好，理由见解析； （3）七年级代表队选手成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，掌握相关定义和公式，是解题关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【小问1详解】 解：七年级的平均分，众数， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数； 故答案为：85，85，80； 【小问2详解】 由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好； 【小问3详解】 （分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 22. 如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 23. 某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件． (1)若商店每天销售这种小商品的利润要达到6000元, 则每件商品应降价多少元? (2)每件商品销售价是多少元时，商店每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）1元或5元；（2）10.5元，最大利润6400元 【解析】 【分析】（1）设降价x元，根据题意可得到关于x的一元二次方程，即可解答本题； （2）根据题目中的数量关系可以得到y与x的函数关系，将函数关系式化为顶点式即可解答本题． 【详解】解：（1）设降价x元，由题意可得： （13.5-x-2.5）（500+100x）=6000 x1=1，x2=5， ∴每件商品应降价1元或5元； （2）设降价x元，利润为y元，依题意： y=（13.5-x-2.5）（500+100x）， 整理得：y=100（-x2+6x+55）（0＜x≤11）, 化为顶点式:y=-100 (x-3)2+6400（0＜x≤11）, 当x=3时y取最大值，最大值是6400， 即降价3元时利润最大， ∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元． 故答案（1）1元或5元；（2）10.5元，最大利润6400元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 24. “天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离：（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】（1）米 （2）小华先到达终点处 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点P的坐标； （3）若点M是直线上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，用解析式可求得点C的坐标 （2）用待定系数法求出一次函数的解析式，由点A和点B关于对称轴对称，可知点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小，即可求得点P的坐标 （3）由可知，，设点、，求得，即可求得点M的坐标 【小问1详解】 ∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴点C的坐标为： 【小问2详解】 ∵经过点直线与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程组， 解得：或， ∴， ∵抛物线的对称轴为：，且， ∴点A关于对称轴的对称点为点B， ∵， ∴当点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小， ∴ 【小问3详解】 存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形 ∵，即， ∴要使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则， ∵， ∴， ∴， ∵点M在直线上， ∴设点，则点N的坐标为：， ∴，即， 当时，解得：， ∴点M的坐标为：或， 当，解得：（舍去） 综上所述：存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质；掌握方程的思想和分类讨论的方法是解决问题的关键 26. 已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F． （1）如图1，当F在边上，若时，求的长； （2）若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 【答案】（1）４ （2）， （3）①；②10 【解析】 【分析】(1)根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到； (2)根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是； (3)①连接，根据翻折性质得到，，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【小问1详解】 如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴, ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵在矩形中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴x的取值范围是； 【小问3详解】 ①如图，设交于点M，连接，由折叠知，，， ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠综合．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $