期中阶段复习能力提升卷一（第1章～3章） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

期中阶段复习能力提升卷一（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．下列方程为一元二次方程的是（     ） A． B． C．D． 2．用配方法解方程配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．某商场一款产品原价每件元，连续两次降价，降价后每件售价元．设每次降价的百分率为，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（     ） A．4 B． C． D．5 8．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．方程的两根之积是___________． 10．若点在反比例函数的图象上，则______． 11．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为___________． 13．老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 14．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________． 15．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 16．已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 17．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 18．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1) (2) 20．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值． 21．已知反比例函数的图象上有两点，直线与轴相交于点，若在轴上有一点使得，求出点的坐标． 22．甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 23．已知的一条边的长为，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围． (2)为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 24．已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出不等式的解集________． 25．如图1，边长为的等边中，是高，点以的速度从点向点运动，以点为圆心、为半径作，设点的运动时间为． (1)当与边相切时，求的值； (2)如图2，若在点出发的同一时刻，点以的速度从点向点运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，过点作的平行线，交于点．当与相切时，求的值； (3)在运动过程中，当与的边共有两个公共点时，直接写出的取值范围． 26．如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷一（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．下列方程为一元二次方程的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】解：A选项，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意. B选项，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意. C选项不是一元二次方程，不符合题意. D选项是一元二次方程，符合题意. 2．用配方法解方程配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法解方程的基本步骤求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．在下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断反比例函数需满足：分母为单个自变量，分子为非零常数． 【详解】解：A选项，符合要求． B选项是正比例函数，不符合． C选项分母为，不是单个自变量，不符合． D选项未说明为非零常数，不符合． 4．某商场一款产品原价每件元，连续两次降价，降价后每件售价元．设每次降价的百分率为，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确每次降价的基数为前一次的售价，结合最终售价列方程. 【详解】解：第一次降价后每件售价为元， 第二次在第一次降价后的售价基础上再降价，售价为元， 由题意得. 5．公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 6．如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 7．如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的外心到三角形各顶点的距离相等以及勾股定理确定点、的位置，然后利用勾股定理求出线段长度． 【详解】解：点、的位置如图所示， ∵的外心为， ∴， ∵， ∴， ∵点、在格点上， ∴点、的位置即可确定， ∴． 8．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可． 【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是． 二、填空题（共20分） 9．方程的两根之积是___________． 【答案】6 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：方程的两根之积是． 10．若点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入先求出的值，再计算所求式子即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∵ 反比例函数中，两边同乘得 ， ∴ ． 11．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______． 【答案】 【分析】已知圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径，高， 母线长， 圆锥模型的侧面积为． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为___________． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，且， 解得. 13．老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 【答案】20 【分析】设，把代入求出函数解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 即把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是． 14．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________． 【答案】10 【分析】首先解方程，得到三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可． 【详解】解：∵， 或， 解得或， 当4为等腰三角形的腰时，另一腰长为4，此时，底边长为2， 且，此时，三角形存在， 故三角形的周长为：； 当2为等腰三角形的腰时，另一腰长为2，此时，底边长为4， 且，此时，三角形不存在，此种情况舍去； 故三角形的周长为10． 15．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义得，，根据矩形面积为列方程即可解出的值. 【详解】解：如图， 记与轴相交于， ∵矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，，， ∵矩形面积为，， ∴，解得：（舍），， ∴的值为. 16．已知的半径是1，、分别是的弦，且，，则______． 【答案】或 【分析】弦、可在半径的同侧或异侧，需分两种情况讨论，连接，证明是等边三角形，求出，证明是直角三角形，得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B和点C在半径的同侧时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 如图所示，当点B和点C在半径的异侧时，连接， 同理可得，， ∴； 综上所述，的度数为或． 17．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 18．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 【答案】 【分析】作出解图的辅助线，确定圆心O，设，利用勾股定理得到，即，解方程得到，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点Q，交的延长线于点P，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O， 4个正方形的边长均为2， ，，， 设，则， ，即， ， 即， 解得，即， ， ． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 或， 解得，． （2）解：， ， 或， 解得，． 20．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的定义设，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：与成反比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， （2）解：由（1）可知，， 当时，， 解得：． 21．已知反比例函数的图象上有两点，直线与轴相交于点，若在轴上有一点使得，求出点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数的性质和两点间的距离公式，由点在反比例函数的图象上，求出、，再求出直线解析式为，设点，通过即可求解熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，得点、， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点． 设点， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 22．甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 23．已知的一条边的长为，另两边，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围． (2)为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）先根据一元二次方程有两个不相等实数根，利用根的判别式大于0列出不等式；再结合三角形三边关系，借助根与系数关系列出不等式，求出所有不等式解集的公共部分，得到的取值范围． （2）由为斜边，利用勾股定理得到两条直角边的平方和；结合根与系数的关系、完全平方公式变形，建立关于的方程求解；再对照第（1）小题的取值范围检验，确定符合条件的值． 【详解】（1）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． ∴ ， 解得， ，是三角形边长，均大于0，边的长为， ，，， 解得， 解得或， 由，得， ∴，即， 解得 综上可得． （2）解：是以为斜边的直角三角形，， ， ∵两边，的长是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ，舍去． ，符合条件． ． 24．已知，两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出不等式的解集________． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)6 (3)或 【分析】（1）先根据反比例函数的图象过点，可得反比例函数解析式，再可得，把，代入，即可求解； （2）先求得的长，再根据，即可求解； （3）将不等式变形为，再根据图象即可得结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）解：将不等式变形，得， 根据图象可得，不等式的解集为或． 25．如图1，边长为的等边中，是高，点以的速度从点向点运动，以点为圆心、为半径作，设点的运动时间为． (1)当与边相切时，求的值； (2)如图2，若在点出发的同一时刻，点以的速度从点向点运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，过点作的平行线，交于点．当与相切时，求的值； (3)在运动过程中，当与的边共有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）过点作，垂足为E，与边相切，则．根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再求出，根据建立等式求解； （2）需要进行分类讨论，若在左侧与之相切，作，垂足为F，若在右侧与之相切，分别进行求解； （3）分类讨论，当时，当时，当时，依次进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为E． ∵与边相切， ∴． ∵边长为的等边中，是高， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∴， 解得． （2）解：若在左侧与之相切，过点作，垂足为F，设交于点，如图所示， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 若在右侧与之相切，过点作，垂足为F，设交于点，如图所示， 同理，． ∵ ∴． 解得． 综上，或． （3）解：当时，与的边共有两个公共点， ， ， 当时，此时与相切，与的边共有两个公共点， ， ； 当恰好经过点时，则， 解得； 当点与点重合时，则， ∴当时，与的边共有两个公共点， 综上：当与的边共有两个公共点时，或或． 26．如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①直线；②；当与直线相切时 【分析】（1）当时，点D、C重合，，由直径所对圆周角逆定理得是直径，求出长后除以2得到半径； （2）由垂径定理得到，结合矩形性质表示、，在和中利用勾股定理结合化简求出； （3）①建立平面直角坐标系，写出圆心O坐标用m表达，消去参数m得到一次函数关系式，判断O的运动路径为直线的一部分；②根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到，代入线段表达式化简得，再根据直线和圆相切的判定：圆心到直线距离等于半径，列方程求解得到． 【详解】（1）解：， 点C与点D重合， ， 是的直径， ，， ， ； （2）解：如图，连接、， 点B、D都在上，且， 点O在的垂直平分线上， ， 又， ， ，直线AC，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，以点C为原点、为x轴、为y轴建立坐标系，则，，， 由（2）知点O到的距离为，到直线的距离为，即， 设， ， ， ， 点O在直线上运动，其路径是直线的一部分； ②直线AC，且A、F都在上， G是弦的中点，， 由（2）知，，，， ， ， 当与直线相切时， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $