-2026-2027学年苏科版数学九年级上册期中阶段复习能力提升卷二（第1章～3章）

期中阶段复习能力提升卷二（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．若方程化成一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程化成一般形式为， ∴一次项系数为． 2．方程 根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据根的判别式方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：，，， ， 有两个不相等的实数根． 3．下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不是的形式，不是反比例函数； B、，这是的形式（），是反比例函数； C、，不是的形式，不是反比例函数； D、，不是的形式，不是反比例函数． 4．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将道路平移，可得到长方形的长为，宽为，直接代入面积公式即可． 【详解】解：由题意可列式：． 5．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径是圆中最长的弦，确定弦长的取值范围后判断选项． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的直径为 ∵圆中最长的弦是直径， ∴弦的长度取值范围是， ∵， ∴测量结果不可能是． 6．如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积． 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． 8．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（共20分） 9．若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】 【分析】将点的横纵坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入函数解析式， 得 ， 即 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 【答案】 【分析】圆心位于弦的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，设出圆心坐标，然后根据圆心到圆上任意一点的距离相等，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意知，点，，． 观察点A和点B，它们的纵坐标相同，说明线段平行于x轴，线段的中点为，则其垂直平分线是直线； 设圆心为，由得： 解得 所以，圆心P的坐标为． 11．某地区中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为55场，则该地区共有________个中学． 【答案】 【分析】设该地区共有个中学，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设该地区共有个中学， 由题意可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该地区共有个中学． 12．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，根据倍根方程定义得到两种情况，求出和的关系，代入所求分式计算即可． 【详解】解：解方程，得，， ∵方程是倍根方程， ∴分两种情况讨论： 第一种情况：，即，可得， 代入得：； 第二种情况：，即，可得， 代入得： 综上，的值为． 13．在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 【答案】24 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 14．如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 【答案】 4 【分析】设点坐标，根据平移性质确定点纵坐标，结合反比例函数解析式求点横坐标，从而得出平移距离，利用平行四边形面积公式计算． 【详解】设点的坐标为 ． ∵线段沿轴向右平移至线段 ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，为 ． ∵点落在反比例函数的图象上 ， ∴ ． ∴ ． ∴点的坐标为 ． ∴平移的距离为 ． ∴线段扫过的图形为平行四边形，其面积为． 15．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 16．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知该圆半径是，，，则的长是_____（结果保留）． 【答案】/ 【分析】利用切线的性质可得，进而可以得到，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题可得：， ， ， 所对圆心角为， 该圆半径是， 的长是． 17．若方程的两个根分别为，，则值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义，再结合根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，整理得 ； ∵， 将代入， 则原式． 18．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 【答案】 【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解出一元二次方程即可． （2）利用提公因式法解出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 移项得， 配方得， 开平方得或， ，， ，． （2）解：， 移项得， 提公因式得， 或， ，． 20．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【详解】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，． 21．人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点足够长． 使用方法如图2所示，要将三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切时，切点为，则有． 若，半圆的半径为2，与半圆交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，熟练掌握相关知识点和熟记弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∵半圆的半径为2， ∴的长为． 22．如图，在中，，，．点P从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积等于？ (2)连接，线段的长度能否等于？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，的面积等于 (2)线段的长度不能等于，理由如下： ∵，， ∴ 当时， 整理得， ∴ ∴方程无实数解， ∴线段的长度不能等于． 【分析】（1）首先求出，根据题意得，，，则，然后利用的面积等于列方程求解； （2）当时，利用勾股定理列出方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点P运动到点B的时间为，点Q运动到点C的时间为 ∵当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒 ∴ 根据题意得，，，则 ∵，的面积等于 ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴当时，的面积等于； （2）略 23．如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)存在， 【分析】（1）求出点坐标后代入反比例函数解析式求出，回代即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点、坐标，根据得出，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵点的横坐标为，且在正比例函数的图象上，过点作轴于，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，解得， ∵， ∴存在，． 24．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【答案】(1) (2)四边形是菱形． 因为， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以四边形是菱形 ② 【分析】第问，由弧的度数得到圆心角，判定等腰直角三角形求出弦长；看到两边中点，直接利用三角形中位线定理快速计算． 第通过弧相等得到圆心角为，结合半径相等证明等边三角形，根据四边相等判定菱形． 第采用构造中位线的思路，取中点，构造两条中位线、，借助菱形垂直关系推导出，在直角三角形中用勾股定理求． 【详解】（1）解：连接，如图1， 因为的度数为， 所以， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为为弦的中点，为弦的中点， 所以． （2）①略 解：如图2，取中点，连接，，连接交与点，      所以， 因为，为菱形且 所以， 所以， 所以， 因为菱形， 所以， 所以， 在中，． 25．新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义列二元一次方程组求解即可； （2）由新定义求得从而得点对应的“生成点”即再利用待定系数法即可得解； （3）由新定义得，点，，进而求得顶点的轨迹为：，由，得，把代入一次函数为常数），得当与只有相切时，解得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵点是“初始点”，且点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵点是“初始点”， 点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ∴ ∴点对应的“生成点”即 ∵在反比例函数的图象上， ∴， （3）解：∵点是“初始点”， ∴即， ∴点， ∴点对应的“生成点”是点即， ∴， ∴二次函数为常数）化为， ∴为常数）的顶点， ∴顶点的轨迹为：， ∵， ∴， 中，当时，， 把代入一次函数为常数）得 解得 当与只有相切时， ∴， ∴， 解得 如图， 由图形可得 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程根的情况，解二元一次方程组，求反比例函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 26．阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接与相交于点P，由题意得，此时最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由线段中点的定义可得，由折叠的性质可得，则点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）；连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）作点D关于的对称点，连接，，设分别交于点N，交半圆O于点H，由轴对称的性质可得，，则可推出当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图3所示，连接与相交于点P，由题意得，此时最短， ∵的直径，且， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵四边形是边长为2的菱形， ∴，； ∵M是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点N在线段上运动， ∴点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）； 连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，如图4所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，当点与点Q重合时，最短，最短为； （3）解：如图5所示，作点D关于的对称点，连接，， 设分别交于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 如图5所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷二（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．若方程化成一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数是（    ） A．9 B． C． D． 2．方程 根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．若点在反比例函数的图象上，则a的值为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 11．某地区中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为55场，则该地区共有________个中学． 12．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 13．在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 14．如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 15．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 16．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知该圆半径是，，，则的长是_____（结果保留）． 17．若方程的两个根分别为，，则值为________． 18．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 21．人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点足够长． 使用方法如图2所示，要将三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切时，切点为，则有． 若，半圆的半径为2，与半圆交于点，求的长． 22．如图，在中，，，．点P从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积等于？ (2)连接，线段的长度能否等于？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 23．如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 24．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 25．新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 26．阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $