3.2.1双曲线的标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线的标准方程，核心涵盖定义、标准方程及几何特征，通过类比椭圆引导学生迁移知识，构建从椭圆到双曲线的学习支架，帮助理解定义形成及方程推导过程。 资料亮点在于高频易错汇总与题型分类，类比学习培养数学思维的推理能力，易错点辨析提升数学语言的精确表达，多样化题型训练发展数学眼光的抽象能力与几何直观，助力学生高效掌握重点突破难点。

第二十三讲 双曲线的标准方程 【学习目标】1.类比椭圆，进一步理解双曲线的定义，了解求双曲线方程的不同方法； 2.类比椭圆，感受双曲线的不同的形成过程，体会数形结合的思想方法． 【学习重点】双曲线的定义，双曲线的标准方程． 【学习难点】双曲线的几何特征． 必掌握知识点 一. 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距. (1)当时,动点的轨迹是以为端点的两条射线; 当时,动点的轨迹不存在. (2)如果具体双曲线问题中无“绝对值”,即与两个定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹为双曲线的“一支”. 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 二.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线标准方程为. (2)中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线标准方程为. 三. 焦点在轴上标准方程中项的系数为正,项系数为负;焦点在轴上标准方程中项的系数为正,项系数为负. 四. 双曲线的学习要类比椭圆,在解题过程中,要注重回归双曲线的定义,充分运用“双焦点相伴相生、相互转化”策略. ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 五 高频易错汇总 1.公式区分: 椭圆：，； 双曲线：，。 2.双曲线定义 是完整双曲线；去掉绝对值只表示其中一支；，否则无轨迹或射线。算出焦半径必须检验：不能小于，不合理解舍去 3.方程判定 表示双曲线：；同正才是椭圆。 4.焦点三角形 不要照搬椭圆，双曲线没有这个公式！，用。 5.最值替换模型 用代换，分清左支 、 右支，确定加减符号；取等号要保证 P 在对应支上。 6.轨迹方程 如果轨迹只是双曲线其中一支，必须加上自变量取值范围（或者），不能直接写标准方程。 7.椭圆双曲线综合 椭圆是距离之和，双曲线是距离之差，联立方程组求焦半径不要写反加减号。 8.充分必要条件 “方程是双曲线” 等价于系数异号，该集合范围更大，做题分清充分、必要。 必考题型全归纳 题型一、双曲线的定义（第一定义） 1.第一定义：平面内与两个定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数，且的点的轨迹叫双曲线。 若（不带绝对值）：只表示双曲线的右支 若：只表示双曲线的左支 若：两条射线；若：轨迹不存在。 2.重要恒等式：（和椭圆区分：椭圆） 实半轴，虚半轴，半焦距；焦距。 3.焦半径取值限制： 双曲线上一点到同侧焦点距离最小值为；算出的焦半径结果不能小于，要舍去不合理解。 4.利用定义求轨迹： 定义法：几何条件满足距离差，直接写出写轨迹；注意区分是整支还是单支，要写范围。 圆与圆相切问题：外切、内切转化距离差，判断是双曲线完整曲线还是单支。 易错点 1.丢掉绝对值：只是一支，不是完整双曲线； 2.算出焦半径不检验：解出小于要直接舍去； 3.轨迹求解忘记限制范围，比如只存在右支，不写； 4.和椭圆公式记混：双曲线，椭圆是。 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知，因为，所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，，所以. 3．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得.由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，.故选：A. 4．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号.又，所以的最大值为. 题型二、双曲线标准方程与方程判定（一般式） 1.标准方程 焦点在轴：，焦点 焦点在轴：，焦点 2.一般式 表示双曲线条件：，一正一负。 项系数正，焦点在轴；项系数正，焦点在轴。 若同正：椭圆；同负：无图形。 3.充分必要条件题型： “方程为双曲线” ⇔ ；该条件范围更大，注意充分 / 必要判断。 易错点 1.拿到一般式不化成标准式，直接判断焦点位置； 2.混淆条件：双曲线要求系数异号，椭圆是同正且不等； 3.判断充分必要条件，分不清谁推谁； 4.忽略方程可能表示圆、椭圆、两条直线，直接默认是双曲线。 5．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】把方程化成标准形式，根据选项中图形，结合椭圆、双曲线图形特征判断即可. 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 6．对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或.而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 7．已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线，故选：A． 8．方程表示的轨迹图形是（   ） A．抛物线 B．半个圆 C．半个椭圆 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】先对给定方程进行变形，然后根据变形后的方程与常见曲线的标准方程的关系来判断其表示的轨迹图形即可. 【详解】由题意，得把式子左右同时平方，得，即，，又， 方程表示的轨迹图形是双曲线的一支.故选：D. 题型三、双曲线焦点三角形、中位线模型 设为双曲线上一点，为左右焦点， 1.定义：， 2.余弦定理： 3.面积：；也可以 4.中位线模型：原点是两焦点中点；遇到线段中点，优先构造中位线转化线段长度。 易错点 1.不会对展开变形； 2.焦点三角形没有像椭圆那样公式，不能套用椭圆面积公式； 3.看不到中位线，硬算坐标，计算量巨大。 9．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，利用椭圆和双曲线的几何性质，求得，得到，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得，又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中点性质转化，结合双曲线定义与余弦定理求出，再用点差法直接得到PM与QM的斜率之积等于，快速求解. 【详解】设，，， 在中，由余弦定理可得， 又，则有，① 又为的中点，由中线定理可得， 即，② ②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设， 则，因为都在双曲线上， 所以，，所以，则． 11．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和正弦定理得到与，再结合余弦定理即可求出值. 【详解】 设过点的切线与圆相切于点，则. 又，为双曲线的左、右焦点，所以，所以. 在中，由正弦定理可得，， 即，解得. 又点在双曲线右支上，所以，所以. 在中，由余弦定理可得， ，即，所以， 又，所以， 又，所以.故选：D. 12．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 题型四、双曲线定义转化求最值、周长（高频大题小题模型） 核心思想：利用，把替换成，转化成 “两点之间线段最短”； 在右支：在 左支： 求的最大、最小值：替换之后，利用三角形三边关系；注意取等条件：三点共线，同时 P 必须在对应的那一支上 本模块易错点 1.替换左右支搞反符号：右支是，不要写成减号反过来； 2.只看三点共线，忽略点 P 必须落在对应支上，等号取不到； 3.周长最小值不会先用定义做线段代换，直接暴力设点计算。 13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 14．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2，由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点，所以，即， 又因为，所以， 令，得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即，所以的最小值为． 15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 16．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 题型五、轨迹方程 1.定义法： 题目给出距离差、两圆内外切、折叠几何条件，先看是否满足双曲线定义；分清是完整双曲线，还是只有一支，必须写或范围。 2.直译法：把几何条件翻译成等式，化简；化简后检验，剔除无效点。 3.常见情景：圆折叠、两圆相切、斜率之积定值、几何折叠模型。 易错点 1.求出轨迹，不写范围，把单支写成完整双曲线； 2.不会识别定义法情景，一味平方展开，计算量大，还容易增根。 17．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此．同理，当点在轴左侧时，．故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 18．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 19．已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为.故选：A. 题型七、椭圆与双曲线综合题（共焦点） 1.共焦点：椭圆与双曲线焦点相同，则相同； 2.一个点同时在椭圆、双曲线上：联立椭圆定义，双曲线定义，方程组直接解两条焦半径。 易错点 1.搞混椭圆和双曲线定义符号，一个和、一个差； 2.联立方程组计算焦半径计算出错。 20（多选）．分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、，由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得，因此，综上，总有，故C正确，D错误. 21．已知椭圆的离心率为，焦距为，点是椭圆上的一点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形（为坐标原点）． ①求的值； ②求四边形的面积． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据离心率以及焦距公式即可求出椭圆的方程 （2）联立椭圆与直线方程，利用根与系数的关系求出坐标，代入椭圆方程可得， ①即，则点是曲线上的一点，所以，利用双曲线的定义求解即可； ②由弦长公式、点到直线距离公式结合三角形的面积公式化简即可求解. 【详解】（1）已知， 又焦距为，，故，，∴椭圆的方程为． （2）把直线方程代入椭圆方程，化简得：． 则， 设，，则，， 因为四边形为平行四边形（为坐标原点）， 所以， ，， ，把点的坐标代入椭圆的方程，化简得：． ①，，∴点是曲线上的一点， 设曲线的左、右焦点分别为，， ， 由双曲线的定义知：． ②记点到直线的距离为，则， ， ． 题型八、双曲线光学性质、实际应用 双曲线光学性质：从一个焦点发出光线，经过双曲线反射，反射光线反向延长线过另一个焦点；用于角度、斜率计算。 冷却塔：双曲线绕虚轴旋转，把实物抽象为双曲线模型，代入坐标计算参数。易错点 1.看不懂光学性质文字描述，不会转化几何角度关系； 2.实际应用题建系出错，实轴虚轴搞反。 22．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【分析】以最小半径所在圆的圆心为原点建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，将上口和下口边缘点的坐标代入方程，通过消去参数b求得高度之比. 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得，因为，所以. 巩固提升： 1．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 2．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以.综上，. 3．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：，可知，即， 所以由双曲线定义可知，解得或，故选：C 4．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以.故选：B 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上的动点，过点作圆的两条切线.若两条切线与线段所成锐角均不小于，记，.记的面积为S，则的值可能为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线，得，，，所以得，. 因为点是双曲线右支上的动点，，，所以，所以. 设过点作圆的两条切线，切点是，， 因为两条切线与线段所成锐角均不小于，所以， 所以，所以，所以，， 设，则 的面积，所以， 因为，所以，因为，，所以， 从而，整理得，即， 因为点在双曲线右支上，所以，所以，所以，所以，从而， 所以，所以， 所以，，设，， 易知当时，，所以在上单调递增，所以 且，，所以， 所以，因为，，，所以选项A，B，D错误，选项C正确. 6．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符.综上，的周长为22. 7．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 8．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 9．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立．所以的最大值为， 故选：C 10．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 11．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 12．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若表示双曲线，则表明与的系数同号，即，解得，由充分必要条件的概念可得是的充分不必要条件. 【详解】若表示双曲线，则有，解得， 易得是的充分不必要条件， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A. 13．已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 14．已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得，解得或，故选：D 15．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得，解得.故选：C 16．若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 【答案】D 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可. 【详解】由方程，得. 对于A选项，若曲线表示圆，所以，解得，即曲线可能是圆，A选项说法正确； 对于B选项，若曲线为双曲线，则，解得，B选项说法正确； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C选项说法正确； 对于D选项，若曲线为椭圆，则，解得且，D选项说法不正确. 故选：D. 17．已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【详解】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意.故选：C 18．双曲线的焦距为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】首先将双曲线的方程表示为标准方程，求出，进而求出. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，所以，所以，所以焦距为. 故选：C. 19．已知双曲线的两个焦点为，焦距为8，是双曲线上一点，且，则（   ） A．1或9 B．9 C．1 D．10 【答案】B 【分析】根据焦距可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线的定义，可得的值，分析检验，即可得答案. 【详解】设焦距为，由题意得，即， 又，所以，即， 由双曲线定义可得，即，解得1或9， 又，即，所以，所以.故选：B 20．已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】B 【分析】首先求出、，再根据双曲线的定义计算可得. 【详解】双曲线，则，，所以， 又，，解得或， 又，所以.故选：B 21．已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的定义求出，即可得解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，. 已知，由双曲线的定义可得，即， 所以或. 由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或. 故选：D 22（多选）．已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 【答案】ABD 【分析】根据双曲线、椭圆、圆的标准方程逐一判断. 【详解】当时，曲线C的方程为，故曲线C是圆，故A正确； 当时，且曲线C的方程为， 故曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 当时，且曲线的方程为， 故曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 当时，曲线的方程为，故曲线C是双曲线，故D正确；故选：ABD 23（多选）．当时，方程可以表示的曲线有（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】对，，，四种情况进行讨论，结合方程得出曲线的形状. 【详解】当时，方程，该方程表示的曲线为圆， 当时，，方程表示椭圆， 当时，方程，可得，该方程表示两条平行直线， 当时，，方程表示双曲线. 综上所述，该方程可以表示圆，椭圆，双曲线.故选：ABC. 24（多选）．焦距为8，离心率等于的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据圆锥曲线标准方程的定义，及其对应参数确定焦距、离心率，即可得. 【详解】对于A：标准方程表示焦点在轴上的椭圆， 且，则，故，，符合； 对于B：由不是椭圆标准方程，不符合； 对于C：标准方程表示焦点在轴上的椭圆， 且，则，故，，符合； 对于D：标准方程表示双曲线，不是椭圆，不符合.故选：AC 25（多选）．已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线方程的特征，逐项列式求解判断即可. 【详解】对于A，曲线表示圆，则，解得，故A正确； 对于B，曲线表示等轴双曲线，则，方程无解，故B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得，故C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，故D正确.故选：ACD. 26．曲线，如果是双曲线，需要满足的条件_____ 【答案】且 【详解】根据双曲线的定义，需满足且，解得且. 27．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如其中，则， 故点的轨迹方程为. 28．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 29．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且，所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 30．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为.故答案为： 31．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 【答案】 【分析】由双曲线定义及勾股定理，可得，从而求得，求得直线的斜率. 【详解】由知，，则. 由双曲线的定义知，. 所以，所以.所以. 因为直线的倾斜角与互补，所以其斜率为. 32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，，所以． 33．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据双曲线定义解出，再设点得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，， 由双曲线定义知，联立，解得， 设，因为，所以点在双曲线的右支上，则， 因为，所以①， 又因为点在双曲线上，则②， 联立①②解得或.所以． 35．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】设，先根据双曲线的定义得到，，利用三角形的面积公式可得，，进而得到，再由及余弦定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线，得，则，， 设，则， 所以， ，则． 在与中，， 即，整理得， 所以，解得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三讲 双曲线的标准方程 【学习目标】1.类比椭圆，进一步理解双曲线的定义，了解求双曲线方程的不同方法； 2.类比椭圆，感受双曲线的不同的形成过程，体会数形结合的思想方法． 【学习重点】双曲线的定义，双曲线的标准方程． 【学习难点】双曲线的几何特征． 必掌握知识点 一. 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距. (1)当时,动点的轨迹是以为端点的两条射线; 当时,动点的轨迹不存在. (2)如果具体双曲线问题中无“绝对值”,即与两个定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹为双曲线的“一支”. 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 二.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线标准方程为. (2)中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线标准方程为. 三. 焦点在轴上标准方程中项的系数为正,项系数为负;焦点在轴上标准方程中项的系数为正,项系数为负. 四. 双曲线的学习要类比椭圆,在解题过程中,要注重回归双曲线的定义,充分运用“双焦点相伴相生、相互转化”策略. ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 五 高频易错汇总 1.公式区分: 椭圆：，； 双曲线：，。 2.双曲线定义 是完整双曲线；去掉绝对值只表示其中一支；，否则无轨迹或射线。算出焦半径必须检验：不能小于，不合理解舍去 3.方程判定 表示双曲线：；同正才是椭圆。 4.焦点三角形 不要照搬椭圆，双曲线没有这个公式！，用。 5.最值替换模型 用代换，分清左支 、 右支，确定加减符号；取等号要保证 P 在对应支上。 6.轨迹方程 如果轨迹只是双曲线其中一支，必须加上自变量取值范围（或者），不能直接写标准方程。 7.椭圆双曲线综合 椭圆是距离之和，双曲线是距离之差，联立方程组求焦半径不要写反加减号。 8.充分必要条件 “方程是双曲线” 等价于系数异号，该集合范围更大，做题分清充分、必要。 必考题型全归纳 题型一、双曲线的定义（第一定义） 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 3．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 4．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B．C． D． 题型二、双曲线标准方程与方程判定（一般式） 5．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A．B．C．D． 6．对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 8．方程表示的轨迹图形是（   ） A．抛物线 B．半个圆 C．半个椭圆 D．双曲线的一支 题型三、双曲线焦点三角形、中位线模型 9．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（   ） A． B． C．2 D． 12．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 题型四、双曲线定义转化求最值、周长（高频大题小题模型） 13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 14．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型五、轨迹方程 17．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 19．已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B．C．D．  题型六、椭圆与双曲线综合题（共焦点） 20（多选）．分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 21．已知椭圆的离心率为，焦距为，点是椭圆上的一点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形（为坐标原点）． ①求的值； ②求四边形的面积． 题型七、双曲线光学性质、实际应用 22．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    巩固提升： 1．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 3．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 4．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上的动点，过点作圆的两条切线.若两条切线与线段所成锐角均不小于，记，.记的面积为S，则的值可能为（    ） A．3 B． C． D． 6．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14B．14或17 C．22 D．14或22 7．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1B． C． D． 9．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 13．已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B．C． D．或 14．已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 15．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．若方程所表示的曲线为，则下列命题不正确的是（   ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为椭圆，则且 17．已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 18．双曲线的焦距为（    ） A． B．6 C． D．4 19．已知双曲线的两个焦点为，焦距为8，是双曲线上一点，且，则（   ） A．1或9 B．9 C．1 D．10 20．已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 21．已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 22（多选）．已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 23（多选）．当时，方程可以表示的曲线有（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 24（多选）．焦距为8，离心率等于的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 25（多选）．已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 26．曲线，如果是双曲线，需要满足的条件_____ 27．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 28．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 29．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 30．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 31．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 33．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 34．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 35．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $