1.4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正方形的判定，通过复习正方形定义与性质，结合矩形纸片对折剪角的动手操作设疑，引导学生思考矩形与正方形的转化条件，搭建新旧知识联系的学习支架。 特色在于采用类比迁移与分层探究，小组合作从矩形、菱形基础探究判定条件，培养推理能力，典型例题多思路证明，结合情境创设发展几何直观与应用意识，帮助学生构建知识体系，为教师提供清晰教学流程与分层训练素材。

第2课时　正方形的判定 【课堂引入】 本节课采用复习回顾结合动手操作的方式导入新课。首先引导学生回顾正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。随后梳理正方形的核心性质：正方形的四条边相等、四个角都是直角；对角线相等、互相垂直且互相平分。 在学生巩固旧知的基础上，课件出示折纸操作问题：将一张矩形纸片对折两次，剪下一个角后展开，如图，如何操作才能剪出一个标准的正方形呢？通过折纸设疑，引导学生思考矩形与正方形的图形区别与转化条件，激发学生探究兴趣，自然引出本节课正方形的判定内容，为新知学习做好铺垫。 【教学目标】 课题 第2课时　正方形的判定 授课人 素养目标 1.掌握正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算． 2．经历探究正方形判定条件的过程，发展综合推理能力、逐步掌握说理的基本方法． 3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养运用数学的眼光辩证看问题的观点. 教学重点 正方形的判定. 教学难点 合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 　　我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？观察下图． 通过填写让学生清晰地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形．而正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 前面已经学习平行四边形、矩形、菱形的判定定理。课堂上组织学生回顾梳理：如何判定四边形是平行四边形、矩形、菱形；一个平行四边形，再添加什么条件可以成为矩形或者菱形。 在学生完成知识回顾后，教师提出议一议问题：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。类比上面的判定思路，我们需要给四边形添加怎样的条件，才能证明它是正方形？ 通过类比迁移，把已有的判定经验迁移到正方形，激发学生探究欲望，开启新课学习。 回忆矩形、菱形、平行四边形的判定方法，引出本节课的主题. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．探索正方形的判定条件 采用类比迁移、分层探究的方式开展小组活动。学生四人一组，结合矩形、菱形的判定经验，自主探究正方形的判定方法。 首先，引导学生明确正方形的双重属性：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。小组合作讨论：如何在矩形的基础上添加条件，使它成为正方形？如何在菱形的基础上添加条件，使它成为正方形？ 能否直接对任意四边形给出条件，判定它为正方形？ 学生交流讨论过程中，教师巡视各组，适时点拨、纠错、引导学生抓准核心条件：矩形需要补 “邻边相等”，菱形需要补 “有一个直角”。 小组展示探究成果后，师生共同梳理、归纳，生成三类严谨的正方形判定思路： ①从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 ②从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。 ③从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 最后师生共同总结：正方形的判定本质是同时具备矩形与菱形的核心特征。根据已知图形基础不同，可灵活选择判定路径，解题时需先判断图形是任意四边形、矩形、菱形还是平行四边形，再对应选取判定条件，避免条件混淆。 2．正方形判定方法的应用 思考：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； (2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； (3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形； (4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； (5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形． 方法二： ―→正方形 方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线互相平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形. 通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第19页例2)已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． 思考：通过什么方式证明四边形BECF是正方形？ 思路一：先证明四边形BECF是菱形，再证明四边形BECF中有一个角是直角； 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°.∴BE＝CE.∴平行四边形BECF是菱形． ∵∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 思路二：先证明四边形BECF是矩形，再证明四边形BECF中有一组邻边相等． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ECB ＝ 45°. ∴EB＝EC. ∵BF∥CE，CF∥BE，∴∠FBC＝∠ECB＝45°，∠FCB＝∠EBC＝45°. ∴∠EBF＝∠ECF＝∠BEC＝90°.∴四边形BECF是矩形． 又∵EB＝EC，∴矩形BECF是正方形． 【变式训练】 1．如图，四边形为平行四边形，过点作于点，过点作，交的延长线于点，且，求证：四边形为正方形． 证明：四边形为平行四边形， ， 又，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F. (1)求证：DE＝EF. (2)当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形． ∴BD＝CF. ∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝CF. ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴DE＝EF. (2)当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形． 证明：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AD. ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴平行四边形ADCF是菱形． ∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠DCA＝45°. ∴∠ADC＝90°. ∴菱形ADCF是正方形. 从两种解决问题的思路入手，通过对问题的思考、挖掘和知识的相关拓展，让学生在解题过程中掌握正方形的应用，达到“学数学，用数学”的目的，进一步培养学生解决问题和推理论证的能力. 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1．如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（　C　） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 2．在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(B) A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(C) A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：△BED≌△CFD. (2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形． 解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D是BC的中点．∴BD＝CD. ∴△BED≌△CFD(AAS)． (2)∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. 又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形． 由(1)知△BED≌△CFD， ∴DE＝DF. ∴矩形DFAE是正方形． 5．如图，在中，对角线，相交于点，点是的延长线上一点，且△是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求证：四边形是正方形． 证明：（1）四边形是平行四边形， ，即是的中点，是△的中线， △是等边三角形， ， 即， 是菱形，即四边形是菱形； （2）△是等边三角形， 由（1）知，， ，△是直角三角形， ， ， ， ， 是菱形， ， 菱形是正方形，即四边形是正方形． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． (3)本章所学内容联系： 2．布置作业： 教材第22页习题1.4第4，5题. 让学生归纳本节课学习的主要内容，对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯. 教学反思 　　本节课在学生已掌握矩形、菱形、正方形的性质及判定方法基础上，进一步探究正方形的判定条件。教学中引导学生从“边、角、对角线”三个维度出发，通过类比自主归纳判定方法，教学框架清晰，体现了知识之间的内在联系。 反思教学过程，主要存在以下不足： 第一，探究环节流于形式。 部分判定定理（如“对角线互相垂直的矩形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”）几乎由教师直接给出，学生缺少从特殊到一般的发现过程，对判定条件的必要性理解不深。 第二，判定方法缺乏系统性梳理。 正方形判定途径较多（从矩形出发、从菱形出发、从四边形直接出发），未引导学生进行结构化整理，导致部分学生面对具体问题时思路混乱，不知从何切入。 第三，例题梯度不足，易混淆点辨析不够。 课堂例题多为单一判定定理的直接应用，缺乏综合性问题，学优生提升不足；同时对学生易错点（如“一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形”与相关判定定理的区别）辨析不够，部分学生只记结论，不会灵活运用。推理书写规范训练也较为欠缺。 今后将作出如下改进：一是优化探究环节，设计递进式任务单，让学生在画图、测量、交流中自主归纳判定条件，教师适时追问引导深入辨析；二是构建判定方法思维导图，梳理三种判定路径，形成结构化知识网络；三是分层设计例题与变式，设置“基础—综合—拓展”三级练习，并加强正反辨析与书写规范训练，切实提升学生对正方形判定的理解深度与运用能力。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $ 同步练习 1.4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 夯实基础 1．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 3．在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 4．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（　　） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 5．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（　　） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 6．如图，是矩形对角线的交点，添加一个条件　　 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 7．如图，在△中，，的角平分线交于点，于点，于点．请你判断四边形是否为正方形，并说明理由． 能力提升 8．如图，在中，下列结论中错误的是（　　） A．当时，它是菱形 B．当平分时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 9．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）当△再具备条件 　　 时，四边形是正方形． 11．如图，点是矩形边的中点，点是边上一动点，且，，垂足分别为，． （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并证明； （2）在（1）中，当点运动到什么位置时，变为正方形，并证明． 思维拓展 12．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 答案详解 1．解：四边形是平行四边形， ，， 、添加，，能判定是正方形，故不符合题意； 、添加，，能判定是菱形，但不能判定是正方形，故符合题意； 、添加，，能判定是正方形，故不符合题意； 、添加，，能判定是正方形，故不符合题意； 故选：． 2．解：正方形的边：四边都相等，菱形的边四边都相等； 正方形的角：四角都相等，都是直角，菱形的角：对角相等； 正方形的对角线：相等，互相平分，且互相垂直，菱形的对角线：互相平分，互相垂直． 能使菱形成为正方形的是对角线相等， 故选：． 3．解：在平行四边形中，， 四边形是矩形， 、添加，矩形是正方形，故不符合题意； 、添加，不能判定四边形是正方形，故符合题意； 、添加，矩形是正方形，故不符合题意； 、添加，矩形是正方形，故不符合题意； 故选：． 4．解：、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故箭头处应添加的条件填写错误； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故箭头处应添加的条件填写正确； 、有一组邻边相等的矩形是正方形，故箭头处应添加的条件填写正确； 、有一个角是直角的菱形是正方形，故箭头处应添加的条件填写正确． 故选：． 5．解：利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成的四边形， 第①个四边形中，，， ，不是菱形； 第②个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 第②个四边形是菱形； 第③个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 四边形是菱形； 第④个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， 第④个四边形是正方形； 综上所述，是菱形但不是正方形的有2个，分别是②③． 故选：． 6．解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一）． 7．解：四边形是正方形． 理由：是的平分线，，， ，， 又， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． 8．解：、四边形是平行四边形，当时，它是菱形，说法正确，不符合题意； 、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 它是菱形，不符合题意； 、平行四边形，当时，它是矩形，说法正确，不符合题意； 、平行四边形，当时，平行四边形是矩形，符合题意； 故选：． 9．解：四边形是菱形， 当时，四边形是正方形， 故选：． 10．（1）证明：， ，， 点是线段的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△中，，点是的中点， ，， ，， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：当△再具备条件时，四边形是正方形，理由如下： 在△中，，， △是等腰直角三角形， 点是该等腰三角形底边的中点， ， 由（1）可知：四边形是矩形， 矩形是正方形． 故答案为：． 11．解：（1）矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下： ，点为的中点， ， △和△为全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 四边形为矩形； （2）当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下： 点为的中点， 为等腰三角形的顶角的平分线， ， 矩形变为正方形． 12．（1）证明：四边形为正方形， ，， 在△和△中， ， △△， ； （2）①证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $