精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区部分校 2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期10月八年级阶段测试卷 数学学科 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 贴窗花是古老的传统节日习俗，新春佳节时，中国许多地区的人们都喜欢在窗户上贴各种剪纸窗花．窗花不仅烘托了喜庆的节日气氛，也为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小河边有两个村庄，，要在河边建一自来水厂向村和村供水，下列叙述错误的是（ ） A. 若过点向作垂线交于点，则在点处建厂离村最近 B. 若过点向作垂线交于点，则在点处建厂离村最近 C. 若要使自来水厂到，两村的水管最短，作的垂直平分线，与的交点即为符合条件的点 D. 若要使自来水厂到，两村的水管最短，作点关于的对称点，连接该对称点与点，与的交点即为所求 4. 如图，在中，，点在BA的延长线上，点在BC边上，连接ED，EC，且，过点作于点，若，则BD的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 5. 已知点关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在 6. 如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 8. 如图，在等边三角形中，且，垂直平分，下列结论中错误的是（ ） A. 是等腰三角形 B. 是等边三角形 C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一，如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动、若，则______°． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 11. 如图，在中，，，，点为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点．点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 12. 如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①；②AC垂直平分BD；③AC平分，；④BD平分，；⑤四边形ABCD的面积．正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 14. 如图，在中，，，，． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的长． 15. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE＝5，求BC长． 16. 小宇想证明“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，他写出了已知和求证，在写证明时，他想到如下的两种证明方法，请你按以下两种证明方法写出完整的证明过程． 已知：如图，在中，，． 求证：． （1）方法一：证明：在上取一点，使得，连接． （2）方法二：证明：延长到，使得，连接． 17. 如图，，分别是的中线和角平分线，． （1）若的面积是20，且，求的长． （2）若，求的度数． 18. 完成下列问题： （1）【阅读理解】如图①，是等边三角形，是边下方一点，，求线段 之间的数量关系； 部分解题思路：延长到点，使得，连接，根据，证得，得出是等边三角形，从而求得线段之间的数量关系． 请根据以上思路，求出线段之间的数量关系； （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图②，在中，，是内部一点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月八年级阶段测试卷 数学学科 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 贴窗花是古老的传统节日习俗，新春佳节时，中国许多地区的人们都喜欢在窗户上贴各种剪纸窗花．窗花不仅烘托了喜庆的节日气氛，也为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 3. 如图，小河边有两个村庄，，要在河边建一自来水厂向村和村供水，下列叙述错误的是（ ） A. 若过点向作垂线交于点，则在点处建厂离村最近 B. 若过点向作垂线交于点，则在点处建厂离村最近 C. 若要使自来水厂到，两村的水管最短，作的垂直平分线，与的交点即为符合条件的点 D. 若要使自来水厂到，两村的水管最短，作点关于的对称点，连接该对称点与点，与的交点即为所求 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短判断A、B选项，根据垂直平分线的性质判断C选项，根据“将军饮马”模型判断D选项． 【详解】解：A．根据垂线段最短得过点向作垂线交于点，则在点处建厂离村最近，故A正确，不符合题意． B．过点向作垂线交于点，则在点处建厂离村最近，故B正确，不符合题意． C．作的垂直平分线，与的交点即为符合条件的点，只能说明的垂直平分线与的交点到、的距离相等，不能说明到，两村的水管最短，故C错误，符合题意． D．作点关于的对称点，连接该对称点与点，与的交点，根据“将军饮马”模型可得D正确，不符合题意． 4. 如图，在中，，点在BA的延长线上，点在BC边上，连接ED，EC，且，过点作于点，若，则BD的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【详解】解：，， 在中，，则，， ∵ ，， ， ， 又，即，而， ，同时，即， 将代入，可得， ． 故选：A． 5. 已知点关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，各象限的符号特征，解不等式组，先求出点关于轴的对称点，再由第三象限的点的坐标特征列出不等式组，再解不等式组即可，根据象限的符号特征列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由点关于轴的对称点为， ∵对称点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 6. 如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质，直角三角形的性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则， ∴是的外角， ∴． 故选：D． 7. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线， ∵点D在直线MN上， ∴DC=DB， ∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， ∵AB=10，AC=4， ∴△ACD的周长为14． 故选D. 【点睛】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把△ADC的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中考常考题型． 8. 如图，在等边三角形中，且，垂直平分，下列结论中错误的是（ ） A. 是等腰三角形 B. 是等边三角形 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故选项正确；用“边角边”定理证明，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故选项正确；利用平行线的性质证明，可求出，故选项正确；根据，即可判断，故选项错误． 【详解】解：垂直平分， ，即是等腰三角形，故选项正确； 是等边三角形， ， 又， . 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故选项正确； 垂直平分，， ， ，故选项正确； ， ，故选项错误． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一，如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动、若，则______°． 【答案】52 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：52． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，外角性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， ， 则顶角为， 此时的底角为； 如图，当顶角为锐角时， ， 则顶角为， 此时的底角为； 综上所述，底角的度数为或， 故答案为：或， 11. 如图，在中，，，，点为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点．点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的定义得到，则的周长，从而可以推出当三点共线时，的值最小，即为，再根据三线合一定理得到，，再根据三角形面积求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即的值最小，即的值最小， ∴当三点共线时，的值最小，即为， ∵为的中点，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键． 12. 如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①；②AC垂直平分BD；③AC平分，；④BD平分，；⑤四边形ABCD的面积．正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据题意由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠ABC=∠ADC，由全等三角形的性质可判断②③④，由面积和差关系可判断⑤． 【详解】解：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC=∠ADC，①正确； ∴即AC平分，，③正确； 又∵； ∴， ∴，即AC垂直平分BD，②正确； ∵AC垂直平分BD， ∴BO=DO， ∴四边形ABCD的面积， ⑤正确； 综上①②③⑤正确，④BD平分，，无法判断； 故答案为：①②③⑤. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质依据三角形面积公式，熟练运用这些性质进行推理是解答本题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，， （2） 解：如图，即为所求作： ，，， 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键． （1）按要求作出关于x轴对称的，写出坐标，即可求解； （2）按要求作出关于直线l对称的，写出坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 14. 如图，在中，，，，． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质结合条件得，进一步求出，再根据即可求出，进而得，即可证明是等腰三角形． （2）由（1）得：，，根据垂直定义得，再根据度角所对边等于斜边的一半即可得，进而得，再根据，计算即可得的长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得：，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为． 15. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE＝5，求BC长． 【答案】（1）∠ECD=36°；（2）BC长是5． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A； （2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，由外角和定理求出∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，继而得∠BEC=∠B，推出BC=CE即可． 【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴CE＝AE， ∴∠ECD＝∠A＝36°； （2）∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC＝5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 16. 小宇想证明“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，他写出了已知和求证，在写证明时，他想到如下的两种证明方法，请你按以下两种证明方法写出完整的证明过程． 已知：如图，在中，，． 求证：． （1）方法一：证明：在上取一点，使得，连接． （2）方法二：证明：延长到，使得，连接． 【答案】（1）选择方法一： ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ． （2）选择方法二： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，即可证明； （2）延长到D，使得，连接，证明是等边三角形，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，，分别是的中线和角平分线，． （1）若的面积是20，且，求的长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【小问1详解】 解：是的中线，． ， 的面积是20，且， ， ， ； 【小问2详解】 是的中线，，， ，． 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 18. 完成下列问题： （1）【阅读理解】如图①，是等边三角形，是边下方一点，，求线段 之间的数量关系； 部分解题思路：延长到点，使得，连接，根据，证得，得出是等边三角形，从而求得线段之间的数量关系． 请根据以上思路，求出线段之间的数量关系； （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图②，在中，，是内部一点，且，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：过点B作，交的延长线于点H， ∵． ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由等边三角形知，，结合知，由知，证得，，再证是等边三角形得． （2）过点B作，交的延长线于点H，证出，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，即， 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $