精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市敬业学校2026一2027学年度第一学期阶段性多元评价(一)八年级数学试卷

敬业学校2026—2027学年度第一学期阶段性多元评价（一） 八年级数学试卷 满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的判定是解题的关键，根据轴对称图形的判定方法即可得到答案． 【详解】解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，故选项B符合题意； 是轴对称图形，故选项C不符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 2. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，利用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 3. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 4. 已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（ ） A. 3， B. ，3 C. 3，4 D. ，4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，； 解得，. 5. 如图是三位同学说明“三角形内角和为”的三种方案，在说明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（ ） 方案① 方案② 方案③ 过点作， 则，， 所以． 过点作， 则． 因为， 所以． 过点作，则． 因为，所以 A. 方案①和方案② B. 方案②和方案③ C. 方案①和方案③ D. 方案①、方案②和方案③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）是解题的关键． 分别分析三个方案中用到的理论依据，判断是否有“两直线平行，同位角相等”，从而得出答案． 【详解】解：方案①：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ ． 方案②：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）， ∵ ， ∴ ． 方案③：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ ． 综上，方案①和方案③没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据， 故选：． 6. 下列四个条件：①在中，，都是锐角；②的三个内角的度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定、三角形内角和定理及三角形外角和性质，解题的关键是利用相关定理结合条件求出三角形内角的度数，判断是否存在直角． 根据三角形内角和为、外角和为，分别对四个条件进行推导，计算各内角的度数，若存在角则为直角三角形，最后统计符合条件的个数． 【详解】解：①在中，，都是锐角，可能是锐角、直角或钝角，无法确定是直角三角形，此条件不符合； ②设三个内角分别为，由内角和定理得，解得，则，故是直角三角形，此条件符合； ③由得，又，代入得，即，故是直角三角形，此条件符合； ④设三个外角分别为，由外角和定理得，解得，三个外角分别为，，，对应的内角为，，，故是直角三角形，此条件符合． 综上，符合条件的有②③④，共3个． 故选：C． 7. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断． 【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断： A．作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B． 作的是，是的高，符合题意； C． 作的是边上的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D． 作的是，不是的高，不符合题意． 8. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 下列长度的三条线段：①3，4，8；②5，6，11，③5，6，10，④5，5，10，能组成三角形的是________．（只填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得． 【详解】解：①，不能组成三角形； ②，不能组成三角形； ③，能组成三角形； ④，不能组成三角形； 故答案为：③ 10. 李明在镜子里看到的时钟如图所示，则此时的准确时间（12小时制）是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，镜子中的像与原物体关于镜面对称，对于时钟而言，左右方向相反，实际时间与镜中时间之和为，据此可求解.  【详解】解：由图可知，镜中显示的时间为；  准确时间为. 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余是解题的关键．注意分类讨论. 分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，利用三角形外角的性质可求得顶角；当顶角为锐角时，利用直角三角形两锐角互余，可求得顶角为，即可得出答案． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 12. 如图，D为内一点，，平分，且．如果，，则的长是_______． 【答案】 10 【解析】 【分析】延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）如图，已知直线及直线外一点．利用直尺和圆规过点作直线的平行线． （2）如图，用尺规作图法，在上求作一点，使点到点和点的距离相等． 【答案】 （1）如图所示： （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了过直线外一点作已知直线的平行线和作一条线段的垂直平分线． （1）过点作直线交直线于点，然后作，所在直线即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以作线段的垂直平分线，其与的交点就是点，到点和点的距离相等． 【详解】（1）①过点作直线交直线于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点； ②以点为圆心，以线段为半径画弧交于点； ③连接，以为半径画弧，以点为圆心，与②中的弧交于点； ④连接并延长，即为所求的直线； （2）①作线段的垂直平分线，以点为圆心，大于长为半径画弧，再以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点、点； ②连接直线，与线段的交点就是点； ③点到点和点的距离相等，点即为所求． 14. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求∠ACB的度数 【答案】 【解析】 【分析】根据方向角的定义，可得，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，根据方向角的定义，可得 ∴． ∵AE，DB是正南正北方向， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键． 15. 问题 如图，小明和爸爸的身高分别是，，即，，二人配合测量树的高度． 操作 小明在距离树的处（）看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸可以前后移动，当时爸爸站着不动，这时小明测得． 问题解决 已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．作交于点M，交于点N，则四边形，，是长方形，从而，，根据证明得，进而可求出树的高度． 【详解】作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∴四边形，，是长方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： （1）点到三边，，所在直线的距离相等； （2）点在的平分线上． 【答案】（1） 证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2） 证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，中，．，的延长线与相交于点F．连接、． （1）求证：； （2）若．求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，，进而得到为等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结果； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 18. 在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题． 最短路径问题 提出问题 如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 理解模型 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 应用模型 如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？ 迁移延伸 如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F． （1）任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，． 根据轴对称性质，得， ①， ∴， ∵(② ） ∴，即路径最短． （2）任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论） （3）任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由． 【答案】（1）①，②三角形任意两边之和大于第三边 （2）解：如图所示，点C，D即为所确定的点． 此时步道总长度最短，为的长． （3）解：为等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 由对称可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别作点A关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）根据对称性得到，，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敬业学校2026—2027学年度第一学期阶段性多元评价（一） 八年级数学试卷 满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，利用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 3. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（ ） A. 3， B. ，3 C. 3，4 D. ，4 5. 如图是三位同学说明“三角形内角和为”的三种方案，在说明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（ ） 方案① 方案② 方案③ 过点作， 则，， 所以． 过点作， 则． 因为， 所以． 过点作，则． 因为，所以 A. 方案①和方案② B. 方案②和方案③ C. 方案①和方案③ D. 方案①、方案②和方案③ 6. 下列四个条件：①在中，，都是锐角；②的三个内角的度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 下列长度的三条线段：①3，4，8；②5，6，11，③5，6，10，④5，5，10，能组成三角形的是________．（只填序号） 10. 李明在镜子里看到的时钟如图所示，则此时的准确时间（12小时制）是______． 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 12. 如图，D为内一点，，平分，且．如果，，则的长是_______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）如图，已知直线及直线外一点．利用直尺和圆规过点作直线的平行线． （2）如图，用尺规作图法，在上求作一点，使点到点和点的距离相等． 14. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求∠ACB的度数 15. 问题 如图，小明和爸爸的身高分别是，，即，，二人配合测量树的高度． 操作 小明在距离树的处（）看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸可以前后移动，当时爸爸站着不动，这时小明测得． 问题解决 已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 16. 如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： （1）点到三边，，所在直线的距离相等； （2）点在的平分线上． 17. 如图，中，．，的延长线与相交于点F．连接、． （1）求证：； （2）若．求的长． 18. 在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题． 最短路径问题 提出问题 如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 理解模型 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 应用模型 如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？ 迁移延伸 如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F． （1）任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，． 根据轴对称性质，得， ①， ∴， ∵(② ） ∴，即路径最短． （2）任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论） （3）任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $