第5章 等可能条件下的概率 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第五章 等可能条件下的概率 全章综合训练 ▌课时目标 1. 理解等可能性判断、概率定义、列表树状图与频率估计的综合体系。 2. 掌握一次与两次试验概率计算及抽签公平性、统计推断的综合应用。 3. 能综合运用概率知识解决实际问题，并对结果做合理辨析与检验。 ▌课时目录 知识点01：等可能性判断与概率定义的综合辨析 知识点02：一次试验下概率公式P＝m÷n的综合应用 知识点03：两次试验下列表法与树状图的综合应用 知识点04：抽签公平性与等可能性的综合应用 知识点05：频率估计概率与统计推断的综合应用 知识点06：概率在实际问题中的综合运用与辨析 ▌知识点01：等可能性判断与概率定义的综合辨析 先用等可能性判断前提是否成立，再据P(A)＝计算。 例如：均匀骰子可用定义，偏骰子不能。 注意：等可能是公式前提；结果须有限且机会均等，否则改用频率估计等方法。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中装有除颜色外都相同的5个红球、2个白球、1个黑球，从中随机摸出一个球，则摸出__________球的概率最大．（填“红”、“白”、“黑”） ▌知识点02：一次试验下概率公式P＝m/n的综合应用 一次试验直接数n与m求概率。 例如：袋中摸一球求色概率。 注意：保证基本结果等可能；m、n基于同一划分，计数完整不重不漏，结果在0~1之间。 5．（2026·江苏徐州·三模）围棋起源于我国，棋子黑白两色．一个不透明盒子中，装有个白色棋子和个黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，则它是白色棋子的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏苏州·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，其中阴影区域三角形的顶点分别是正六边形的三条边的中点．若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）小明抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若抛掷的前6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（2026·江苏泰州·三模）抛一枚均匀的硬币8次，其中有3次正面朝上，那么第9次抛硬币时正面朝上的概率是______． ▌知识点03：两次试验下列表法与树状图的综合应用 两次试验用列表或树状图枚举全部等可能结果再计数。 例如：两骰子、两次摸球。 注意：区分放回（总数相乘）与不放回（递减），确保每末枝等可能后再套公式。 9．（2026·江苏南京·三模）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 10．（2026·江苏南通·三模）南通市第六批市级非物质文化遗产，包括很多类别，其中传统美术类中有四个项目：A．南通绳结；B．南通虎头鞋；C．绢本造像；D．海门刻瓷．小林和小红两位同学想从这四个项目中随机选择一个进行学习和研究． (1)小红选择“C．绢本造像”的概率是________； (2)用画树状图或列表等方法，求小林和小红选择不同项目的概率． 11．（2026·江苏扬州·三模）在一个不透明的盒子里装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字，0，1，2，这些卡片除数字外都一样，将卡片搅匀． (1)从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是_； (2)先从盒子中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的纵坐标，利用画树状图或列表的方法，求点A落在第二象限的概率． 12．（2026·江苏宿迁·二模）“记录永恒经典，传承非遗文化”，学校组织同学拍摄了4部宿迁市国家级非遗传承视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为“A，泗州戏（传统戏剧）”“B．洪泽湖渔鼓（传统音乐）”“C．苏北大鼓（传统曲艺）”“D．洋河酒酿造技艺（传统技艺）”，为保证视频质量，邀请专业团队从4部作品中随机选择一部试看后，再从剩下的3部中随机选择一部试看，（选择每部视频的可能性相同） (1)专业团队第一次选中“C．苏北大鼓（传统曲艺）”试看的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图法，求专业团队选择“A．泗州戏（传统戏剧）”和“D．洋河酒酿造技艺（传统技艺）”两个视频试看的概率． ▌知识点04：抽签公平性与等可能性的综合应用 结合等可能性说明抽签公平：各顺序中签概率相等。 例如：n人抽1中，每人均1÷n。 注意：用条件概率乘积验证后抽者，前提是不放回且签均匀，规则改变须重算。 13．（2026·江苏盐城·二模）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在3个物理实验考查内容（用A、B、C表示）和3个化学实验考查内容（用D、E、F表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小明从中各随机抽取一个． (1)小明抽到物理实验A的概率是_______； (2)用列表或画树状图的方法，求小明抽到物理实验A和化学实验E的概率． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下： (1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________； (2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率． 15．（2026·江苏泰州·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是_； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 16．（2026·江苏无锡·二模）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． (3)现有甲、乙、丙三位学生被邀请参加“课外阅读分享”沙龙活动，他们将通过抽签来决定出场顺序． ①甲第一个出场的概率为_； ②求甲比乙先出场的概率．（用画树状图或列表的方法） ▌知识点05：频率估计概率与统计推断的综合应用 大样本下用频率估计概率，并据以推断总体。 例如：抽样估次品率。 注意：频率稳定于概率需大量重复；样本随机具代表性，估计带不确定性，勿当精确值。 17．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏泰州·二模）小明通过大量的点球射门练习，用频率估计他射中的概率为0.8，则他平均练习100次能射进球门约为__________次． 19．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898 优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 ______ (1)填写完成表格中的空格； (2)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个球中一定会有一个次等品，你同意小明的说法吗？为什么？ 20．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_____名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． ▌知识点06：概率在实际问题中的综合运用与辨析 实际问题常综合等可能判断、公式、树状图、频率估计。 例如：先判模型再用对应方法求概率。 注意：先明确试验结构与等可能前提，再选工具；结果均满足0≤P≤1，可作合理性检验。 21．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 22．（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 23．（2026·江苏泰州·二模）泰州高港区某社区举办了“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成4个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有120位居民参与游戏，其中实际有36人获得奖品．请你判断这个结果是否与理论概率相符，并结合概率知识简要分析可能的原因． 24．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近_（结果精确到0.1）； (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在_附近（结果用分数表示）； (3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 2．（2026·江苏徐州·中考真题）下列事件为必然事件的是（     ） A．经过有交通信号灯的十字路口时，遇到红灯 B．在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球 C．抛掷一枚硬币三次，全都正面朝上 D．画一个三角形，其内角和是 3．（2026·江苏南通·模拟预测）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）如图，有四根外形完全相同的导线穿过一个不透明的盒子，仅两端露在盒子外面．现将同一端的四根导线随机分为两组，并把同一组的两根导线末端连在一起，则导线能形成一个闭环线路（即四根导线依次首尾相连）的概率是（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0．25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（   ） A．30 B．25 C．20 D．15 二、填空题 9．（2026·江苏镇江·一模）现从正方形的四个顶点中随机选取两个不同的点，则这两点之间的距离等于正方形边长的概率为___________． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上，记乙与甲不相邻而坐的概率为、丙与丁相邻而坐的概率为，则_____．（填“>”“<”或“=”） 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为________ 12．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 13．（2025·安徽·中考真题）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）“知之为知之，不知为不知．”这句话的汉字中，“知”字出现的频率为_________． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有______个． 16．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）数学课上，李老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个“喜洋洋”（A型）公仔和4个“乐融融”（B型）公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映频率最有可能是__________型公仔．（填“A”或“B”） 三、解答题 17．（2026·江苏南京·三模）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同．小明先从袋中随机摸出1个球后，小红再从袋中随机摸出1个球． (1)小明摸到的球是红球的概率为__________； (2)求小红摸到的球是红球的概率． 18．（2026·江苏盐城·三模）2026年春节档某影院热映四部影片：A《飞驰人生3》、B《镖人：风起大漠》、C《惊蛰无声》、D《熊出没•年年有熊》．为了解七年级学生对这四部电影的喜爱情况，学校随机抽取部分七年级学生开展问卷调查（每人限选一项）．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．      请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次一共抽查了_名学生，A类所对应圆心角的度数为_°； (2)将条形统计图补充完整，标注D类对应的人数； (3)若七年级学生苗苗从中随机选择两部观看，求她所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的概率． 19．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣． 根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有_____人，_____，_____； (2)图2所示的扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； (3)请补全图1所示的条形统计图； (4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第五章 等可能条件下的概率 全章综合训练 ▌课时目标 1. 理解等可能性判断、概率定义、列表树状图与频率估计的综合体系。 2. 掌握一次与两次试验概率计算及抽签公平性、统计推断的综合应用。 3. 能综合运用概率知识解决实际问题，并对结果做合理辨析与检验。 ▌课时目录 知识点01：等可能性判断与概率定义的综合辨析 知识点02：一次试验下概率公式P＝m÷n的综合应用 知识点03：两次试验下列表法与树状图的综合应用 知识点04：抽签公平性与等可能性的综合应用 知识点05：频率估计概率与统计推断的综合应用 知识点06：概率在实际问题中的综合运用与辨析 ▌知识点01：等可能性判断与概率定义的综合辨析 先用等可能性判断前提是否成立，再据P(A)＝计算。 例如：均匀骰子可用定义，偏骰子不能。 注意：等可能是公式前提；结果须有限且机会均等，否则改用频率估计等方法。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 【答案】 等于 【分析】本题考查可能性的大小，分别计算从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性和摸出白球的可能性，比较二者大小即可得到答案． 【详解】解：袋子中球的总个数为 ， 从中任意摸出1个球， 摸出红球的可能性大小为 ，摸出白球的可能性大小为 ， 因此摸出红球的可能性等于摸出白球的可能性． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 【答案】③①② 【分析】先判断三个事件的类型，分别得到各事件发生的概率，再比较概率大小进行排序. 【详解】根据事件的分类，对三个事件逐一判断： ③“危楼高百尺，手可摘星辰”是不可能事件，不可能事件发生的概率为，即； ①“天有不测风云，人有旦夕祸福”是随机事件，随机事件发生的概率满足； ②“野火烧不尽，春风吹又生”是必然事件，必然事件发生的概率为，即； 比较概率大小可得 ，因此按发生的概率从小到大的顺序排列为③①②. 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中装有除颜色外都相同的5个红球、2个白球、1个黑球，从中随机摸出一个球，则摸出__________球的概率最大．（填“红”、“白”、“黑”） 【答案】红 【分析】根据概率计算公式，分别计算出摸出三种颜色球的概率，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：袋子中球的总个数为， 则摸出红球的概率为， 摸出白球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵， 摸出红球的概率最大． ▌知识点02：一次试验下概率公式P＝m/n的综合应用 一次试验直接数n与m求概率。 例如：袋中摸一球求色概率。 注意：保证基本结果等可能；m、n基于同一划分，计数完整不重不漏，结果在0~1之间。 5．（2026·江苏徐州·三模）围棋起源于我国，棋子黑白两色．一个不透明盒子中，装有个白色棋子和个黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，则它是白色棋子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据概率公式求解，随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能结果的总数，即可得到答案． 【详解】解：∵盒子中共有3个白色棋子，2个黑色棋子，所有棋子除颜色外都相同，摸出每个棋子的可能性相等， ∴所有等可能的结果总数为. ∵摸出白色棋子的结果共有3种， ∴摸出白色棋子的概率． 6．（2026·江苏苏州·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，其中阴影区域三角形的顶点分别是正六边形的三条边的中点．若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正六边形均分为小等边三角形，据此确定总的个数与大正三角形的个数，得到概率 【详解】解：如图，三角形内部的小三角形为9个，正六边形内部小三角形为24个， 故飞镖落在阴影区域的概率为 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）小明抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若抛掷的前6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上概率等于， 前6次的结果都是正面朝上，不影响下一次抛掷正面朝上概率， 则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为 8．（2026·江苏泰州·三模）抛一枚均匀的硬币8次，其中有3次正面朝上，那么第9次抛硬币时正面朝上的概率是______． 【答案】/0.5 【分析】抛均匀硬币是独立随机事件，每次抛硬币的结果互不影响，均匀硬币抛出正面朝上和反面朝上是等可能事件，据此可求解概率． 【详解】解：∵硬币为均匀硬币，每次抛硬币的结果相互独立，前8次的抛掷结果不影响第9次的结果，抛均匀硬币共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果有1种， ∴第9次抛硬币正面朝上的概率为． ▌知识点03：两次试验下列表法与树状图的综合应用 两次试验用列表或树状图枚举全部等可能结果再计数。 例如：两骰子、两次摸球。 注意：区分放回（总数相乘）与不放回（递减），确保每末枝等可能后再套公式。 9．（2026·江苏南京·三模）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为，若一个袋子中装有红球个，白球个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为． (1)求的值； (2)比较出与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】首先确定两次摸球是独立重复试验，用有放回摸球的概率计算规则，每次摸球的概率保持不变，计算时，先明确单次摸红球、白球的概率，因为两次颜色不同包含“先红后白”和“先白后红”两类事件，所以将两类事件的概率相加即可得到；计算时，先求出单次摸红球、白球的概率，同理将两类颜色不同的事件概率相加得到，再比较和的大小． 【详解】（1）解：根据题意，第一次摸球后放回，再摸第二次，所有等可能的结果共种：(红，红)、(红，白)、(白，红)、(白，白)， 其中两次摸球颜色不同的结果有种：(红，白)、(白，红)， ∴ ； （2）解：袋子总共有个球， 摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 两次颜色不同共有两种情况：（第一次红、第二次白）和（第一次白、第二次红）， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·江苏南通·三模）南通市第六批市级非物质文化遗产，包括很多类别，其中传统美术类中有四个项目：A．南通绳结；B．南通虎头鞋；C．绢本造像；D．海门刻瓷．小林和小红两位同学想从这四个项目中随机选择一个进行学习和研究． (1)小红选择“C．绢本造像”的概率是________； (2)用画树状图或列表等方法，求小林和小红选择不同项目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：总共有个等可能的选择，选择“C．绢本造像”的结果只有种， 小红选择“C．绢本造像”的概率是； （2）解：画树状图如图所示， 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中小林和小红选择不同项目的结果数有种， 小林和小红选择不同项目的概率是． 11．（2026·江苏扬州·三模）在一个不透明的盒子里装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字，0，1，2，这些卡片除数字外都一样，将卡片搅匀． (1)从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是_； (2)先从盒子中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的纵坐标，利用画树状图或列表的方法，求点A落在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，共有4张卡片，数字0只有1张，直接利用概率公式计算； （2）先由树状图列出所有可能的坐标，再找出第二象限的点，计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意可得，总卡片数为 ，数字为0的卡片有 张， 从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是． （2）解：由题意，画出树状图如下： 共12种等可能的结果，其中点A在第二象限的结果有：共2种 ∴点A落在第二象限的概率为． 12．（2026·江苏宿迁·二模）“记录永恒经典，传承非遗文化”，学校组织同学拍摄了4部宿迁市国家级非遗传承视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为“A，泗州戏（传统戏剧）”“B．洪泽湖渔鼓（传统音乐）”“C．苏北大鼓（传统曲艺）”“D．洋河酒酿造技艺（传统技艺）”，为保证视频质量，邀请专业团队从4部作品中随机选择一部试看后，再从剩下的3部中随机选择一部试看，（选择每部视频的可能性相同） (1)专业团队第一次选中“C．苏北大鼓（传统曲艺）”试看的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图法，求专业团队选择“A．泗州戏（传统戏剧）”和“D．洋河酒酿造技艺（传统技艺）”两个视频试看的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定所有等可能结果数和所求事件的结果数，代入概率公式计算即可 （2）先通过树状图法列出所有等可能的结果，再找出选中A和D两个视频的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】（1）解：第一次选视频时，共有种等可能的结果，其中选中“C．苏北大鼓”的结果有种， 根据概率公式可得：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可得，所有等可能的结果共种，其中选中A和D两个视频的结果有种，因此所求概率为． ▌知识点04：抽签公平性与等可能性的综合应用 结合等可能性说明抽签公平：各顺序中签概率相等。 例如：n人抽1中，每人均1÷n。 注意：用条件概率乘积验证后抽者，前提是不放回且签均匀，规则改变须重算。 13．（2026·江苏盐城·二模）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在3个物理实验考查内容（用A、B、C表示）和3个化学实验考查内容（用D、E、F表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小明从中各随机抽取一个． (1)小明抽到物理实验A的概率是_______； (2)用列表或画树状图的方法，求小明抽到物理实验A和化学实验E的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出抽到物理实验A和化学实验E的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：∵有3个物理实验A，B，C， ∴小明抽到物理实验A的概率是； （2）解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中小明抽到物理实验A和化学实验E的情况只有1种， 所以小明抽到物理实验A和化学实验E的概率为． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下： (1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________； (2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图，找出所有等可能的结果数，和满足要求的结果数，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从4张卡片中随机抽取一张，共有4种等可能情况，其中抽到《2026十大技术趋势》的情况只有1种，故概率为． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽到A《人工智能：现代方法》和D《算力基础设施白皮书》的结果有2种， 所以抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率为． 15．（2026·江苏泰州·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是_； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是． 16．（2026·江苏无锡·二模）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． (3)现有甲、乙、丙三位学生被邀请参加“课外阅读分享”沙龙活动，他们将通过抽签来决定出场顺序． ①甲第一个出场的概率为_； ②求甲比乙先出场的概率．（用画树状图或列表的方法） 【答案】(1)见解析 (2)名． (3)①；② 【分析】（1）先根据组求出总人数，即可得到的值，求出组所占百分比即可得到圆心角的度数； （2）根据题意得到每周的课外阅读时间不小于6小时的人数为，用样本估计总体即可． （3）①根据概率公式进行解答即可；②画出树状图，找到符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数：（人）， ∴D组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：（名）， 答：该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时有名． （3）解：①甲第一个出场的概率为； ②画出树状图如下： 共有6种等可能的情况数，其中甲比乙先出场的情况有3种，故甲比乙先出场的概率为． ▌知识点05：频率估计概率与统计推断的综合应用 大样本下用频率估计概率，并据以推断总体。 例如：抽样估次品率。 注意：频率稳定于概率需大量重复；样本随机具代表性，估计带不确定性，勿当精确值。 17．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 18．（2026·江苏泰州·二模）小明通过大量的点球射门练习，用频率估计他射中的概率为0.8，则他平均练习100次能射进球门约为__________次． 【答案】80 【分析】本题考查用频率估计概率的应用，解题思路为利用总练习次数乘射中的概率，即可得到射中次数的估计值． 【详解】根据题意，总练习次数为次，射中的概率估计值为，则射中次数约为． 19．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898 优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 ______ (1)填写完成表格中的空格； (2)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个球中一定会有一个次等品，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不同意小明的说法，理由：概率是大量重复试验下的频率稳定值，只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为、是次品的概率约为，买20个是随机事件，有可能全部都是优等品，不一定会出现次品． 【分析】（1）根据优等品的频率计算即可； （2）根据表中优等品的频率判定即可； （3）根据频率的定义即可判断； 【详解】（1）解：； （2）解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是； （3）略 20．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_____名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】(1) (2)补全条形统计图如图所示： (3) (4)名 【分析】（1）利用喜欢娱乐的人数除以所占比例即可得出一共调查的学生的人数； （2）先求出喜欢阅读的人数，即可补全条形统计图，利用乘以喜欢阅读的人数所占的比例即可得出结果； （3）用喜欢阅读的人数除以总人数即可得出结果； （4）用乘以爱好运动的学生人数所占的比例即可得出结果． 【详解】（1）解：在这次研究中，一共调查了名学生； （2）解：喜欢阅读的人数为（名）， 图略； 阅读部分圆心角是； （3）解：由题意可得，选出的恰好是爱好阅读的学生概率是； （4）解：（名）， 故估计全校爱好运动的学生人数为名． ▌知识点06：概率在实际问题中的综合运用与辨析 实际问题常综合等可能判断、公式、树状图、频率估计。 例如：先判模型再用对应方法求概率。 注意：先明确试验结构与等可能前提，再选工具；结果均满足0≤P≤1，可作合理性检验。 21．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在， 则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 22．（2026·江苏连云港·一模）在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4只（大小、形状相同）．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 1500 摸到白球的次数 73 115 152 370 602 751 1126 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到），随机摸出一个球，摸到白球的概率是__________；试估算，口袋中白球的个数为__________． (2)用（1）的结论，如果从口袋中任意摸出一个球不放回，然后再从口袋中任意摸出一个球．请用树状图或列表的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，找出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近， 则随机摸出一个球，摸到白球的概率是， 由于口袋里总共有4只球， 则口袋中白球的个数为； （2）解：画树状图得： 则共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有6种情况 因此，两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 23．（2026·江苏泰州·二模）泰州高港区某社区举办了“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成4个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有120位居民参与游戏，其中实际有36人获得奖品．请你判断这个结果是否与理论概率相符，并结合概率知识简要分析可能的原因． 【答案】(1) (2)不相符，见解析 【详解】（1）列表： 第一次 可回收物 有害垃圾 厨余垃圾 其他垃圾 可回收物 同 不同 不同 不同 有害垃圾 不同 同 不同 不同 厨余垃圾 不同 不同 同 不同 其他垃圾 不同 不同 不同 同 共16种等可能结果，相同4种，． （2）理论获奖：（人），，不相符；原因：理论概率是在大量重复试验中得到的频率稳定值，120次试验次数相对较少，其结果具有偶然性等． 24．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近_（结果精确到0.1）； (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在_附近（结果用分数表示）； (3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为平方米． 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近； （2）解：观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； （3）解：设封闭图形的面积为， 根据题意得， 解得， 则（平方米） 答：阴影部分的面积为平方米． ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：①经过十字路口时，信号灯颜色不确定，正好是绿灯可能发生也可能不发生，是随机事件； ②到达公交车站时，公交车是否驶来不确定，正在驶来可能发生也可能不发生，是随机事件； 故①②都是随机事件 ． 2．（2026·江苏徐州·中考真题）下列事件为必然事件的是（     ） A．经过有交通信号灯的十字路口时，遇到红灯 B．在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球 C．抛掷一枚硬币三次，全都正面朝上 D．画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】可利用三角形内角和为的确定结论，直接判断对应选项为必然事件． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的十字路口时遇到红灯，是随机事件； B、在全是红球的袋中任意摸出一球是白球，是不可能事件； C、抛掷一枚硬币三次全都正面朝上，是随机事件； D、任意三角形的内角和是，是必然事件． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；根据题意画出树状图，可得共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种，然后利用概率公式得出答案． 【详解】解：由题意知：阿嘉盖住的牌中的数字为2，4，5， 小杨盖住的牌中的数字为1，3，4， 画树状图如图： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种， 所以阿嘉比小杨大的机率为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）如图，有四根外形完全相同的导线穿过一个不透明的盒子，仅两端露在盒子外面．现将同一端的四根导线随机分为两组，并把同一组的两根导线末端连在一起，则导线能形成一个闭环线路（即四根导线依次首尾相连）的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率． 设四根导线两端分别为A、a，B、b，C、c，D、d，由题意可知选取其中两根组成一组后，另外两根必成一组，画出树状图，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：设四根导线两端分别为A、a，B、b，C、c，D、d， ∵将同一端的四根导线随机分为两组， ∴选取其中两根组成一组后，另外两根必成一组， 画树状图如下： 可知共36种情况，其中12种情况使得导线能形成一个闭环线路， 即导线能形成一个闭环线路（即四根导线依次首尾相连）的概率是． 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【详解】解：小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右， 从这20个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为， 袋子里红球的个数估计是个 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，它们除颜色外无其他差别，某数学兴趣小组经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在0．25左右，袋中红球的个数约为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了已知频率求数量，根据一只不透明的袋子中装有60个红球和白球，摸到红球的频率稳定在0.25左右，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，（个）， ∴袋中红球的个数约为15， 故选：D 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（   ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用摸到红球的频率乘以100即可得出红球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，口袋中有个除颜色外完全相同的小球， ∴袋中红球的个数为（个）． 故选：A． 二、填空题 9．（2026·江苏镇江·一模）现从正方形的四个顶点中随机选取两个不同的点，则这两点之间的距离等于正方形边长的概率为___________． 【答案】 【分析】从正方形的四个顶点中随机选取两个不同的点，共种情况，再找出这两点之间的距离等于正方形边长的情况，最后再由概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：从正方形的四个顶点中随机选取两个不同的点，有、、、、、，共种情况， 其中这两点之间的距离等于正方形边长的情况有、、、，共种， ∴这两点之间的距离等于正方形边长的概率为． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上，记乙与甲不相邻而坐的概率为、丙与丁相邻而坐的概率为，则_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据题意列出所有可能出现的情况，找出乙与甲不相邻而坐和丙与丁相邻而坐的情况数，接下来利用概率公式求解即可． 【详解】解：由于甲的位置已经确定，乙、丙、丁有以下几种情况：      乙与甲不相邻而坐有2种情况，概率为， 丙与丁相邻而坐有4种情况，概率为， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为________ 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．正确列表或画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点在第一象限的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中点在第一象限有4种结果． 所点在第一象限内的概率为． 故答案为：． 12．（2025·浙江·中考真题）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 13．（2025·安徽·中考真题）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）“知之为知之，不知为不知．”这句话的汉字中，“知”字出现的频率为_________． 【答案】 【分析】先确定“知”字出现的频数，再确定这句话中汉字的总个数，根据频率等于频数除以总数计算即可． 【详解】解：由题意，这句话中共有个汉字，“知”字出现的频数为， 故“知”字出现的频率为． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的口袋中装有3个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有______个． 【答案】 12 【分析】根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，设出黑球个数，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为 个．根据题意得： ， 解得：． 经检验，符合题意. 16．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）数学课上，李老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个“喜洋洋”（A型）公仔和4个“乐融融”（B型）公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映频率最有可能是__________型公仔．（填“A”或“B”） 【答案】A 【分析】先根据题意求出取出A型公仔的概率和取出B型公仔的概率，再跟折线图进行比较即可． 【详解】解：由题意得，箱子中共有公仔：（个）， ∴取出A型公仔的概率：； 取出B型公仔的概率：， 由折线图可得，随着试验次数的增加，频率稳定在之间． ∴该折线图反映的是A型公仔出现的频率． 三、解答题 17．（2026·江苏南京·三模）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同．小明先从袋中随机摸出1个球后，小红再从袋中随机摸出1个球． (1)小明摸到的球是红球的概率为__________； (2)求小红摸到的球是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式进行求解即可； （2）根据列举法进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：小明摸到的球是红球的概率为； （2）解：由题意可知：所有可能的结果有：（红，白1）、（红，白2）、（白1，红）、（白1，白2）、（白2，红）、（白2，白1）共6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“小红摸到的球是红球”的结果有2种， 所以． 18．（2026·江苏盐城·三模）2026年春节档某影院热映四部影片：A《飞驰人生3》、B《镖人：风起大漠》、C《惊蛰无声》、D《熊出没•年年有熊》．为了解七年级学生对这四部电影的喜爱情况，学校随机抽取部分七年级学生开展问卷调查（每人限选一项）．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．      请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次一共抽查了_名学生，A类所对应圆心角的度数为_°； (2)将条形统计图补充完整，标注D类对应的人数； (3)若七年级学生苗苗从中随机选择两部观看，求她所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的概率． 【答案】(1)100； (2)补全条形统计图，如图所示： (3) 【分析】（1）根据B类学生的人数和所占的百分比求出总的调查人数即可；用乘以A类学生所占的份数即可求出A类所对应圆心角的度数； （2）求出D类对应的人数为（人），再补全条形统计图即可； （3）先画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：本次一共抽查的学生人数为：（人）； A类所对应圆心角的度数为：； （2）略 （3）解：画树状图，如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的有6种情况， ∴所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的概率为． 19．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2) 解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）略 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣． 根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有_____人，_____，_____； (2)图2所示的扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； (3)请补全图1所示的条形统计图； (4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 【答案】(1) (2) (3) 补全的条形统计图如下： (4)游戏公平， 理由如下： 画出树状图如下： 小丽去的概率为：，小明去的概率为：， 由于两人去的概率相等，则游戏公平． 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、统计表，求扇形统计图中扇形的圆心角，判断游戏的公平性，树状图法或列表法求概率等知识． （1）根据A的占比及人数，可求得抽取的总人数；根据B的人数及抽取的总人数，可求得m；由总人数减去A、B、C的人数，可求得D的人数，从而可求得n； （2）部分的占比与圆周角的积即可求出； （3）根据（1）中求得D的人数，即可补充条形统计图； （4）画出树状图，计算出小明去与小丽去的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（人）； ； （人），； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）略 （4）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $