专题19 等可能条件下的概率的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型分层-压轴突破”构建概率专项训练体系，通过核心方法提炼与易错点警示，培养抽象能力、推理意识与数据观念，实现从概念理解到综合应用的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|6大模块|等可能特征判定、古典概型公式、列表/树状图选择策略、频率估计概率条件、游戏公平性判定方法|从概率基础概念（等可能性）到计算方法（公式法/列举法/几何法），再到实际应用（游戏/比赛/方程结合），形成“概念-方法-应用”递进链条| |题型归纳|9题型（每题型含典例+3变式）|等可能性判断技巧、结果计数防重漏方法、几何概率面积比转化、综合问题建模策略|按“基础概念-单一方法-综合应用”分层，典例覆盖核心考法（如放回与不放回、有序与无序），变式强化易错点（如频率与概率混淆）| |压轴挑战|15道综合题|多因素概率计算、跨知识融合（概率与几何/方程）、复杂情境建模|聚焦中考高频难点，通过真实情境（抽奖/比赛）与跨学科问题，提升数据观念与应用意识|

专题19 等可能条件下的概率 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等可能性 题型二、根据概率公式计算概率 题型三、已知概率求数量 题型四、直接列举法求概率 题型五、几何概率 题型六、列表法或树状图法求概率 题型七、游戏公平性 题型八、概率中的比赛与抽奖问题 题型九、概率中的一元二次方程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 模块分类 核心知识点 常见易错点 概率基础概念 1. 等可能试验的两个核心特征：所有可能出现的结果总数有限，每个结果出现的机会完全均等； 2. 概率是对事件发生可能性大小的数值量化，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率取值在0到1之间 误将结果不对等的事件判定为等可能事件，例如错误认为抛两枚硬币时“两个正面、一正一反、两个反面”三类结果出现的机会均等 古典概型直接计算 等可能条件下事件A的概率计算规则：事件A包含的符合要求的结果数量，除以所有等可能出现的总结果数量 统计结果时出现漏数、重复计数问题，例如摸球场景下混淆同色不同编号球的属性，导致分子或分母数值统计错误 列表法求概率 当一次试验涉及2个并列的影响因素、总结果数较少时，通过二维表格枚举全部等可能结果，再代入概率计算规则得到结果 遇到不放回类试验场景时，误将两次取出完全相同元素的不可能情况计入总结果，例如不放回抽卡片时仍保留两次抽到同一张卡片的无效条目 树状图法求概率 当一次试验涉及3个及以上影响因素、试验步骤较多时，通过分层树状结构逐一枚举所有等可能结果，再计算目标事件的概率 绘制树状图时混淆“有序”和“无序”的计数逻辑，例如不计顺序的摸球场景下，错误将（红1，红2）和（红2，红1）判定为两个独立的有效结果 用频率估计概率 当试验结果总数无限、或各结果出现可能性不对等时，通过大量重复试验，用事件发生的频率的长期稳定值，作为该事件发生概率的估计值 忽略“大量重复试验”的前提，直接把少数几次试验得到的频率值等同于事件的真实概率，例如仅做10次抛硬币试验得到6次正面，就认定正面朝上概率为0.6 概率实际应用（游戏公平性判定） 对比游戏双方获胜对应事件的概率大小，若双方获胜的概率相等则游戏规则公平，概率不等则规则不公平，可通过调整得分规则、增减试验元素的方式修正为公平规则 判定公平性时仅对比事件发生的绝对次数多少，不计算对应概率，修改规则时未保障双方对应的等可能结果数一致，导致修正后的规则依旧不公平 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等可能性 典例1 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 变式1-1下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 变式1-2小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 变式1-3有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 【答案】 或 相等 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小,根据事件发生的可能性进行分析即可,熟练掌握判断事件发生的可能性的大小是解题的关键． 【详解】解：（）每次翻开的数字有种可能；   （）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有种可能，可能是或； （）翻开的数字卡片大于和小于的可能性相等； 故答案为：，，或，相等． 类型二、根据概率公式计算概率 典例2 抛掷一枚质地均匀的硬币，若前10次都是正面朝上，则第11次正面朝上的概率（     ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】排除前10次抛掷结果的干扰，明确各次抛掷硬币的结果互不影响． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，且各次抛掷的结果互不影响， ∴前10次的抛掷结果不改变第11次正面朝上的概率， ∴第11次正面朝上的概率为． 变式2-1某品牌行李箱的齿轮密码由三个数字组成，均是中的数字，开箱时发现忘记了密码的中间数字，则一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仅中间位数字未知，只需考虑该位数字的等可能结果数． 【详解】解：中间位数字可取共10种等可能结果，一次成功打开的结果只有1种，故概率为． 变式2-2甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和概率计算公式求解即可． 【详解】解：随机抽取两张，等可能的结果有（美，丽），（美，山），（美，河），（丽，山），（丽，河），（山，河）， 共有种等可能的结果，其中，（丽，山）只有种， 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是． 变式2-3学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 【答案】 【分析】先列举一次性抽取两枚纪念币所有等可能的结果， 再找出数字之和为的结果个数， 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，一次性抽取两枚纪念币，所有可能的结果为：，，，共种， 其中两枚纪念币数字之和为的结果只有种，根据概率公式可得． 题型三、已知概率求数量 典例3 在一个不透明的袋中装有50个红、黄两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中红球可能有（     ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】D 【分析】利用频率估计概率，结合总球数计算红球数量． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右， ∴黄球的个数为， ∴袋中红球的个数为个． 变式3-1在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设需要向袋子里添加个红球，则红球个数为个，球的总数为个，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 变式3-2一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【分析】先根据红球个数和摸出红球的概率求出原有总球数，再计算出白球个数，根据摸出两种球概率相等得出红球个数需等于白球个数，结合白球个数不变，即可求出需要放入红球的个数． 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得 ，解得 ， 原有白球个数为 （个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为 （个）． 变式3-3一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 题型四、直接列举法求概率 典例4 一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【详解】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 变式4-1某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 变式4-2年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 【答案】 【分析】总共有6种等可能的抽取结果，抽中“玩转魔方”只有1种符合条件的结果，直接用概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有6个不同的数学活动，每个活动被抽取的可能性相等，抽中“玩转魔方”的结果只有种， ∴抽中“玩转魔方”的概率为． 变式4-3从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与这个两位数能被整除的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意画树状图得： 由图可知，共有种等可能的结果，这个两位数能被整除的有种情况， ∴这个两位数能被整除的概率是：． 题型五、几何概率 典例5 如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 变式5-1将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 变式5-2七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 变式5-3如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 题型六、列表法或树状图法求概率 典例6 嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照（每人选一个），现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如表所示． 牌照末尾数字 5 6 7 数量（个） 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定总等可能结果数与末尾数字为的结果数，代入概率公式计算； （2）通过画树状图法列出两人选牌照的所有等可能结果，统计末尾数字差的结果数，计算对应概率． 【详解】（1）解：∵共有个牌照，每个牌照被选中的可能性相等，末尾数字是的牌照有个， ∴嘉嘉选取牌照编号末尾数字是的概率为； （2）解：画树状图如下： 共种等可能的结果，其中末尾数字正好差的结果种， ∴ 她俩选取牌照编号末尾数字正好差的概率为． 变式6-1小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则公平 理由如下：画树状图如下 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个， （小明胜），P（小亮胜）， ∴小明胜的概率=小亮胜的概率， ∴这个游戏规则公平． 【分析】（1）根据卡片上标有数字为负数的个数和概率公式进行解答即可； （2）画出树状图并利用概率公式分别求出小明胜和小亮胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为． （2）略 变式6-2数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用概率公式，符合条件数量除以总数量； （2）画树状图列举全部等可能结果，统计含华罗庚图案的结果数，求出概率． 【详解】（1）解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． （2）解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下：           共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 变式6-3北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)，补全条形统计图如图所示： (2)， (3)分 (4) 【分析】（1）利用组的作品数量除以所占的比例即可得出本次抽取的作品数量，求出组的作品数量，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （3）根据平均数的定义计算即可得出结果； （4）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取的作品数量为份， 组的作品数量为：（份）， 图略； （2）解：将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是分，因此成绩的中位数是分， 由统计图可得，得分的人数最多，故此次被抽取的参赛作品的众数为分； （3）解：（分）； （4）解：列表得： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 共有20种等可能出现的结果，其中抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的情况有种， 故抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 题型七、游戏公平性 典例7 一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）略 变式7-1五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【答案】(1) 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，， (2)解：游戏对甲乙两位同学公平，理由如下： ∵组成的两位数是的倍数的结果有，，共种， ∴甲同学去的概率为 ， ∵组成的两位数是7的倍数的结果有，，共种， ∴乙同学去的概率为 ， ∵甲同学去的概率和乙同学去的概率相等， ∴这个游戏对甲乙两位同学公平． 【分析】（1）运用列表法列出所有情况即可． （2）分别计算甲乙同学去的概率，再进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，运用列表法可得       个位数 十位数                　 　 　 　 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，． 变式7-2在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【答案】(1) (2) (3)不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 【详解】（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12； （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平． 变式7-3如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求出指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）列表把所有可能出现的情况表示出来，可知所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以游戏不公平． 【详解】（1）解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； （2）略 题型八、概率中的比赛与抽奖问题 典例8 为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 变式8-1放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 变式8-2小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3) 不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）略． 变式8-3贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 题型九、概率中的一元二次方程问题 典例9 为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 (2)从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，公式法解一元二次方程； （1）卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片，根据概率公式计算即可； （2）画树状图，表示出所有等可能的结果数，再结合概率公式即可得出答案． 【详解】（1）卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片， ∴随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是； （2）由题意可得， 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的情况有6种， ∴抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为． 变式9-1如图，一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成三个面积相等的扇形，每个扇形分别标有数字，1，2．转动转盘两次，待转盘自动停止后，指针指向扇形内的数字分别作为关于x的一元二次方程中的a，c的值（若指针指向两个扇形的交线，则不计该次转动，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）﹒其中第一次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为a，第二次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为c． (1)若转盘第一次转动后a的值为1，则转盘第二次转动后c的值为正数的概率是_____． (2)转盘转动两次后，请用列表或画树状图的方法求出关于x的一元二次方程有两个不同实数根的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率： （1）利用概率公式直接求解即可； （2）先用树状图的方法得到所有的等可能的结果数有9种，满足的情况有4种，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）转盘被分成三个大小相同的扇形，分别标有，1，2； 所以值为正数的概率是：； 故答案为：； （2）∵一元二次方程有两个不同实数根， ∴，即， 画树状图如下： 的值依次为：，，，，，，，，， 则满足的情况有4种， ∴关于x的一元二次方程有两个不同实数根的概率为． 变式9-2若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0，且a﹣b+3＝0，该方程有一个根为1． （1）求a的值及另一个根； （2）若把该一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项做成卡片，不放回地随意摸出两张卡片，求两张卡片的数字一样的概率． 【答案】（1），另一个根为；（2）两张卡片的图案一样的概率是． 【分析】（1）原方程化成ax2+(a+3)x+1=0，把x=1代入计算即可求得a的值，再利用根与系数的关系可求得另一个根； （2）得到二次项系数为2，一次项系数-1，常数项-1，利用枚举法即可求解． 【详解】解：（1）∵a﹣b+3=0，即b=a+3， ∴原方程为ax2+(a+3)x+1=0， ∵该方程有一个根为1， ∴a+(a+3) +1=0， 解得：， ∴方程为-2x2+x+1=0，即2x2-x-1=0， 设方程的另一个根为x1， ∴x1=； 答：，另一个根为； （2）∵方程为2x2-x-1=0， ∴二次项系数为2，一次项系数-1，常数项-1， 把2，-1，-1做成卡片，不放回地随意摸出两张卡片，有(2，-1)，(2，-1)，(-1，-1)三种可能出现的结果，图案相同的情况有1种， 故两张卡片的图案一样的概率是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，利用枚举法求概率，求概率的时候，应注意题中所说的随机抽取两张意思是抽取一张不放回再抽取一张，与抽取一张放回再抽一张不一样． 变式9-3某校八年级的一次提升训练中，出现了如下一道解方程：．为了解该校八年级学生解一元二次方程的具体情况，从该校八（1）班调查了全班学生的解题情况，发现学生们的方法并不相同，结果绘制成下列不完整的频数分布表，请解答下列问题． 解题方法 不会解 配方法 公式法 因式分解法 频数 频率 （1）频数分布表中 ， ； （2）若该校八年级每个班级的解题情况大致相同，且八年级共有名学生，则全体八年级学生在解这道一元二次方程时使用公式法的人数的为 人； （3）若在八（1）班不会解的人中，男生人数有人，女生也有人，数学老师为了更好的了解不会解的原因，但由于时间紧张现只能从这人中选人进行交谈了解，请用树状图或列表法求所选学生为男女的概率． 【答案】（1），；（2）；（3）树状图见解析， 【分析】（1）由频数分布表，首先求出八（1）班总人数，进而可求出和的值； （2）用样本估计总体的思想解决问题即可求得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，再找出一男一女的情况数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）由不会解得频数是，频率是， 可得该校八（1）班共有学生：（人）， ，， ，； （2）由题意得：八年级共有名学生，使用公式法的学生频率为， 故八年级使用公式法的人数为：（人）； （3）由树状图可知：共种等可能情况，其中一男一女有种， 故所选学生为一男一女的概率为：． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率以及样本估计总体的概率问题，掌握概率的意义以及灵活运用树状图是解答本题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果只有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 2．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】观察折线图得到稳定频率约，分别算出每种球的概率，对比找到出现概率接近的球． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， ∵四种颜色的球出现的概率分别为： 白球：， 红球：， 黄球：， 黑球：， ∴该种球的颜色最有可能是黄球． 3．每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，，列表得到所有的等可能的结果数，找出均为O型血的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，， 列表如下：             共有12种等可能的结果，其中两人均为O型血的有2种结果， ∴选到的两人均为O型血的概率为． 4．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 5．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 6．现有四个自愿献血者，其中两人血型为A型、一人为B型、一人为O型，随机挑选一人献血，过一段时间又从这四人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型相同的概率是______． 【答案】 【分析】利用画树状图法求解即可； 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有种等可能性，其中两次献血的人血型相同的等可能性有6种， ∴两次献血的人血型相同的概率是：. 7．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 8．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查利用列表法或树状图法求概率．解题的关键在于准确列出转动转盘两次所有等可能的结果，并从中筛选出能配成紫色(即一次为红色，一次为蓝色)的结果数，最后利用概率公式进行计算． 【详解】由列举法可得： 第一次       第二次 红 蓝 白    红 （红，红） （红，蓝） （红，白） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，白） 白 （白，红） （白，蓝） （白，白） 由表可知，转动转盘两次，共有种等可能结果， 因为红色和蓝色在一起才能配成紫色，观察以上表格满足条件的结果为（蓝，红）和（红，蓝）共2种情况， 所以，转动转盘两次，转盘显示的颜色可以配成紫色的概率为． 9．如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 【答案】 【分析】先求出最短路径一共有35种，再找出不经过点的路径有多少种，最后再由概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 故其中经过点的路径，即，一共有种， ∴不经过点的路径有种， ∴不经过点的概率为． 10．如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ，，，，，， ， ． 11．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)向上一面的数字是； (2)向上一面的数字是的倍数或的倍数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，求出所有等可能结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）先求出标“”的面有个，然后利用概率公式求解即可； （2）先求数字是的倍数或的倍数有个，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有个面，每个面出现的可能性相同． 根据题意，向上一面的数字是“”的共有（个）面， 所以． （2）解：向上一面的数字是的倍数或的倍数的数字是“”，“”，“”，“”， 一共有种等可能结果， 所以． 12．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，不透明的抽奖袋中装有除颜色外其他都相同的红色、黄色、白色三种小球，红色、黄色、白色的小球分别代表一、二、三等奖，从袋子中任意摸出1个球，记下颜色后放回． (1)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估计袋中白球的数量． (2)在（1）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】(1)9个 (2)抽中一等奖的概率会减小．理由如下： 由（1）可知，袋中红球的数量为（个）， 增加3个黄球后，总球数变为（个），红球数量不变， 此时抽中一等奖的概率为； ∵ ， ∴ 抽中一等奖的概率减小． 【分析】（1）先求出抽中一等奖和抽中二等奖的概率，得到抽中三等奖，即白球的概率，将其乘以袋中球的总数，即可求解； （2）求出变化后的概率，比较大小后，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，抽中白球的概率为， 故袋中白球的数量约为：（个）． （2）略 13．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 【答案】(1)用列表法表示所有等可能的乘车结果如下： 所以小聪从家到博物馆乘车的所有可能结果有16种． (2)小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率为． 【分析】（１）通过树状图或列表法，将从家到中转站的乘车选择与从中转站到博物馆的乘车选择组合起来，直观展示所有可能的乘车结果即可． （2）在（1）中得到的所有可能结果中，找出两路车都是空调车的结果，再根据概率公式计算其概率即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）问可知，因为，是空调车，是空调车， 所以两路车都是空调车的结果有，，共2种． 所以小聪从家到博物馆乘坐的两路车都是空调车的概率为． 14．某校对九年级全体学生进行基本素质测试，成绩评定分为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用表示 ），该校从九年级学生中随机抽取一部分学生的成绩，绘制成如下不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； (2)将上面的条形统计图补充完整，在扇形统计图中写出等级的百分比； (3)若从等级的5名学生中选出两名同学参加学校组织的提升训练，用树状图或列表的方法求出正好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】(1)50 (2)；等级C占的百分比为；等级的百分比为 (3) 【分析】（1）根据等级B中男女人数之和除以所占的百分比即可得到调查的总学生数； （2）根据总学生数乘以A占的百分比求出等级A中男女的学生总数，进而求出等级A男生的人数，求出等级D占的百分比，确定出等级C占的百分比，乘以总人数求出等级C的男女之和人数，进而求出等级C的女生人数，补全条形统计图即可； （3）根据列表法解答即可； 【详解】（1）解：根据题意得：（人）， 则本次调查了50名学生的成绩； （2）解：等级A的学生数为（人）， ∴等级A男生为人； ∵等级D占的百分比为； ∴等级C占的百分比为， ∴等级C的学生数为（人），即女生为人， 补全条形统计图，略 （3）解：等级的5名学生中有3名男生2名女生， 列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） ∵共有20种等可能的结果，恰为一男一女的有12种， ∴抽得恰好为“1名男同学和1名女同学”的概率为． 15．在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意知，共有48种等可能的结果，其中抽到“小华”的结果有24种，利用概率公式可得答案． （2）①画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小华”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． ②画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小丽”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：总票数为，小华的票数为24； 所以，抽到“小华”的概率为； （2）解：①画树状图如下： 由树状图可得一共有4种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1种， 所以，两次都抽到“小华”的概率为； ②小丽的票数为16，总票数为48， 所以，抽到小丽的概率为， 可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1种， 所以，两次抽到“小丽”的概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 等可能条件下的概率 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等可能性 题型二、根据概率公式计算概率 题型三、已知概率求数量 题型四、直接列举法求概率 题型五、几何概率 题型六、列表法或树状图法求概率 题型七、游戏公平性 题型八、概率中的比赛与抽奖问题 题型九、概率中的一元二次方程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 模块分类 核心知识点 常见易错点 概率基础概念 1. 等可能试验的两个核心特征：所有可能出现的结果总数有限，每个结果出现的机会完全均等； 2. 概率是对事件发生可能性大小的数值量化，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率取值在0到1之间 误将结果不对等的事件判定为等可能事件，例如错误认为抛两枚硬币时“两个正面、一正一反、两个反面”三类结果出现的机会均等 古典概型直接计算 等可能条件下事件A的概率计算规则：事件A包含的符合要求的结果数量，除以所有等可能出现的总结果数量 统计结果时出现漏数、重复计数问题，例如摸球场景下混淆同色不同编号球的属性，导致分子或分母数值统计错误 列表法求概率 当一次试验涉及2个并列的影响因素、总结果数较少时，通过二维表格枚举全部等可能结果，再代入概率计算规则得到结果 遇到不放回类试验场景时，误将两次取出完全相同元素的不可能情况计入总结果，例如不放回抽卡片时仍保留两次抽到同一张卡片的无效条目 树状图法求概率 当一次试验涉及3个及以上影响因素、试验步骤较多时，通过分层树状结构逐一枚举所有等可能结果，再计算目标事件的概率 绘制树状图时混淆“有序”和“无序”的计数逻辑，例如不计顺序的摸球场景下，错误将（红1，红2）和（红2，红1）判定为两个独立的有效结果 用频率估计概率 当试验结果总数无限、或各结果出现可能性不对等时，通过大量重复试验，用事件发生的频率的长期稳定值，作为该事件发生概率的估计值 忽略“大量重复试验”的前提，直接把少数几次试验得到的频率值等同于事件的真实概率，例如仅做10次抛硬币试验得到6次正面，就认定正面朝上概率为0.6 概率实际应用（游戏公平性判定） 对比游戏双方获胜对应事件的概率大小，若双方获胜的概率相等则游戏规则公平，概率不等则规则不公平，可通过调整得分规则、增减试验元素的方式修正为公平规则 判定公平性时仅对比事件发生的绝对次数多少，不计算对应概率，修改规则时未保障双方对应的等可能结果数一致，导致修正后的规则依旧不公平 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等可能性 典例1 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 变式1-1下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 变式1-2小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 变式1-3有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 类型二、根据概率公式计算概率 典例2 抛掷一枚质地均匀的硬币，若前10次都是正面朝上，则第11次正面朝上的概率（     ） A． B．1 C． D．无法确定 变式2-1某品牌行李箱的齿轮密码由三个数字组成，均是中的数字，开箱时发现忘记了密码的中间数字，则一次成功打开该行李箱的概率是（     ） A． B． C． D． 变式2-2甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 变式2-3学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 题型三、已知概率求数量 典例3 在一个不透明的袋中装有50个红、黄两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中红球可能有（     ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 变式3-1在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 变式3-2一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 变式3-3一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 题型四、直接列举法求概率 典例4 一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 变式4-1某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 变式4-2年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 变式4-3从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 题型五、几何概率 典例5 如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 变式5-1将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 变式5-2七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 变式5-3如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 题型六、列表法或树状图法求概率 典例6 嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照（每人选一个），现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如表所示． 牌照末尾数字 5 6 7 数量（个） 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率． 变式6-1小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 变式6-2数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 变式6-3北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 题型七、游戏公平性 典例7 一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 变式7-1五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 变式7-2在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 变式7-3如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 题型八、概率中的比赛与抽奖问题 典例8 为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 变式8-1放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 变式8-2小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 变式8-3贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 题型九、概率中的一元二次方程问题 典例9 为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是 (2)从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率． 变式9-1如图，一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成三个面积相等的扇形，每个扇形分别标有数字，1，2．转动转盘两次，待转盘自动停止后，指针指向扇形内的数字分别作为关于x的一元二次方程中的a，c的值（若指针指向两个扇形的交线，则不计该次转动，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）﹒其中第一次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为a，第二次转动转盘后指针指向扇形内的数字记为c． (1)若转盘第一次转动后a的值为1，则转盘第二次转动后c的值为正数的概率是_____． (2)转盘转动两次后，请用列表或画树状图的方法求出关于x的一元二次方程有两个不同实数根的概率． 变式9-2若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0，且a﹣b+3＝0，该方程有一个根为1． （1）求a的值及另一个根； （2）若把该一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项做成卡片，不放回地随意摸出两张卡片，求两张卡片的数字一样的概率． 变式9-3某校八年级的一次提升训练中，出现了如下一道解方程：．为了解该校八年级学生解一元二次方程的具体情况，从该校八（1）班调查了全班学生的解题情况，发现学生们的方法并不相同，结果绘制成下列不完整的频数分布表，请解答下列问题． 解题方法 不会解 配方法 公式法 因式分解法 频数 频率 （1）频数分布表中 ， ； （2）若该校八年级每个班级的解题情况大致相同，且八年级共有名学生，则全体八年级学生在解这道一元二次方程时使用公式法的人数的为 人； （3）若在八（1）班不会解的人中，男生人数有人，女生也有人，数学老师为了更好的了解不会解的原因，但由于时间紧张现只能从这人中选人进行交谈了解，请用树状图或列表法求所选学生为男女的概率． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 2．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有个白球、个红球、个黄球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 3．每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 4．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 5．如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（    ） A． B． C． D． 6．现有四个自愿献血者，其中两人血型为A型、一人为B型、一人为O型，随机挑选一人献血，过一段时间又从这四人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型相同的概率是______． 7．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 8．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 9．如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 10．如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 11．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)向上一面的数字是； (2)向上一面的数字是的倍数或的倍数． 12．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，不透明的抽奖袋中装有除颜色外其他都相同的红色、黄色、白色三种小球，红色、黄色、白色的小球分别代表一、二、三等奖，从袋子中任意摸出1个球，记下颜色后放回． (1)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估计袋中白球的数量． (2)在（1）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 13．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 14．某校对九年级全体学生进行基本素质测试，成绩评定分为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用表示 ），该校从九年级学生中随机抽取一部分学生的成绩，绘制成如下不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； (2)将上面的条形统计图补充完整，在扇形统计图中写出等级的百分比； (3)若从等级的5名学生中选出两名同学参加学校组织的提升训练，用树状图或列表的方法求出正好是1名男同学和1名女同学的概率． 15．在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $