第2章 反比例函数 全章综合训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第2章 反比例函数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析反比例函数定义、三种形式与待定系数求解析式，准确判断k≠0、x≠0及与正比例函数的区别。 2. 能综合运用双曲线形状、象限分布、各象限增减性、k的几何意义解决图象与面积问题，规范进行点与图象、矩形与三角形面积互算。 3. 能解决反比例函数与一次/正比例函数、与几何图形、与实际情境的综合题，并按实际意义确定自变量范围、检验取舍。 ▌课时目录 知识点01：反比例函数概念与解析式的综合辨析 知识点02：反比例函数图象与性质的综合应用 知识点03：反比例函数系数k几何意义的综合应用 知识点04：反比例函数与一次函数、正比例函数的综合 知识点05：反比例函数与几何图形的综合 知识点06：反比例函数在实际问题中的综合应用 知识点07：反比例函数中的规律探索与新定义问题 ▌知识点01：反比例函数概念与解析式的综合辨析 形如，等价形式、； 判定时看自变量是否在分母且次数为1、无加减常数项，如、不属标准反比例函数。 由已知点坐标用待定系数法求k，再由xy＝k反验；含参数时先列k≠0，再结合定义域x≠0、函数值y≠0辨析。 1．（2026·重庆·二模）下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 2．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B选项符合的形式，是反比例函数，符合题意； C选项是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项不是反比例函数，不符合题意． 3．（2026·江苏南京·二模）将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__． 【答案】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解的值即可． 【详解】解：根据点平移的坐标变化规律，向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后点的坐标为， 平移后的点落在函数的图象上， 将代入得 ，即 ， 解得． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． ▌知识点02：反比例函数图象与性质的综合应用 图象为双曲线，两支分别分布于同号或异号象限：k＞0一、三象限，每象限内y随x增大而减小；k＜0二、四象限，每象限内y随x增大而增大。 比较函数值必须先判是否同象限，跨象限按“正负、象限位置”直接判，不套整体单调性。图象关于原点中心对称，也关于y＝x、y＝－x轴对称；综合题结合列表描点、支点坐标、渐近线趋势判断位置。 5．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】将点经各方案的逆变换后，验证对应点是否在原反比例函数图象上，即可判断方案是否可行． 【详解】解：方案①的逆变换为向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度. 将逆变换得， ，满足， 方案①可行； 方案②的逆变换为沿直线轴对称. 将对称得； ，满足，方案②可行； 方案③的逆变换为向左平移1个单位长度，再沿直线轴对称； 将先左移1个单位得，再对称得； ，不满足， 方案③不可行． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 7．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 8．（25-26八年级下·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）依题意把代入，得出，进而把代入中得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据交点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）记直线与直线的交点为得出，设点，根据三角形的面积公式建立绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； （3）解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． ▌知识点03：反比例函数系数k几何意义的综合应用 双曲线上点P(x,y)向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形面积S＝|x||y|＝|k|；以原点、垂足、P构成的直角三角形面积S＝|k|。 已知面积求k取正负时，结合图象所在象限定号；已知k求割补面积时，把不规则图形化为若干“以坐标轴为边”的矩形或三角形和差，避免直接用负面积。 9．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第三象限的点和第四象限的点分别在反比例函数和的图象上，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，．下列结论：①；②；③阴影部分面积是；④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合、矩形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，则，作轴于点，轴于点，证明，得出，证明四边形、均为矩形，得出，，即可判断①；由题意可得，，即可判断②③；由菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 如图，作轴于点，轴于点， ， 则， ∴， ∴， ∵过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，． ∴，， ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∴，故①正确； 由题意可得：，， ∴， ∴，故②正确； 阴影部分面积是，故③错误； 若四边形是菱形，则，， ∴若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 11．（2026·江苏盐城·二模）如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，因为在反比例函数上，根据反比例函数性质可得．因为是矩形边的中点，所以矩形的，．根据矩形面积公式计算面积即可． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵在反比例函数上， ∴． ∵是矩形边的中点， ∴，． ∵矩形面积， ∴代入，得． 12．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形均为正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上（点C在点E的左侧），点D在边上，点B、F落在反比例函数（k为常数，）第一象限的图像上，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图像的几何意义、勾股定理、正方形的性质以及一元二次方程的计算，是函数与几何的综合应用；先根据反比例函数的几何意义求得的值，再利用正方形四条边都相等的性质设边长，再次利用反比例函数的几何意义建立方程，求得小正方形的边长，得到和的长度，最后用勾股定理求解的长度． 【详解】解：根据反比例函数图像的几何意义可得：， 四边形是正方形，且， ， ， ， 四边形是正方形， 设， ， 即， 解得（舍负）， ，， 在中，， ． ▌知识点04：反比例函数与一次函数、正比例函数的综合 与一次函数y＝mx＋n综合：联立＝mx＋n化为一元方程求交点；由交点坐标反求k,m,n；按“交点左右、图象上下”比较与mx＋n的大小。与正比例y＝ax综合：联立得ax2＝k，有交点需ak＞0，两交点关于原点中心对称；比较大小同样分象限、分区间，不跨支用增减性。 13．（2026·江苏扬州·中考真题）一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系． 【详解】设， 点在反比例函数图象上 点在反比例函数图象的上方 ，即 点在一次函数图象上 ，即 ∵矩形 ∴， 点在一次函数图象的下方 ，即 ∵矩形 ∴， ∴ 综上所述，，． 14．（2026·江苏南京·三模）下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题根据点关于原点的对称性、增减性、函数值范围、交点的判定方法，逐个判断四个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：函数的自变量取值范围为，关于原点对称； 对①：设是函数图象上任意一点，则满足， 关于原点的对称点为， 当时，， 表明关于原点的对称点也在函数的图象上，则此函数图象关于原点对称，①正确； 对②：若取，，满足， 此时，，，不满足，因此②错误； 对③：当时，则， 因此，即，③正确； 对④：联立两个函数解析式得， 整理得，该方程有解，说明两个函数图象有交点，因此④错误； 综上，正确结论为①③． 15．（2026·江苏泰州·二模）一次函数与反比例函数（，，为常数，）的图象交于点，． (1)求、的值； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出的值，再求出点的坐标即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入 ，得 ，解得， ∴反比例函数的解析式为 ． 将点坐标代入， 得 ． （2）解：如图所示， 将点和点坐标代入，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． 由得，， ∴点M坐标为． 由函数图象可知， 当时，一次函数和反比例函数的图象在轴的两侧，满足函数值之积小于零， ∴由得，． 16．（2026·江苏盐城·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图象，不等式的解集为_． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)35 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出m的值，从而得到反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式中求出k和b的值即可得到一次函数的表达式； （2）求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． ▌知识点05：反比例函数与几何图形的综合 结合矩形、直角三角形、等腰直角三角形、坐标网格：用顶点坐标写，用边长和面积列|k|；涉及中点、平行、垂线时，先转坐标差与面积，再用k几何意义求未知点。 直角三角形可用勾股定理配合xy＝k求边长；矩形面积一定可转长宽反比例。 17．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【分析】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【详解】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 18．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 19．（25-26八年级下·江苏南京·期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，，的横坐标为，其中．一次函数与反比例函数的图象经过、两点，一次函数经过点、． (1)若四边形为平行四边形． ①当，时，直接写出点的坐标__________； ②当时，点是否在轴上？请说明理由； (2)小明根据（1）中的发现，提出问题：若点在轴上，如何用尺规作图作出平行四边形？经过思考，他给出了如图2的作法：延长交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接、，四边形即为所求作的平行四边形．证明小明所作四边形即为所求作的平行四边形； (3)小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行四边形．请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)①； ②点在轴上，理由如下： 由①可得，反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点在轴上． (2)证明：由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，直线的解析式为，直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． (3)如图，平行四边形即为所求： 【分析】（1）①先求出反比例函数的解析式，再求出点和点的坐标，利用平行四边形的性质求出点的坐标即可； ②分别计算出点和点的坐标，由平行四边形的性质可计算出，因此点在轴上； （2）由尺规作图容易得到，，进而得到，因此．利用（1）中的直线解析式可计算出，，由可得．由勾股定理可得，，，结合可得，从而证明四边形是平行四边形； （3）延长交轴于点，延长交轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，连接、、，四边形即为所求作的平行四边形． 【详解】（1）解：①将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②略 （2）略 （3）解：如图，作轴于点，作轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由（2）可知，点的坐标为， ∴，， ∵，， 又∵轴，轴， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由尺规作图可知，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ▌知识点06：反比例函数在实际问题中的综合应用 总量一定模型：行程vt＝s、工程pt＝W、采购un＝M、矩形ab＝S、压强pS＝F、欧姆IR＝U、杠杆F1L1＝F2L2、密度ρV＝m等，先定常数k再写。 建式后按实际定范围：时间、效率、速度、长度、面积、电阻、力臂均取正；人数件数可取正整数；由“不超过/不少于”求自变量或因变量范围。 代入结果后验根，舍负值、零值、使分母无定义或不符题意的根。 21．（2026·江苏南京·二模）向体积一定的水中加入质量为的糖，充分溶解后（体积的变化忽略不计）．含糖率等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数等于单位体积的水中所含糖的质量．下列图像中，能大致反映、关于的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设水的质量为M，水的体积为V，均为常数．根据题意分别列出S和关于m 的函数解析式，根据函数类型判断图像形状即可． 【详解】解：设水的质量为M，水的体积为V（M、V为常数且 ）， ∵甜度系数S等于单位体积的水中所含糖的质量， ∴， ∴S是m的正比例函数，图像应为过原点的直线，即选项A、B不符合题意； ∵含糖率R等于糖的质量与总质量的比值， ∴， ∴， ∵M为常数， ∴是m的反比例函数向上平移一个单位后的函数，图像应为曲线，且随m的增大而减小，即选项C不符合题意，选项D符合题意． 22．（2026·江苏淮安·二模）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时． 【答案】 【分析】根据与成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代入所求充电功率计算得到对应充电时间． 【详解】解：设与的函数解析式为 把，代入解析式得， 解得 因此函数解析式为 把代入解析式得． 23．（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】(1) (2) 5000个 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2）解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 24．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． ▌知识点07：反比例函数中的规律探索与新定义问题 规律探索：先由若干具体k值或点坐标列出xy＝k的具体解析式，计算对应函数值、交点或k几何意义，观察归纳再代入一般式验证，不凭直觉下结论。 新定义题：严格按题干规定的运算、条件或“新函数”形式，把式子化为标准或xy＝k，再判k的符号、求解析式、画图象或求面积。 换元型如令t＝x＋1得，先按新变量求t的范围再回代x，注意定义域不变；涉及“优值、整点、同号”等新概念时，先求全部符合条件的点，再按定义逐一筛选，不超出反比例函数与一次、正比例函数综合的范围。 25．（2026·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则定义该函数是这个平行四边形的“对角函数”．例如：如图1，一次函数经过顶点和点，则称一次函数是的“对角函数”． (1)如图2，的顶点坐标分别为，，，，下列函数是的“对角函数”的有________； ①；②；③． (2)已知矩形在第一象限（如图3），轴，点的坐标为，若，．其中，．反比例函数（为常数，且，）经过点，且是矩形的“对角函数”． ①是否存在一个正比例函数是矩形的“对角函数”？若存在，请求出此正比例函数；若不存在，请说明理由； ②将矩形沿折叠，点的对应点点恰好落在轴上，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①② (2)①存在，；② 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）①根据题意可得，，，进而得到，设比例函数的解析式为，则，再检验也在正比例函数上； ②根据折叠可知，且为的中点，利用勾股定理得到，进而可得，代入即可求出，再根据待定系数法求反比例函数的解析式即可． 【详解】（1）解：①过点，是“对角函数”； ②过点，是“对角函数”； ③不过的任意顶点，不是“对角函数”； （2）解：①存在， 点的坐标为，，，且轴， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 反比例函数经过点， 将点代入中，可得， 又反比例函数是矩形的“对角函数”， 反比例函数的图象经过点， 将点代入中，可得。 联立可得方程组， 解得， 设比例函数的解析式为（为常数，且）。 若正比例函数是矩形的“对角函数”， 则正比例函数的图象经过点和点。 将点代入中，可得， 解得， 正比例函数的解析式为； 将点代入中，可得， 将代入上式中，可得，等式成立， 存在一个正比例函数是矩形的“对角函数”； ②延长交轴于，连接交于， 由折叠可知，且为的中点， 又，则， ，则， 又， ， 又在上， ，整理得：， 解得或（舍去）， ， ，解得， 则反比例函数的解析式， 此时也在反比例函数上， 故反比例函数的解析式为． 26．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”． 抽象建模 如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分． 数据与定义 已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离． 问题解决 (1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）； (2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分． 【答案】(1)② (2)小 (3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小， （3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征， ∴降速部分是反比例函数图像的一部分， 故答案为：②． （2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小， 故答案为：小． （3）解：∵在上， 代入得，， ∴ ∵“曲度相等” ∴ ∵二次函数经过，， ∴ 解得： ∴ 当代入得，， ∴ 当代入得，， ∴ ∴ ∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分． 27．（2025·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点C的坐标为或 【分析】本题考查了新定义下的两点之间的“直距”定义，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“直距”的定义即可得出答案； （2）设点M的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解； （3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点C的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为5． （2）∵点M在反比例函数第一象限的图像上， ∴设点M的坐标为，且． ∵， ∴， 即， 即， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 设点C的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， 解得，不合题意，舍去． ②当时，， ∴， 解得， ∴C； ③当时，， ∴， 解得， ∴C； 综上所述，点C的坐标为或． 28．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点的横坐标为，的长度为，则与之间的函数关系式为______ ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中______； ②描点：根据上表中的数据，在图中描出各点； ③连线：请在图中画出该函数的图象观察函数图象，的最大值为______． ④阅读规律：当，都是正数时，有，即：，只有当时，才成立；如：已知，，只有当时，即：时，有最小值为． 请用这个规律说明中的最大值的正确性； (3)拓展应用：如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①； ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； ④∵， ∴时，即时，由最大值为， ∴有最大值为， 故中的最大值正确； (3) 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，的长度为y，可得，，根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可；④根据，得到时，即时，由最大值为，于是得到有最大值为； （3）先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【详解】（1）解：点P的横坐标为x，的长度为y，可得，， ；     故答案为：； （2）解：①当时， 故答案为：；    ②略 ③略 ④略 （3）解：∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由（2）得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． ▌课时训练 一、选择题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 3．（2026·江苏镇江·二模）已知点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应值后比较大小，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 当时， 当时， 当时， ∵ ∴． 4．（2026·江苏南京·二模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案 【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 5．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】根据图形的平移，设平移距离为，分别表示点的坐标，由中点坐标的计算得到，把点C，F代入计算即可求解． 【详解】解：点，， ∴， ∵将向右平移到位置，设平移距离为， ∴， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴点F的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点C，F在反比例函数的图象上， ∴，即， 解得， ． 6．（2026·江苏苏州·三模）如图，函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题关键在于利用反比例函数定义表示出点A，B坐标，根据列出含的表达式，求解即可． 【详解】解：设点A横坐标为，则， 轴， 点B横坐标为，则点， ，点B在第二象限， ， ， ． 7．（2026·江苏泰州·二模）已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（     ） A．当，时， B．当，时， C．当，时， D．当，时， 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数图象上得到的表达式，再结合反比例函数的增减性和的范围，判断的符号和大小关系． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， 选项A：当，时，， ∴ ，即，A错误； 选项B：当，时，， ∴ ，，即，B正确； 选项C：当，时，， ∴ ，即，C错误； 选项D：当，时，， ∴ ，，即，D错误， 综上，答案为B． 8．（2026·江苏徐州·三模）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，， ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 二、填空题 9．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 10．（2026·江苏南京·二模）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】结合函数图象，可以得到当在的左边或者在和之间时，满足不等式，求解即可． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ∴根据函数的图象得：关于的不等式的解集为或． 11．（2026·江苏徐州·二模）若反比例函数的图像过点，则其函数表达式为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出比例系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：设反比例函数的表达式为：， 反比例函数的图像过点， 将，代入， 得， 反比例函数的表达式为， 故答案为：. 12．（2026·江苏泰州·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 【答案】6 【分析】先将点代入反比例函数解析式求出的值，再将点代入解析式即可求出． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴． 13．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【答案】3 【分析】设，过A作轴于D，证明是等腰直角三角形，得到，，利用已知条件和勾股定理求得，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 14．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 15．（2026·江苏泰州·三模）如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图像经过，两点，则的值是___________． 【答案】 【分析】先求出直线的解析式，再设点的坐标，由菱形性质可得点为线段的中点，从而表示出点的坐标，根据反比例函数的性质可列方程求出点的坐标，进而求出的值． 【详解】解：∵过原点， ∴设直线的解析式为，将点代入得，， 解得， ∴ 直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵ 四边形是菱形， ∴ 点为线段的中点， ∴ 点的坐标为， ∵ 反比例函数的图象经过，两点， ∴ ， 整理得， 即， 解得或（与点重合，舍去）， ∴ 点的坐标为， 将点代入得，， 解得 ． 16．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 【答案】8 【分析】如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E，首先求出，证明，得到，然后证明，得到，求出点C的纵坐标是4，点C在第一象限内的直线上运动，然后求出，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E， ∵点的坐标为， ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵轴 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵轴 ∴点C的纵坐标是4， ∴点C在第一象限内的直线上运动， 当轴时，最小，如图， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， 解得． 三、解答题 17．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 18．（2026·江苏苏州·三模）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，． (1)求的值； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解，结合，可得，求解一次函数的表达式是；再求解，进一步可得答案； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 一次函数的表达式是； ∵反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1， ∴， ∴， 反比例函数表达式为． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形的两个顶点，反比例函数（）的图象经过点． (1)求出反比例函数的表达式； (2)将平行四边形沿轴翻折，点落在点处， ①判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； ②连接，作与轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的交点坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)①在反比例函数的图象上，理由见解析；②或 【分析】（1）先求得点，再待定系数求解析式，即可求解； （2）①先求得，然后将代入反比例函数表达式，即可求解； ②过点作轴交与轴正半轴夹角的角平分线于点，为与的交点，设为轴正半轴上的一点，根据角平分线的定义以及平行线的性质求得的坐标，进而得出直线的解析式，联立反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，是平行四边形的两个顶点， ∴， ∴ ∵反比例函数（）的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：①在反比例函数的图象上，理由如下： ∵将平行四边形沿轴翻折，点落在点处， ∴ 当时， ∴在反比例函数的图象上， ②如图，过点作轴交与轴正半轴夹角的角平分线于点，为与的交点，设为轴正半轴上的一点， ∵ ∴ 依题意， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ∴所在直线与反比例函数的交点坐标为或． 20．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； 【详解】（1）解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； （2）解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ∴点、， . / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第2章反比例函数全章综合训练 课时目标 1. 能综合辨析反比例函数定义、三种形式与待定系数求解析式，准确判断≠0、x≠0 及与正比例函数的区别。 2. 能综合运用双曲线形状、象限分布、各象限增减性、的几何意义解决图象与面积问 题，规范进行点与图象、矩形与三角形面积互算。 3 能解决反比例函数与一次正比例函数、与几何图形、与实际情境的综合题，并按实 际意义确定自变量范围、检验取舍。 课时目录 知识点01：反比例函数概念与解析式的综合辨析 知识点02：反比例函数图象与性质的综合应用 知识点03：反比例函数系数k几何意义的综合应用 知识点04：反比例函数与一次函数、正比例函数的综合 知识点05：反比例函数与几何图形的综合 知识点06：反比例函数在实际问题中的综合应用 1/22 知识点07：反比例函数中的规律探索与新定义问题 知识点01：反比例函数概念与解析式的综合辨析 y=(k≠0) 形 等价形式y=k(k≠0)、y=(化≠0). y=二+1(k≠0) 判定时看自变量是否在分母且次数为1、无加减常数项，如 y=k(欣≠0) x+a 不属标准反比例函数。 由己知点坐标用待定系数法求k,再由xy=k反验；含参数时先列k≠0，再结合定义域 x≠0、函数值y≠0辨析。 1.(2026重庆二模)下列各点在反比例函数y=-二(x≠0)的图象上的是() A.(,9) B.1,-9) c.（1,9) D.(33) 2.(25-26八年级下·黑龙江佳木斯期中)下列函数中，是反比例函数的是（) A.y=3x B.y=3 C.y=3x+1 D.y=3x2 、6 3.(2026江苏南京二模)将点(2，)向上平移3个单位长度落到函数y=x的图象上，则a的值为一 4.（25-26八年级下江苏盐城阶段检测)下列函数：①y=7x-2:②y= k:③ys、5 2:@y=5 x+3: 百y=其中y是x的反比例两数的有—一《境序号， 知识点02：反比例函数图像与性质的综合应用 图象为双曲线，两支分别分布于同号或异号象限：k>0一、三象限，每象限内y随x增大 而减小；k<0二、四象限，每象限内y随x增大而增大。 比较函数值必须先判是否同象限，跨象限按“正负、象限位置”直接判，不套整体单调 性。图象关于原点中心对称，也关于y=x、y=一x轴对称；综合题结合列表描点、支点坐 标、渐近线趋势判断位置。 2/22 6 5.(26-27九年级上江苏南京开学考试)对反比例函数y=x的图象分别进行以下三种方案的变换：方案 ①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度：方案②沿直线y=3翻折：方案③先沿直线 x=2翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点3,4)， ,则可行的方案是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 6.(2026江苏徐州中考真题)如图，正比例函数y=的图象与反比例函数y=, 价闲家分别胶 于点A,B,过点A,B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C,则△ABC的面积为 7.(26-27九年级上江苏阶段检测)在平面直角坐标系xO少中，点A和点B(点B不与点A重合，点B 在点有的下方)都在反比例函数》-第一象限内的图象上。 3/22 V B 图1 图2 图3 (I)延长AB与x轴交于点C. ①如图1，如果4L2）,∠01B=90°，且0B平分<40C,求401B的面积， ②如图2，如果点°是线段4C的中点，直线01的表达式为'=，直线OB的表达式为'= ,求 k k2的值； ②如图3，直线AB分别与轴、'轴交于点C、D,若14)是否存在点B,使得D=AB=BC? 若存在求出∠BOC的度数；若不存在请说明理由， 8.(25-26八年级下四川内江期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+b的图象与反比例函 数y=的图象交于4(6).BL两点 VA (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (②情直接写出关于：的不等式红+bs?的解类： 4/22 (3)若P是直线x=-2上的一个动点，△PAB的面积为35，求点P坐标. 知识点03：反比例函数系数飞几何意义的综合应用 双曲线上点Px,)向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形面积S=xy=M:以原点、垂 1 足、P构成的直角三角形面积S=2附。 己知面积求k取正负时，结合图象所在象限定号；己知k求割补面积时，把不规则图形化 为若干“以坐标轴为边”的矩形或三角形和差，避免直接用负面积。 9.(25-26九年级上·江苏南通期末)如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第三 象限的点A和第四象限的点C分别在反比例函数y= x的图象上，过点A'C分别作x轴的垂 AM 线，垂足分别为点M,N,下列结论：①ON=OM;②CW k2 ③阴影部分面积是2(：+)： ④若四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称.其中正确的是() A M O N A.①④ B.②③ C.②③④ D.①②④ k+1 10.(25-26八年级下江苏泰州：期末)如图，点B为反比例函数少= (x<O)的图像上一点，过点B分 别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A'C,线段BC被反比例函数=<0)的图像上一点D分成 5/22 两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则△ABC的面积为 11.(2026江苏盐城二模)如图，反比例函数y=x经过矩形OCAB的边4B中点D:则矩形OCAB面积 为 12.(2026江苏泰州·一模)如图，在平面直角坐标系xO少中，四边形ABCO和四边形DFEC均为正方形， 点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上（点C在点E的左侧），点D在BC边上，点B、F落 在反比例函数y=x(k为常数，k≠0)第一象限的图像上，若0A=5则0F的长为一 O 知识点04：反比例函数与一次函数正比例函数的综金 与一次函数y=x十n综合：联立x=x十n化为一元方程求交点：由交点坐标反求 k,,;按“交点左右、图象上下”比较x与x十n的大小。与正比例y=ar综合：联立得 x=k,有交点需k>0,两交点关于原点中心对称；比较大小同样分象限、分区间，不跨 支用增减性。 6/22 y=二(k≠0 01 13.(2026江苏扬州中考真题）一次函数y=-x+b6>0)与反比例函数y-女（k>0)的部分图象如图所 示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点.过点M作MALx轴， MB⊥y NC⊥x, ND⊥y AOB 轴，垂足分别为A,B:过点N作 轴，垂足分别为C,D.记矩形 的面积为，周长为C,记矩形NC0D的面积为，周长为S,下列结论正确的是() B M D A.9<8G<G B.8<9G>C c$>9G<G, D.S>S,C>C 14.(2026江苏南京三模)下列关于函数y=x一的说法：①该函数的图象关于原点对称：②A(x,y)小、 B,4)两点在该数图象上，若<西，则<乃，③当>1时，>0： ；④该函数图象与反比例 函数'=x的图象没有交点.其中所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 15.(2026江苏泰州二模)一次函数y=在+6与反比例函数乃-” =x（k,b,m为常数，m≠0)的图 7/22 象交于点1L4)B(-4,m) (1)求m、n的值： (2)若 P代收)在一次函数”的图象上，点g在反比例函数”的图象上，网<0，请直接写出'的 取值范围 16. (226江苏盐城三被)如图。一次面数y=红+6k≠0)与反比例函数y=(m0)的图象相交于A 日两点，与箱交于点C,点4的坐标为62)，点8的坐标为么) B (I)分别求出反比例函数和一次函数的表达式： 2)连接AO、BO,求△AOB的面积： 回)观察图象，不等式>红+b的解集为 知识点05：反比例函数与几何图形的综合 y=- 结合矩形、直角三角形、等腰直角三角形、坐标网格：用顶点坐标写x, 用边长和面 积列(：涉及中点、平行、垂线时，先转坐标差与面积，再用k几何意义求未知点。 直角三角形可用勾股定理配合xy=k求边长；矩形面积一定可转长宽反比例。 k 17.(25-26八年级下江苏南京期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x<0)的图象分别 与等腰直角△AOB的直角边AB和斜边OB交于点C,D,点A在x轴负半轴上，连接AD,CD,若 AD⊥OB,且△BCD的面积为3，则k= 8/22 B D 0 18.(2026江苏常州·中考真题)如图，在平面直角坐标系xO少中，一次函数y=+b的图像分别与x轴、 y轴相交于点Ag与反比例函数y=贸(m>0,x>0)的图辰相交于点C·已知点B,C的坐标分别 为@1).(2,2) B (1)求一次函数、反比例函数的表达式. (@点D在反比例函数y-(m>0x>0)的图像上，且点D与点C不重合.作射线CD:交坐标轴于点 M,连接OC,0D.若Sav=4Sa,求点D的坐标 19.(25-26八年级下·江苏南京期末)利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分. M H A R E B N O B 图① 图② 图③ (I)如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH=2∠HEN,点D在EH上，过点D作DA∥EN,交 9/22 EM于点A,分别过点A、点D作AB⊥EN,DC⊥EN,垂足为B、C,AB交EH于点F,点O是 DF的中点，连接AO并延长交CD于点G.猜想AG与AE的数量关系，并说明理由. ②)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数y=(x>0)的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1. 如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x 轴正方向重合： 2.在平面直角坐标系里，绘制函数y=(x>0)的图象，图象与已知角的另一边O4交于点 P: 3. 以P为圆心，以20P为半径作弧，交函数y=x的图象于点R: 4.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T; 5. 连接OT,得到∠TOB 请根据以上作法，证明∠TOB=,∠AOB 3 k B)如图③，在平面直角坐标系中，点4在x轴上，请你利用反比例函数y=x(k>0:x>0)的图象 作出线段OA的三等分点.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明.） 20.(25-26八年级下江苏泰州期末)如图，在四边形ABCD中，4,6，D(0m),日的横坠标为m, 其中m>1,0<n<6·一次函数y=kx+h与反比例函数y。的图象经过、B两点，一次函 y=kx+b 经过点A、D B (图1) (图2) (图3) (I)若四边形ABCD为平行四边形. 10122 ①当m=3,n=4时，直接写出点C的坐标 k+k2=0, ②当 时，点C是否在轴上？请说明理由： (2)小明根据(1)中的发现，提出问题：若点C在x轴上，如何用尺规作图作出平行四边形ABCD? 经过思考，他给出了如图2的作法：延长AB交x轴于点E,以A为圆心AE为半径画弧交x轴于点F, 连接AF交y轴于点D,以D为圆心DF为半径画弧交x轴于点C,连接CD、BC,四边形ABCD即 为所求作的平行四边形.证明小明所作四边形ABCD即为所求作的平行四边形： (3)小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出 平行四边形ABCD.请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由.（保留作图痕迹，不要求 写作法) 知识点06：反比例函数在实际问题中的综合应用 总量一定模型：行程t=S、工程pt=W、采购um=M矩形ab=S、压强pS=F、欧姆IR =U、杠杆L1=FL2、密度pV=m等，先定常数k再写x。 建式后按实际定范围：时间、效率、速度、长度、面积、电阻、力臂均取正；人数件数可 取正整数：由“不超过/不少于”求自变量或因变量范围。 代入结果后验根，舍负值、零值、使分母无定义或不符题意的根。 21.(2026江苏南京·二模)向体积一定的水中加入质量为m的糖，充分溶解后（体积的变化忽略不计）. 含糖率R等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数S等于单位体积的水中所含糖的质量.下列图像中， 1 能大致反映s、R关于m的关系的是() B m m 22.(2026江苏淮安·二模)某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间t(单位：小 时)与充电功率P(单位：kW)成反比例函数关系，已知用60kW功率充电，需2小时充满：若使 11/22 用80kW的快充桩，充满电需要 小时. 23.(2026江苏南京·二模)某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y(元个)由材料成本和 加工成本两部分组成.其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x(个)成反比例函数关系.经 测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个. (1)求y与x的函数表达式： (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 24.(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水 机.八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加 热到10℃时停止加热：随后水温自然回落，此阶段水温(C)与通电时间(mm)付 “成反比例关系.当 水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环.若初始水温在20℃时接通电源，八年级数 学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题. Ay/C 100 20 x/min Q)图象中停止加热后水温自然回落至20C的过程中，水温川C)与通电时间x(mm)）之间的函数关 系式是 自变量x的取值范围是 (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少 分钟？ 3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们一（填 “能”或“不能”)接到35C~45℃的温开水，此时水温为℃ 知识点07：反比例函数中的规律探索与新定义问题 规律探索：先由若干具体k值或点坐标列出xy=k的具体解析式，计算对应函数值、交点 或k几何意义，观察归纳再代入一般式验证，不凭直觉下结论。 12122 y=一 新定义题：严格按题干规定的运算、条件或“新函数”形式，把式子化为标准x或y =k,再判k的符号、求解析式、画图象或求面积。 k y= 换元型如令t=x+1得t,先按新变量求t的范围再回代x,注意定义域不变；涉及 “优值、整点、同号”等新概念时，先求全部符合条件的点，再按定义逐一筛选，不超出 反比例函数与一次、正比例函数综合的范围。 25. (2026江苏苏州·一模)在平面直角坐标系中，若某函数y的图象经过平行四边形一条对角线的两个 13 端点，则定义该函数y是这个平行四边形的“对角函数”.例如：如图1，一次函数y=2+ 2经过 13 GABCD顶点A(-1,)和点C(3,3),则称一次函数y= + 2是。ABCD的“对角函数”. 图1 图2 图3 )如图2，a18CD的顶点坐标分别为4,2），B(4,2),C(5,4)D(2,4) 下列函数是口ABCD的“对 角函数”的有 ①y=-x+6:@y=8 ;③y=(x-2)2+2 @已知矩形4BCD在第象限（如图3），Bx轴，点4的坐标为2，)，若B=m,BC=n,其中 m>0?n>0:反比例函数'=x(k为常数，且k≠0，x>0)经过点B,且是矩形ABCD的“对角 函数”. ①是否存在一个正比例函数是矩形ABCD的“对角函数”？若存在，请求出此正比例函数；若不存在， 请说明理由： ②将矩形ABCD沿AC折叠，点D的对应点点E恰好落在x轴上，求反比例函数的解析式. 26.(2025江苏泰州·二模)综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”. 抽象建模 13122 如图1为滑滑梯实物图.首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示.其次，建立平面 直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不 是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比 例函数图像一部分的结合.整条曲线共为AB、BC、CD三段，其中，曲线AB为冲刺部分，曲线BC 为缓冲部分，曲线CD为降速部分 B 。D 图1 图2 数据与定义 已知40，)，B2,2),C4,D.现给出如下定义：对于二次函数)=+r+a0).口称作该二次 1 y k(k+0) 函数图像的“曲度”；对于反比例函数 称作该反比例函数图像的“曲度”.点P到 P(xo2 Yo) Xo 曲线竖直距离是指：点 到曲线上横坐标为的点的距离 问题解决 (I)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是」 (只需填序号：①二次函数图像的一部 分②反比例函数图像的一部分)： (②)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线AB所在的函数图像“曲度”应该调 (填“大” 或“小”)； (3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线BC是冲刺部分曲 线AB或降速部分曲线CD所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线BC上一点到这两段曲 线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越 大)·现测得缓冲部分一点E(3,1.33),通过计算判断曲线BC更可能是哪段曲线所在函数图像的一部 分 14122 27.(2025江苏扬州二模)在平面直角坐标系xOy中，将任意两 P(,)与(，）之间的“直距 定义为：de-压-H-为.例如：点ML-2）,点N3,-),则4w=-3H-2-(列=5 0记知两点4-13趴B21,则4 (2)已知点M在反比例函数y=第一象限的图像上，若线段OM=4,求dm: 3)已知两点 A(1,0)八B(-1,4) 如果直线4B上存在点C,使得m=2 ,请直接写出点C的坐标. 28.(24-25八年级下·江苏徐州期末)在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 9 yx(x>0)和y=-x+10的图象，两个函数图象交于A(,9),B(9,)两点，在线段AB上选取一点 P,过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q(如图1)，在点P移动的过程中，发现PQ的长 度随着点P的运动而变化.为了进一步研究⑨的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列 问题： 1 5 2345678x 1012345678910i元012345678910 图1 图2 图3 ①设点P的横坐标为，P吧的长度为'，则'与之间的函数关系式为 (1≤x≤9) (②)为了进一步研究(1)中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中m= 3 2 3 6 9 2 2 15122 15 5 y 5 4 0 2 4 2 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象·观察函数图象，y的最大值为 ④阅读规律：当“，b 都是正数时，有 a-b≥0，即：a+b≥2ab,只有当a=b时， 4. x+≥2， 4 x.-= 4 a+b=2Wab才成立；如：已知x>0, 4,只有当=x时，即：x=2时，+x有最 小值为4. 请用这个规律说明③中y的最大值的正确性： 2 3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，直线y=一3x-2与坐标轴分别交于点AB'点M为 6 反比例函数y=c>0)上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C,MD⊥y轴于点D.求四边形 ABCD面积的最小值. 课时训练 一、选择题 1.(2025江苏镇江中考真题)己知点A(-1,入、B(a,乃)在反比例函数y=x的图像上，若>4，则a 的取值范围是() A.a<l或a>0 B.-1<a<0 C.a>0 D.a<-l 2.(2025江苏连云港中考真题)如图，正比例函数片=化<0)的图像与反比例函数片（么，<0）的 图像交于A、B两点，点A的横坐标为1.当片< ”时，x的取值范围是() 16122 A.x<-l或x>1 B.x<-l或0<x<1 C.-1<x<0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 3 3.(2026江苏镇江二模)已知点A(-2,),B(1,2),C(2,y)在反比例函数y=-x的图像上，则， y2 y3 ,的大小关系是() A.片<h<⅓ B.片<为<片 C.乃<片<y D.为<h<y m-3 4.(2026江苏南京二模)己知反比例函数'=x的图象位于第二、四象限，则m的值可能为 () B.V3 C.2 D.V5 5.(2026江苏徐州模拟预测)如图，在平面直角坐标系0中，点10,6，B(5.6),将△MB0向右平 移到△CDE位置，点A、O的对应点分别是C、B,函数y=x>0)的图象经过点C和DE的中点R, 则k的值为() 17122 15 15 A.8 B.4 D.15 6(206江苏苏州三模)如图，西领y低≠0)和y低≠0叭的部分图象如图所不，点在冬 k ,过点A作By轴交x轴于点C,交y=x的图象于点B.若1C=4BC一 () A.A c.4 D.4 7(206江苏泰州二模已知点Pad,Qa+3在反比例画数y一产的图家上，则下列说法正确的 是() A.当k>0,n>0时，0<a<b B.当k>0,-3<n<0时，a<0<b C.当k<0,n<-3时，b<a<0 D.当k<0,-3<n<0时，b<a<0 8.(2026江苏徐州三模)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在'轴、x轴的正半轴上，点D在AB上， 且AD=4AB,反比例函数y-车k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接ODOM 4 DM.若△ODM的面积为3，则k的值为() D M A.1 B.2 C.3 D.4 18122 二、填空题 9.(2025江苏南通中考真题)如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是5：3：1.如果B面向下放 在地上，地面所受压强为aPa,那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa A B 10,(2026江苏南京二校)如图。一次西数y-在+6k,b为常数，大40的图象与反比例函数)0为 常数，m0的图象交于点A和8，已知点4的坐标是-4)，点8的坐标是2-2）.根据函数图象 直接写出关于x的不等式x+b>的解集为 B 11.(2026江苏徐州二模)若反比例函数的图像过点 -2,3),则其函数表达式为 12.(2026江苏素州二模)已知反比例函数y车k≠0)的图像经过点4，-2)和点B(-Lm,则m 13。(2026江苏扬州二校)如图，反比例函数y(≥0)的图像经过。AB0的顶点4，点B在y转上。 ∠AB0=135°OA2-OB2=6,k= ,则 19/22 14.(2026江苏连云港二模》如图，4，B是双曲线y-(x>0)上的两点，过点4作4C1轴，垂足为 点C,交OB于点D,若△ADO的面积为l5,D为OB的中点，则k的值为 15.(2026江苏泰州三模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点P,且AC过原点O,ABI‖x轴， 点C的坐标为(3，)，反比例函数y=x的图像经过AP两点，则k的值是 16,(2026江苏盐城模拟预别)如图，点4在轴正半轴上，点B的坐标为0,2），点C在第一象限，若 反比例函数y=（>0)的图像经过点C,∠ABC-90,MB平分∠04C,当4C最小时，k的值为 B 三、解答题 17.(2026江苏苏州中考真题)如图，一次函数'=+b的图像经过点 A(-4,0)B(0,2 ,点P在一次 20122 函数的图像上，过点P分别作辅和y轴的平行线交反比例商数yk>Q,x>0)的图像子MN两点. 连接MW, M (1)求a,b的值： (②)若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值. 18,(2026江苏苏州三模)如图，一次函数'=+2(a>0 的图象分别与轴，y轴交于点4B,与反 比例函数y(>0k≠0)的图象交于点C,且点C的横坐标为1，S0m=1 I)求a,k的值； @E知点p在反比例国数y-兰（c>0k≠0)的图家上，连接OC,OP,BP,若S。-2ac·求点p 的坐标。 19。(2026江苏常州一模)如图，在平面直角坐标系中，点4(-6,0)，C(6,4是平行四边形01BC的两 个顶点，反比例函数y= x（m≠0)的图象经过点B 21122 (I)求出反比例函数的表达式： (2)将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点D处， .1m ①判断点D是否在反比例函数y=的图象上，并说明理由： ②连接OD,作D0与x轴正半轴夹角的角平分线，请直接写出该角平分线所在直线与反比例函数的 交点坐标. 20.(2026江苏苏州二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点 42.0,与反比例函数=兰x>0)交于点BLm (1)求反比例函数的表达式： 2②)点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点 N,连接BM,若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积. 22122