5.2 课时2 两次试验下的概率 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第五章 等可能条件下的概率 5．2 等可能条件下的概率 课时2 两次试验下的概率 ▌课时目标 1. 理解两次（两步）试验结果总数的确定方法。 2. 掌握列表法与树状图法求两次试验概率的技能。 3. 能综合利用列表或树状图计算两次试验下事件的概率并解决实际问题。 ▌课时目录 知识点01：两次试验结果总数的确定 知识点02：列表法求两次试验的概率 知识点03：画树状图求两次试验的概率 知识点04：利用树状图或列表计算事件概率 知识点05：两次试验概率的综合应用 ▌知识点01：两次试验结果总数的确定 两次（两步）试验的总结果数可用列举、列表或树状图确定，避免遗漏。 例如：掷两枚骰子，总结果＝6×6＝36种。 注意：两次试验各步独立，总数常等于各步结果数相乘；须保证每步等可能。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知一次函数，从，中随机取一个值，从，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数经过第一、三、四象限可得，，画出树状图，得出所有等可能的结果及该一次函数的图象经过第一、三、四象限的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中该一次函数的图象经过第一、三、四象限的结果有种， ∴该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为． 2．（2026·江苏连云港·三模）五一假期有A、B、C三部新电影上映，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看，甲、乙2位同学选择不同电影的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出所有等可能的选择结果总数，再得到甲乙选择不同电影的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的情况有6种， ∴所求概率为． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求概率和构成三角形的条件，先列举出所有的取法，再根据构成三角形的条件确定能构成三角形的取法，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从5根木棒中任取3根，所有可能情况有10种：、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、； ∵三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴只有、、；、、；、、；这三种情况能搭成三角形， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率的计算，一枚质地均匀的硬币，抛掷后共有种可能性：正面朝上、反面朝上，所以每次抛掷后正面朝上的概率均为． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上， 第次抛掷，正面朝上的概率是． 故选：B． ▌知识点02：列表法求两次试验的概率 列表法将两次试验的结果排成表格，行、列分别代表两次结果，格内为组合。 数出总格数与目标事件格数，用P＝。 例如：两骰子点数和＝7的格数有6，P＝6÷36＝。 注意：表格要覆盖全部等可能组合，不重不漏。 5．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据随机事件概率的定义进行计算即可； （2）先利用列表法将所有可能的结果列举出来，然后筛选符合题目要求的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：甲抽卡片一共有3种等可能的情况，分别是“”、“”、“”，则抽到“”的概率为； （2）解： 一共有９种等可能的情况，其中甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的情况有3种，则甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率为． 6．（2026·江苏镇江·中考真题）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 7．（2026·江苏宿迁·中考真题）某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． (1)小丽选择场馆A的概率为_； (2)请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定总等可能结果数与选择场馆A的结果数，利用概率公式计算； （2）用列表法列举所有等可能的结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式求解． 【详解】（1）解：共有4个场馆，小丽任选一个，每个场馆被选中的可能性相等，选择场馆A的结果有1种， 小丽选择场馆A的概率为； （2）列表如下： 小丽    小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小丽和小明选择不同场馆的结果有12种， 所以小丽和小明选择不同场馆的概率为． 8．（2026·江苏苏州·中考真题）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影—革命事迹影展 B 红色工坊—袖章主题手作 C 红色出发—重走红色五卅 D 红色讲述—苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． (1)甲同学选择项目C的概率为_________； (2)求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解： 甲同学选择项目C的概率为； （2）解：列表如下： 甲乙 A B C D A B C D ∴共有16种可能结果，其中甲、乙两位同学选择相同项目的结果有4种， ∴甲、乙两位同学选择相同项目的概率为． ▌知识点03：画树状图求两次试验的概率 树状图从第一次分支，再对每个分支展开第二次，末端为所有结果。 数末端总数n与目标数m，P＝。 例如：两次摸球（放回）树状图末端4或更多枝。 注意：分支要完整，放回与不放回的枝数不同，须按题意绘制。 9．（2026·江苏盐城·中考真题）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． (1)若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． (2)若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图，再结合树状图求概率即可． 【详解】（1）解：小明点击一次“运行”按钮，有四种等可能结果，其中色块A发亮的情况只有1种，故色块A发亮的概率是． （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：共有16种等可能结果，其中两次都是色块A发亮的情况只有1种，故两次都是色块A发亮的概率是． 10．（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． (1)若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． (2)小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率计算即可； （2）画树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种，所以小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 【详解】（1）解：个特色菜每个被选中的机会相同， 选中“软兜长鱼”的概率为； （2）解：画树状图，如下图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种， 小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 11．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，任意抽取1张卡片，共有3种等可能性结果，抽到每张卡片的可能性是相同的， 抽到“马”的概率为． （2）解：画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种， 抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为． 12．（2026·江苏南通·中考真题）2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定甲选入口的等可能总结果数与选B入口的结果数，计算对应概率； （2）通过列表法或树状图法列举甲、乙选入口的所有等可能结果，统计两人选同一入口的结果数，计算对应概率． 【详解】（1）解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为． ▌知识点04：利用树状图或列表计算事件概率 用树状图或列表列出全部等可能结果后，定位事件A包含的结果数m，再算P(A)＝。 例如：两次掷币至少一正，目标结果3种、总4种，P＝。 注意：列表／树状图结果须等可能，否则不能直接套。 13．（2026·江苏徐州·中考真题）2026年4月，徐州首次跻身“长红城市”榜单30强．甲、乙两人来徐州“彭城七里”游玩，若两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等，则两人选择相同景点的概率为多少？ 【答案】两人选择相同景点的概率为 【分析】记博物馆、戏马台、回龙窝分别为，根据题意画树状图，根据树状图，共有9种结果，其中两人选择相同景点的有3种结果，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：记博物馆、戏马台、回龙窝分别为，根据题意画树状图如下： 根据树状图，共有9种结果，其中两人选择相同景点的有3种结果， ∴两人选择相同景点的概率为 14．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)，补全条形统计图如图所示： (2)， (3)分 (4) 【分析】（1）利用组的作品数量除以所占的比例即可得出本次抽取的作品数量，求出组的作品数量，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （3）根据平均数的定义计算即可得出结果； （4）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取的作品数量为份， 组的作品数量为：（份）， 图略； （2）解：将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是分，因此成绩的中位数是分， 由统计图可得，得分的人数最多，故此次被抽取的参赛作品的众数为分； （3）解：（分）； （4）解：列表得： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 共有20种等可能出现的结果，其中抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的情况有种， 故抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 15．（2026·江苏徐州·模拟预测）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】(1) (2)， 理由：分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴（选不同电影）． 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画出树状图，找到所有等可能的情况数和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》共3部电影， ∴甲同学选择《志愿军：雄兵出击》电影的概率为． （2）略． 16．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）现有两个转盘，转盘A被平均分成3份，分别标有数字1、2、3；转盘B被平均分成4份，分别标有数字1、2、3、4．转动两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针指向分界线，则重新转动）． (1)用列表法或画树状图的方法，列出所有等可能的结果； (2)求两个数字之和为偶数的概率． 【答案】(1)画树状图如下： 所有等可能的结果共12种，分别为； (2) 【分析】（1）画树状图可得结果； （2）由（1）得出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，两个数字之和为偶数的有6种情况， ∴两个数字之和为偶数的概率为． ▌知识点05：两次试验概率的综合应用 综合应用包括放回与不放回、有序与无序的辨析。 例如：放回摸球两次总结果＝a×a，不放回为a×(a－1)。 注意：分清“放回”与“不放回”“有序”与“组合”，这直接决定n的大小与计数方式。 17．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是_； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． 18．（25-26八年级下·江苏南通·期末）年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． (1)小龙从入口进入场馆的概率为_； (2)请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由简单概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可． 【详解】（1）解：奥体中心，两个入口均能进入场馆， 小龙从入口进入场馆的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中三人从同一入口进入场馆的有种结果，则三人从同一入口进入场馆的概率为． 19．（2026·江苏扬州·中考真题）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，共有3种等可能的选择结果，小慧选择玉米的结果只有1种 因此小慧选择玉米的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中小慧和小敏选择不同品种粗粮的结果有6种， ∴小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率是． 20．（2026·江苏连云港·中考真题）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是_（填序号）； ①必然事件    ②随机事件    ③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件； （2）解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有12种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种． （抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”）． 答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是． ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （A,B） （A,C） （A,D） B （B,A） （B,C） （B,D） C （C,A） （C,B） （C,D） D （D,A） （D,B） （D,C） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“丹顶鹤自然保护区”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率为． 故选：D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．利用画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球有4种可能的结果， 次都摸到红球）． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设件上衣分别为，对应的裤子分别为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中取自同一套的有种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 2 3 4 2 5 6 3 5 7 4 6 7 共有6种等可能的结果，其中和为偶数的结果有2种， ∴； 故选B． 二、填空题 5．（2026·江苏徐州·二模）从甲、乙、丙3人中随机选取2人参加活动，则甲和乙同时被选上的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意画树状图可知，共有种等可能的情况，其中甲和乙同时被选上的结果有种，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中甲和乙同时被选上的结果有种， 则甲和乙同时被选上的概率是． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，则两次摸到颜色相同的概率为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色相同的有13种情况， ∴两次摸到的球的颜色相同的概率为． 7．（2026·江苏泰州·一模）2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“即梦”的概率为__________． 【答案】 【分析】根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“即梦AI”的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“即梦”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“即梦AI”的概率为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_______小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 【答案】小于 【分析】本题主要考查了事件可能性大小的判断，掌握概率的计算公式是解题的关键； 用字母A，B，C分别表示小亮和他的2位同学，列举出3人站成一横排的所有可能结果， 再求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件的概率，根据二者的概率大小即可判断． 【详解】用字母A，B，C分别表示小亮和他的2位同学，则他们3人站成一横排的有6种等可能性，列举如下： 、、、、、． 其中小亮“站在中间”有2种可能，其概率为， 小亮“站在两边”有4种可能，其概率为， ， 其中小亮“站在中间”的可能性小于小亮“站在两边”的可能性． 故答案为：小于． 三、解答题 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是连云港盐城，常州南通，扬州苏州，无锡镇江． (1)若小丽选择直播的形式随机观看一场比赛，则观看连云港盐城的概率为_； (2)小明和小天中签同一场比赛，若该场比赛场馆共有，，三个入口，且三个入口均能到达场馆所有座位，小明和小天分别随机选择一个入口进入场馆现场观看比赛，求他们选择同一个入口进入场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式求解． 【详解】（1）解：从四场比赛中随机观看一场，则观看连云港盐城的概率为：； （2）解：画树状图如下： 由表格可知，共有9种可能的结果，并且它们的出现是等可能的，两人选择同一个入口进入场馆的结果有3种， 他们选择同一个入口进入场馆的概率为． 10．（2026·江苏镇江·二模）在一个不透明的袋子中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．下列事件：①随机摸取一个小球，标号为1；②随机摸取一个小球，标号大于0；③随机摸取一个小球，标号小于3；④一次性随机摸取2个小球，摸出的两个小球的标号的和为5． 请解答下列问题： (1)必然事件的是__________（填序号），事件③发生的概率为__________； (2)用列表或画树状图的方法，求出事件④发生的概率． 【答案】(1)②， (2) 【分析】（1）先根据必然事件“一定发生的事件”的定义判断，再利用概率公式计算事件③的概率； （2）用列举法列出所有等可能的结果，数出符合事件④的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】（1）解：袋子中4个小球的标号分别为1，2，3，4，所有标号都大于0，故事件②一定发生，是必然事件． 随机摸取1个小球，共有4种等可能的结果，其中标号小于3的结果为标号1，2，共2种， 因此事件③发生的概率为． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 共有12种等可能的结果，其中两个小球标号和为5的结果共4种，因此事件④发生的概率为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第五章 等可能条件下的概率 5．2 等可能条件下的概率 课时2 两次试验下的概率 ▌课时目标 1. 理解两次（两步）试验结果总数的确定方法。 2. 掌握列表法与树状图法求两次试验概率的技能。 3. 能综合利用列表或树状图计算两次试验下事件的概率并解决实际问题。 ▌课时目录 知识点01：两次试验结果总数的确定 知识点02：列表法求两次试验的概率 知识点03：画树状图求两次试验的概率 知识点04：利用树状图或列表计算事件概率 知识点05：两次试验概率的综合应用 ▌知识点01：两次试验结果总数的确定 两次（两步）试验的总结果数可用列举、列表或树状图确定，避免遗漏。 例如：掷两枚骰子，总结果＝6×6＝36种。 注意：两次试验各步独立，总数常等于各步结果数相乘；须保证每步等可能。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知一次函数，从，中随机取一个值，从，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·三模）五一假期有A、B、C三部新电影上映，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看，甲、乙2位同学选择不同电影的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． ▌知识点02：列表法求两次试验的概率 列表法将两次试验的结果排成表格，行、列分别代表两次结果，格内为组合。 数出总格数与目标事件格数，用P＝。 例如：两骰子点数和＝7的格数有6，P＝6÷36＝。 注意：表格要覆盖全部等可能组合，不重不漏。 5．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 6．（2026·江苏镇江·中考真题）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 7．（2026·江苏宿迁·中考真题）某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． (1)小丽选择场馆A的概率为_； (2)请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 8．（2026·江苏苏州·中考真题）为传承红色基因，弘扬革命文化，学校团委倾情推出“青春荟萃·追光少年”特别活动，邀你奔赴一场青春与红色记忆的邂逅．活动项目如表所示： 项目 主题 A 红色光影—革命事迹影展 B 红色工坊—袖章主题手作 C 红色出发—重走红色五卅 D 红色讲述—苏州解放故事 甲、乙两位同学分别从A、B、C、D四个项目中任意选择一个项目参加． (1)甲同学选择项目C的概率为_________； (2)求甲、乙两位同学选择相同项目的概率．（请用树状图或列表等方法说明理由） ▌知识点03：画树状图求两次试验的概率 树状图从第一次分支，再对每个分支展开第二次，末端为所有结果。 数末端总数n与目标数m，P＝。 例如：两次摸球（放回）树状图末端4或更多枝。 注意：分支要完整，放回与不放回的枝数不同，须按题意绘制。 9．（2026·江苏盐城·中考真题）小明和他的同学利用设计了一款小程序，界面如图所示，由4个色块A，B，C，D和1个“运行”按钮构成． (1)若小明点击一次“运行”按钮，则色块A发亮的概率是__________． (2)若小明点击两次“运行”按钮，用列表或画树状图的方法求两次都是色块A发亮的概率． 10．（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． (1)若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． (2)小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 11．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 12．（2026·江苏南通·中考真题）2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． ▌知识点04：利用树状图或列表计算事件概率 用树状图或列表列出全部等可能结果后，定位事件A包含的结果数m，再算P(A)＝。 例如：两次掷币至少一正，目标结果3种、总4种，P＝。 注意：列表／树状图结果须等可能，否则不能直接套。 13．（2026·江苏徐州·中考真题）2026年4月，徐州首次跻身“长红城市”榜单30强．甲、乙两人来徐州“彭城七里”游玩，若两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等，则两人选择相同景点的概率为多少？ 14．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 15．（2026·江苏徐州·模拟预测）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 16．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）现有两个转盘，转盘A被平均分成3份，分别标有数字1、2、3；转盘B被平均分成4份，分别标有数字1、2、3、4．转动两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针指向分界线，则重新转动）． (1)用列表法或画树状图的方法，列出所有等可能的结果； (2)求两个数字之和为偶数的概率． ▌知识点05：两次试验概率的综合应用 综合应用包括放回与不放回、有序与无序的辨析。 例如：放回摸球两次总结果＝a×a，不放回为a×(a－1)。 注意：分清“放回”与“不放回”“有序”与“组合”，这直接决定n的大小与计数方式。 17．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． (1)抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是_； (2)同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 18．（25-26八年级下·江苏南通·期末）年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． (1)小龙从入口进入场馆的概率为_； (2)请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 19．（2026·江苏扬州·中考真题）为促进学生营养均衡，学校在午餐时为学生提供了三种粗粮：A．红薯，B．玉米，C．山药，每名学生随机选择其中一种． (1)小慧选择玉米的概率是_______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小慧和小敏选择不同品种粗粮的概率． 20．（2026·江苏连云港·中考真题）我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是_（填序号）； ①必然事件    ②随机事件    ③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，则2次都摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·江苏徐州·二模）从甲、乙、丙3人中随机选取2人参加活动，则甲和乙同时被选上的概率是________． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，则两次摸到颜色相同的概率为_________． 7．（2026·江苏泰州·一模）2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“即梦”的概率为__________． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_______小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 三、解答题 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是连云港盐城，常州南通，扬州苏州，无锡镇江． (1)若小丽选择直播的形式随机观看一场比赛，则观看连云港盐城的概率为_； (2)小明和小天中签同一场比赛，若该场比赛场馆共有，，三个入口，且三个入口均能到达场馆所有座位，小明和小天分别随机选择一个入口进入场馆现场观看比赛，求他们选择同一个入口进入场馆的概率． 10．（2026·江苏镇江·二模）在一个不透明的袋子中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．下列事件：①随机摸取一个小球，标号为1；②随机摸取一个小球，标号大于0；③随机摸取一个小球，标号小于3；④一次性随机摸取2个小球，摸出的两个小球的标号的和为5． 请解答下列问题： (1)必然事件的是__________（填序号），事件③发生的概率为__________； (2)用列表或画树状图的方法，求出事件④发生的概率． / 学科网（北京）股份有限公司 $