5.4 概率的应用——概率帮你做估计 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第五章 等可能条件下的概率 5．4 概率的应用——概率帮你做估计 ▌课时目标 1. 理解频率与概率的关系（大量重复下频率稳定于概率）。 2. 掌握用频率估计概率、用样本估计总体的基本思想。 3. 能运用概率对事件发生可能性做估计，并解释实际问题中的频率与概率。 ▌课时目录 知识点01：用频率估计概率 知识点02：利用概率对事件发生可能性做估计 知识点03：用样本估计总体 知识点04：概率估计在实际问题中的应用 知识点05：频率与概率关系的理解 ▌知识点01：用频率估计概率 在大量重复试验中，事件发生的频率（频数÷试验次数）会稳定在其概率附近，故可用频率估计概率。 例如：抛币多次正面频率趋近。 注意：频率是试验结果、随次数变；概率是理论值，频率在大样本下近似它。 1．（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【分析】根据图象，利用频率估算概率即可. 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近，故“钉尖向上”的概率是0.618. 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某种油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 301 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________．（精确到） 【答案】 【分析】根据频率估计概率的原理，观察发芽频率随试验次数增加的稳定趋势，即可估计出概率值． 【详解】解：由表格数据可知，随着每批试验粒数的增加，该油菜籽的发芽频率逐渐稳定在附近， ∴该油菜籽种子发芽的概率为． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率=频数÷总次数的关系，可计算出、的值； （2）大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，由表格数据即可得出答案； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据频率的计算公式，可得， 根据频数的计算公式，可得； （2）解：观察表格可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是； （3）解：由（2）中得到的概率估计值，可得口袋中原有白球数量约为（个）， 向口袋中加入个白球后，白球总数量为个，球的总数量为个， 根据题意列方程得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 因此的值为． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (3)估计袋中黑球的个数为__________只； (4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了__________个黑球． 【答案】(1)不可能事件 (2)0.5 (3)25 (4)50 【分析】（1）根据袋中球的颜色种类，判断摸到红球这一事件发生的可能性； （2）观察统计图，分析随着试验次数增加，黑球频率稳定在哪个常数附近； （3）利用公式：黑球个数总球数黑球频率进行计算； （4）设放入黑球个数为，根据新的频率建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 袋子里只装有黑、白两种颜色的球， 从袋子中随机摸一个红球是不可能事件． 故答案为：不可能事件； （2）解：由统计图可知，当摸球次数越来越大时，摸到黑球的频率波动在附近， 摸到黑球的频率会接近； （3）解：袋中黑球的个数（只）； （4）解：设小明后来放进了个黑球， 由题意得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 小明后来放进了个黑球． ▌知识点02：利用概率对事件发生可能性做估计 已知（或估计出）概率后，可预测事件发生的可能大小。 例如：降雨概率70%，可估计明天很可能下雨。 注意：概率是可能性而非必然；即使概率高也可能不发生，低也可能发生。 5．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增大，该事件的频率逐渐稳定在附近． ∴估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形性质及角求出菱形面积，再根据图2得出点落在圆内的频率，最后利用几何概率公式估算阴影部分面积． 【详解】解：如图， 过点B作于点E， ∴， ∵菱形边长为，且有一个内角为， ∴，， ∴， ∴菱形的面积， 由图2可知，随着实验次数增加，点落在圆中的频率稳定在左右， ∴阴影部分面积约为． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）数学学习小组做某油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 “该批油菜籽发芽”概率的估计值是________（精确到）． 【答案】 【分析】根据大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，观察表格中频率的稳定值即可求解． 【详解】解：由表格可知，随着试验次数不断增加，该批油菜籽发芽的频率稳定在附近，因此“该批油菜籽发芽”概率的估计值为． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子中装有若干个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀．如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 122 295 480 590 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.61 0.59 0.60 0.59 估计“从中任意摸出一个球是白球”的概率是______（精确到）； 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值即为事件概率的估计值，观察表格中频率的稳定值，按要求精确即可得到结果. 【详解】由表格数据可知，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，将精确到得， 因此估计“从中任意摸出一个球是白球”的概率为. ▌知识点03：用样本估计总体 从总体抽取样本，用样本频率估计总体中某事件的概率，再进行推断。 例如：抽查100件次品率2%，估计整批约2%次品。 注意：样本须随机、具代表性；样本量越大估计越可靠，小样本误差大。 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）某中学为了丰富同学们的校园文化生活，激发学生对科技创新的兴趣，举办了“校园科技体育节·智能机器人竞速赛”，比赛成绩为百分制．该校从七年级和八年级中各随机抽取了名参赛学生的比赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 信息二：八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生在本次智能机器人竞速赛中成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有多少人？ 【答案】(1)95；93；30 (2)解：七年级成绩较好； 理由：虽然七、八年级成绩的平均数相同，但是七年级的成绩的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好． (3)380人 【分析】（1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据频数之和为10，可求出八年级D组的人数所占百分比； （2）从中位数角度得出七年级的成绩较好； （3）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，进而计算七、八年级优秀的人数即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生的成绩中出现次数最多的是95，出现2次， ∴众数； 八年级学生成绩在A组的人数为：（人）， 在B组的人数为：（人）， 在C组的人数为4人， 在D组的人数为人， ∴八年级学生成绩中位数； ∵， ∴； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有380人． 10．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）为增强中学生反诈防范意识，某校开展反诈知识学习活动．为了解七、八年级学生对反诈知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的反诈测试成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），用表示学生测试得分，共分为四组： A：；B：；C：；D：． 绘制了统计图表： 七年级20名学生测试成绩在C组的数据是：83，86，89，86，84，86，81； 八年级20名学生测试成绩是：88，68，100，70，88，95，73，74，94，76，95，78，97，79，84，86，88，90，78，99． 七、八年级抽取学生反诈测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 86 八年级 85 87 b 七年级抽取学生反诈测试成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_，_，_； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的反诈知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有1200人，八年级有1000人，请估计该校七、八年级学生反诈测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】(1)86，88，30 (2)八年级学生的反诈知识掌握情况更好．理由：七、八年级学生的平均数相同，八年级学生的中位数、众数均高于七年级的，所以八年级学生的反诈知识掌握情况更好． (3)710人 【分析】（1）先求出七年级A、B两组的人数，再确定中位数出现在哪个组即可求；根据八年级20名学生测试成绩可确定，根据七年级A、B、C组的人数可求出； （2）对比七、八年级的平均数、中位数及众数可得结论； （3）分别求出两个年级成绩不低于90分的学生人数再相加即可． 【详解】（1）解：七年级A、B两组的人数有：（人）， 20名学生的测试成绩，中位数是第10、11个数的平均数，在C组，将这组的7个数从小到大排列后是：81，83，84，86， 86， 86，89；第10、11个数分别是86，86，（分）； 八年级20名学生测试成绩中，88出现3次，出现次数最多，所以， ，所以； （2）略 （3）解：八年级20名学生测试成绩中，90及以上的人数有7人，七年级90及以上的人数占，总人数有：（人）， 答：该校七、八年级学生反诈测试成绩不低于90分的学生共有710人． 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 【答案】(1)；； (2)估计高于90分的学生有96人； (3)93． 【分析】（1）根据表格、箱线图以及中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）结合箱线图求解即可． 【详解】（1）解：由表格知， 解得； 由箱线图可知，校区中位数； B校区成绩里出现次最多，众数； （2）解：B校区样本人中高于90分的有：91，96，96，97，共4人 ∴， 答：估计高于90分的学生有96人； （3）解：A校区箱线图：最小值66，下四分位数76.5，中位数85，上四分位数91.5，最大值99． 一共20个数据，上四分位数是第15、16号两个数据的平均数，等于91.5． 也就是：第16号数据，第17号是第六组的第一个数据． 第六组：，本组一共4个学生，其中1人成绩是90分． 所有成绩从小到大排，第15、16、17、18号属于第六组，第19、20号属于第七组． 已知第六组最低分第15号成绩为90，结合第15、16号平均数为91.5， 计算可得第16号成绩为93，其余3名学生成绩最小值为93． 所以除去90分之外，剩下3名同学成绩的最小值是93． 12．（2026·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间 频数 A 3 B C D 18 E 9 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)________；________； (2)学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数； (3)请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 【答案】(1)； (2)510人 (3)该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动 【分析】（1）先求出样本容量，再结合B组所占百分比得出，结合E组人数得出， （2）根据总人数和劳动时间不少于的人所占比例即可求出答案； （3）根据所得数据进行分析即可． 【详解】（1）解：∵样本容量为， ∴； ． （2）解：（人）． ∴估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数为510． （3）解：∵该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的人数大约占总人数的，人数较多， ∴该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动． ▌知识点04：概率估计在实际问题中的应用 概率估计广泛用于天气预报、中奖率、质量抽检等。 例如：彩票中奖概率极低，不宜盲目投入。 注意：用估计值决策时要说明不确定性与误差范围，避免把“概率”当“确定结果”。 13．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1)_，_； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是_（精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，然后变形即可求出b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； ∵发芽的频率接近， ∴概率估计值为，精确到为； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 16．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)上表中的______；______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）解：“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：（个）， 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． ▌知识点05：频率与概率关系的理解 频率是试验中事件发生的相对次数，概率是稳定的理论值；随试验次数增大，频率围绕概率上下波动并趋于稳定。 例如：掷币频率随次数增多趋近。 注意：二者不等同，频率估计概率是“以频代概”的近似方法。 17．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（     ） A．白球 B．红球 C．黄球 D．不确定 【答案】C 【分析】分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项． 【详解】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球， ∴白球被取得的概率，红球被取得的概率，黄球被取得的概率， 由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率， 18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____（精确到0.01）； (2)盒子里约有白球____个； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你求出x可能是多少？ 【答案】(1)0.60 (2)24 (3)x可能是12 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， ∴摸到白球的概率约为0.60； （2）解：∵盒子中共有40个球，摸到白球的概率约为0.6， ∴盒子里约有白球（个）； （3）解：∵加入x个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 解得， 答：x可能是12． 19．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (2)估计袋中黑球的个数为__________只； (3)若袋中黑、白两种颜色球的个数与（2）中估计完全相同，小明又将一些除颜色外都相同的红球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，要使得从中摸出红球的概率最大则小明至少放进__________个红球． 【答案】(1) 0．5 (2) 20 (3) 21 【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案； （2）根据（1）的值求得答案即可； （3）根据要使得从中摸出红球的概率最大则红球的数量最多，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察发现：随着试验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率会接近0.5． （2）解：∵摸到黑球的频率会接近0.5， ∴黑球数应为球的总数的一半， ∴估计袋中黑球的个数为20只． （3）解：∵袋中黑球的个数为20只， ∴袋中白球的个数为20只． ∵从中摸出红球的概率最大， ∴红球的数量最多． ∴红球的数量大于20， ∴小明至少放进21个红球． 20．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小明的想法不合理． 理由：概率描述的是大量重复试验下随机事件发生的规律，每次抽奖都是相互独立的随机事件，少量试验的结果具有随机性，三次都抽到“谢谢参与”是可能发生的，不能由此说明中奖概率统计有问题． 【分析】（1）根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，估计抽中二等奖的概率． （2）利用估计出的二等奖概率计算二等奖人数，再结合一等奖数量计算获得“谢谢参与”的人数． （3）根据概率的意义判断小明的想法，概率反映大量重复试验的规律，少量试验结果具有随机性． 【详解】（1）解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在附近，因此抽中二等奖的概率约为． （2）解：已知总参与人数为，一等奖共个，抽中二等奖的概率约为．估计中二等奖的人数为． 因此估计获得“谢谢参与”的人数为． （3）略 ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）以下说法合理的是（   ） A．小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 【答案】D 【分析】概率是事件发生可能性大小的度量，只有大量重复试验后，才可利用频率估计概率，概率不代表有限次试验的结果一定发生，据此逐一判断选项． 【详解】解：∵只有大量重复试验才可利用频率估计概率，10次试验次数过少，不能确定钉尖朝上的概率为，∴A错误； ∵掷骰子得到6点的概率为，表示大量重复试验时，平均每6次试验会出现1次6点朝上，并非每掷6次就一定有1次掷出6点，∴B错误； ∵彩票中奖机会是，表示每张彩票中奖的可能性为，买100张彩票不一定会有5张中奖，∴C错误； ∵不同小组进行有限次试验，得到的正面朝上频率可以不同，只要在概率附近都合理，和都接近真实概率，∴D正确． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得 ∴盒中红球个数为（个）． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率为，故此选项符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项不符合题意． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．黄球 【答案】A 【分析】本题考查利用频数率分布折线图，频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键． 用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 该种球的颜色最有可能是红球． 故选：A 二、填空题 5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 【答案】 【分析】在大量重复试验中，可用事件发生的频率估计该事件发生的概率，计算出发芽的频率即可得到概率的估计值． 【详解】解：根据利用频率估计概率的方法，这种绿豆种子发芽概率的估计值等于发芽频率，即． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【答案】 【详解】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在附近， 因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率为_______（精确到）． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值，观察频率的稳定趋势后按要求精确度取值即可． 【详解】解：由表格中的数据可得，随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率逐渐在附近波动， ∴估计“针尖朝上”的概率为． 8．（2026·贵州遵义·一模）一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 【答案】18 【分析】根据概率公式得到，即可得到答案． 【详解】解：， 解得． 三、解答题 9．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 (1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是_ （精确到0.01）． (2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次从盒中摸出两枚棋，请用“列表或画树状图”计算摸出的两枚棋颜色不同的概率． 【答案】(1)0.25 (2) 【分析】（1）随着试验次数增加，频率在某个固定值附近摆动，可以用频率估计概率，据此即可求解； （2）根据（1）的结果可求得黑棋数与白球数，画出树状图，得到所有等可能结果及摸出的两枚棋颜色不同的结果，由概率公式即可求解． 【详解】（1）解：0.25； （2）解：由（1）中的结果可知，黑棋个数为（个），则白球有（个）， 画出树状图如下： 由上可得，共有12种等可能性，其中摸出的两枚棋颜色不同的可能性有6种， ∴摸出的两枚棋颜色不同的概率为． 10．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1)_，_； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为_；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是_．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 【答案】(1) ， (2) (3)①③ 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率=正确识别次数÷测试总次数，计算和的值； （2）根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，据此估计概率并按要求取近似值； （3）根据概率的意义，概率是事件发生可能性大小的量度，不是必然结果，逐一判断各说法的正误． 【详解】（1）解：由题意得，频率 ，， 因此， . （2）解：观察表格可知，随着测试次数增大，正确识别的频率逐渐稳定在附近，因此估计该系统正确识别障碍物的概率为，精确到得； （3）解：① 概率是对事件发生可能性的估计，每次识别的结果相互独立，前4次成功不能保证第5次一定成功，所以①说法错误； ② 概率反映的是平均可能性，识别10次时，成功次数是随机的，不一定是9次，所以②说法正确； ③ 概率反映的是可能性大小，不是必然结果，识别30次时，成功次数不一定是27次，所以③说法错误； 因此说法错误的是①③． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第五章 等可能条件下的概率 5．4 概率的应用——概率帮你做估计 ▌课时目标 1. 理解频率与概率的关系（大量重复下频率稳定于概率）。 2. 掌握用频率估计概率、用样本估计总体的基本思想。 3. 能运用概率对事件发生可能性做估计，并解释实际问题中的频率与概率。 ▌课时目录 知识点01：用频率估计概率 知识点02：利用概率对事件发生可能性做估计 知识点03：用样本估计总体 知识点04：概率估计在实际问题中的应用 知识点05：频率与概率关系的理解 ▌知识点01：用频率估计概率 在大量重复试验中，事件发生的频率（频数÷试验次数）会稳定在其概率附近，故可用频率估计概率。 例如：抛币多次正面频率趋近。 注意：频率是试验结果、随次数变；概率是理论值，频率在大样本下近似它。 1．（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某种油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 301 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________．（精确到） 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的口袋里装着除颜色外完全相同的黑、白两种颜色的球共25个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动过程中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 42 66 b 202 324 401 摸到白球的频率 a 0.44 0.41 0.404 0.405 0.401 (1)填空：表中__________，__________； (2)任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值是__________（精确到0.1）； (3)若向口袋里再加入个白球，这时从口袋里任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.5，求的值． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (3)估计袋中黑球的个数为__________只； (4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了__________个黑球． ▌知识点02：利用概率对事件发生可能性做估计 已知（或估计出）概率后，可预测事件发生的可能大小。 例如：降雨概率70%，可估计明天很可能下雨。 注意：概率是可能性而非必然；即使概率高也可能不发生，低也可能发生。 5．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）数学学习小组做某油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 “该批油菜籽发芽”概率的估计值是________（精确到）． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子中装有若干个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀．如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 122 295 480 590 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.61 0.59 0.60 0.59 估计“从中任意摸出一个球是白球”的概率是______（精确到）； ▌知识点03：用样本估计总体 从总体抽取样本，用样本频率估计总体中某事件的概率，再进行推断。 例如：抽查100件次品率2%，估计整批约2%次品。 注意：样本须随机、具代表性；样本量越大估计越可靠，小样本误差大。 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）某中学为了丰富同学们的校园文化生活，激发学生对科技创新的兴趣，举办了“校园科技体育节·智能机器人竞速赛”，比赛成绩为百分制．该校从七年级和八年级中各随机抽取了名参赛学生的比赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 信息二：八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生在本次智能机器人竞速赛中成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有多少人？ 10．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）为增强中学生反诈防范意识，某校开展反诈知识学习活动．为了解七、八年级学生对反诈知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的反诈测试成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），用表示学生测试得分，共分为四组： A：；B：；C：；D：． 绘制了统计图表： 七年级20名学生测试成绩在C组的数据是：83，86，89，86，84，86，81； 八年级20名学生测试成绩是：88，68，100，70，88，95，73，74，94，76，95，78，97，79，84，86，88，90，78，99． 七、八年级抽取学生反诈测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 86 八年级 85 87 b 七年级抽取学生反诈测试成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_，_，_； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的反诈知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有1200人，八年级有1000人，请估计该校七、八年级学生反诈测试成绩不低于90分的学生共有多少人？ 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 12．（2026·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间 频数 A 3 B C D 18 E 9 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)________；________； (2)学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数； (3)请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． ▌知识点04：概率估计在实际问题中的应用 概率估计广泛用于天气预报、中奖率、质量抽检等。 例如：彩票中奖概率极低，不宜盲目投入。 注意：用估计值决策时要说明不确定性与误差范围，避免把“概率”当“确定结果”。 13．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1)_，_； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是_（精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 16．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)上表中的______；______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ ▌知识点05：频率与概率关系的理解 频率是试验中事件发生的相对次数，概率是稳定的理论值；随试验次数增大，频率围绕概率上下波动并趋于稳定。 例如：掷币频率随次数增多趋近。 注意：二者不等同，频率估计概率是“以频代概”的近似方法。 17．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（     ） A．白球 B．红球 C．黄球 D．不确定 18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____（精确到0.01）； (2)盒子里约有白球____个； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你求出x可能是多少？ 19．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (2)估计袋中黑球的个数为__________只； (3)若袋中黑、白两种颜色球的个数与（2）中估计完全相同，小明又将一些除颜色外都相同的红球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，要使得从中摸出红球的概率最大则小明至少放进__________个红球． 20．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）以下说法合理的是（   ） A．小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．黄球 二、填空题 5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率为_______（精确到）． 8．（2026·贵州遵义·一模）一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 三、解答题 9．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 (1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是_ （精确到0.01）． (2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次从盒中摸出两枚棋，请用“列表或画树状图”计算摸出的两枚棋颜色不同的概率． 10．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1)_，_； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为_；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是_．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． / 学科网（北京）股份有限公司 $