3.1椭圆与直线大题中定值定点问题学案 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆定值定点问题 把垂直、斜率之和、面积这些几何条件，写成、的对称式，再用韦达定理把位置参数消掉。本学案把定值定点拆成八类模型，每类固定四段：模型特征、通法步骤、核心结论、易错提醒，配五道变式题。先练“设线—联立—韦达—消参”这条主干，再记模型结论。 01 学习目标 1．能判断一道题属于“定点”还是“定值”，并说出判断依据。 2．熟练掌握设线联立的标准流程，会写韦达定理与判别式，不漏斜率不存在的情形。 3．会把垂直、斜率之和、斜率之积、面积、距离、数量积翻译成的对称式。 4．能由读出定点坐标，也能用点差法处理中点弦。 5．记住四组常用定值结论，并能独立推导一遍，不靠死记。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·设线、联立、韦达、消参这条主干流程。 ·几何条件到代数式的翻译，尤其是斜率和与斜率积。 ·点差法：。 ·垂直弦的三条定值结论与相切定圆。 ·把与的关系整理成点斜式，读出定点。 ·目标式通分后让参数自动抵消，算错一处就前功尽弃。 ·斜率为 0、斜率不存在、三类特殊情形。 ·含等角模型时，的符号与适用条件。 03 知识结构图MIND MAP ① 定点通法 设线联立，韦达消参，写成点斜式 椭圆定值定点 八 类 模 型 ④ 垂直弦 OA 垂直于 OB，距离与倒数和为定值 ② 定值通法 目标式化归，让参数自动抵消 ⑤ 等角模型 斜率之和为 0，AB 斜率为定值 ③ 中点弦 点差法：斜率积等于负 b² 比 a² ⑥ 积为定值 积为负 b² 比 a²，A、O、B 共线 看图口诀：定值看“能不能消掉”，定点看“能不能把写成的一次式”。八类模型的主干只有一条：设线、联立、韦达、翻译、消参。翻译写对，题就做完一半。 通用五步 ① 定目标（证定点还是求定值）→ ② 设线（，另判竖直）→ ③ 联立写韦达与→ ④ 翻译（几何条件写成、的对称式）→ ⑤ 消参（化成的一次式读定点，或让抵消得定值）。 类型一 定点问题的通法与直线系TYPE 1 模型特征 题目出现“证明直线过定点”“恒过某点”“与无关”，本质是含参直线族有公共点。若直线方程能整理成，定点就是两条定直线的交点。 通法三步 ① 设或；② 联立椭圆，写出韦达与；③ 用题目条件把化成的一次式，再整理成。 口诀：设线、联立、写韦达；消参、整理、读定点。 核心结论 直线系恒过两直线与的交点。 易错提醒 ·与不是一次关系时，不能硬凑定点，先检查条件是否翻译错。 ·用必须补“斜率不存在”的情形，否则定点可能只证了一半。 ·定点读出后要回代验证，避免符号错导致定点跑到另一象限。 ·直线系整理时，参数必须乘在完整的一组系数上。 例题精练 1．直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 答案 A 按整理：。令两项同时为 0，得。定点就是两条定直线的交点。 2．直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 答案 B 整理得，解与，得。先合并同类项，再令系数与常数项分别为 0。 3．椭圆，直线与椭圆交于、，且（为原点），则与的关系为（ ） A． B． C． D． 答案 B 由代入韦达：，化简得。这是定点题最关键的一步：把条件变成与的关系。 4．在第 3 题的条件下，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 答案 C 代入得，即，，故。 5．直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 答案 D 改写为，无论取何值都过。点斜式是读定点最快的写法。 本类小结 第 1、2、5 题是直线系的“读点”，第 3、4 题是用条件求与的关系。两条路最后都落到同一句话：把参数整理成一次式。第 3 题的化简式在后面的垂直弦模型中还会反复出现。 类型二 定值问题的通法与目标式化归TYPE 2 模型特征 题目问“是否为定值”“求这个定值”，目标式里必然出现、，但最后结果与、都无关。定值题的标志：化简到底只剩下、。 通法三步 ① 设线、联立、写韦达；② 把目标式（斜率、弦长、面积、距离、数量积、比值）写成、的对称式；③ 通分代入，让与同时抵消。 口诀：先翻译，再通分；参数全消才是定值。 核心结论 A、B 关于原点对称、P 在椭圆上时，；过焦点的弦满足。 易错提醒 ·用前，先确认是直线在轴上的截距。 ·数量积展开是，中间项最易漏。 ·结论要写“为定值”，不能只丢一个数，否则等于没答完。 ·对称点模型要求 P、A、B 都在椭圆上，缺一个结论就不成立。 例题精练 6．椭圆的内接三角形（为原点）面积的最大值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 答案 A 设、，则。最大值，在两点关于原点对称时取到。 7．椭圆的内接三角形面积的最大值为（ ） A．6 B．3 C．9 D．12 答案 B 套公式。换了只换数值，结构不变。 8．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上异于、的点，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 设、，，化简得。结果与的位置无关。 9．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上异于、的点，则（ ） A． B． C． D． 答案 D 套。分子是，分母是，别倒过来。 10．过椭圆的右焦点作弦，则（ ） A．8 B．2 C．4 D．1 答案 C 焦点弦用极坐标，两端角互补，倒数和为。取通径验证：两端各，倒数和为 4。 本类小结 第 6、7 题考面积上界，第 8、9 题考对称点斜率积，第 10 题考焦点弦倒数和。三条结论都能用参数方程或极坐标快速验证，考场上忘公式就用通径或对称位置代一次。 类型三 中点弦与点差法TYPE 3 模型特征 题目给出弦的中点，求斜率；或给出斜率，求中点轨迹；或说“某点平分弦”“关于某点对称”。只要出现中点两个字，优先想点差法，不要联立。 通法三步 ① 把、分别代入椭圆；② 两式相减，提出、；③ 用、、代入。 口诀：两点代入，作差提公因式；中点坐标换进去。 原理：点差法为什么能消掉平方 设、都在椭圆上，为的中点。把两点分别代入，得到两个等式： 两式相减。平方项相减立刻变成平方差，这是整个方法的关键： 再把、代进去，并注意： 原理一句话：两个点都在同一条椭圆上，相减就把二次项降成一次项；中点坐标正好凑出、，于是斜率与中点直接挂钩，全程不必解方程，也不必求交点坐标。 完整推导（大题书写版，六步不省） 第 1 步 设点：设、，为的中点，则，。 第 2 步 代入：因为、都在椭圆上，所以 第 3 步 作差：两式相减并因式分解，得 第 4 步 变形：当时，两边同除以，并把中点坐标代入，得 第 5 步 结论：整理成，即（）。 第 6 步 讨论：若，弦垂直于轴，在轴上，此时不存在，须单独说明；若，上式分母为 0，同样要写“斜率不存在”。 核心结论 等价写法：。用它求斜率、求轨迹都是一步到位。 大题书写与得分点 ·设点是得分起点：解答题不写“设、”，直接甩结论，按 0 分处理。 ·两个代入式要写全：只写“由点差法得”会扣 2 分，阅卷看的是作差与因式分解那一步。 ·除前先声明：漏掉讨论扣 1 分，这是中点弦最常见的失分点。 ·最后要代回具体数值：求斜率、求轨迹的题，停在字母式子上不给结果分。 ·轨迹题补范围：还要写“由中点必在椭圆内”得到的限制，否则轨迹不完整，扣 1 分。 ·选择题可以直接套结论，解答题不行：同一道题，选择 30 秒，解答要写满六步，分就是这么来的。 一句话：中点弦的大题，阅卷盯的是“设点—代入—作差—因式分解—代中点—讨论”六步，结论只是最后一行；过程写全，就算最后算错，也能拿到大半步骤分。 易错提醒 ·中点必须在椭圆内部，否则这样的弦不存在。 ·时不存在，要单独说明弦垂直于长轴。 ·求轨迹时只得到直线的一部分，必须补上“点在椭圆内”的范围。 ·点差法只适用于弦的两个端点都在椭圆上，不要套到切线上。 ·只看结论、不写作差过程，解答题直接判 0 分。 例题精练 11．椭圆的弦被点平分，则（ ） A． B． C． D． 答案 A ，故。先算中点与原点连线的斜率，再取负倒数乘。 12．椭圆的弦被点平分，则（ ） A． B． C． D． 答案 B ，。顺序：在上、在下。 13．椭圆中，斜率为 1 的弦的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 答案 A 由得，再限制在椭圆内部。轨迹是直线的一段，不是整条直线。 14．椭圆中，斜率为 2 的弦的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，得。斜率越大，轨迹直线越平缓。 15．椭圆的弦的斜率，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 由得。这是第 11 题的逆用。 本类小结 五道题只用一个式子。第 11、12、15 题是“知中点求斜率”或反用，第 13、14 题是“知斜率求轨迹”。做题顺序：先算，再乘，最后补范围。 类型四 垂直弦模型TYPE 4 模型特征 出现、“以为直径的圆过原点”、“”，都是同一条件：两向量数量积为 0。这类题结论固定，可以直接用。 通法三步 ① 写出；② 代入与韦达，化简得；③ 由此读出距离、倒数和、相切圆三条结论。 口诀：垂直就是点积零；化简出来距离定。 核心结论 弦恒与定圆相切。 易错提醒 ·时过原点，此时、共线，不满足垂直，要排除。 ·斜率不存在时（轴）要单独验证，结论仍然成立。 ·距离公式里的是截距，不是弦长。 ·倒数和中的是原点到点的距离，不是弦长的一半。 例题精练 16．椭圆，、在椭圆上且，则原点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 答案 B 。直接套结论，不必再联立。 17．在第 16 题条件下，（ ） A． B． C．1 D．2 答案 A 等于。取、验证：。 18．椭圆，，则到的距离为（ ） A． B． C． D． 答案 A 。分母有理化别只写一半。 19．在第 18 题条件下，（ ） A． B． C． D． 答案 C 。两个分数先通分再相加。 20．椭圆，，则直线恒与圆相切，其中（ ） A． B．4 C． D．1 答案 C 。它正好是第 16 题距离的平方。 本类小结 第 16 至 20 题是一组“同一模型换参数”：距离、倒数和、相切圆三条结论互相印证。最简单的是取、为两个轴端点验证，既快又能检查公式是否记反。 类型五 等角模型：斜率和为 0TYPE 5 模型特征 过椭圆上一定点作两条弦、，且。几何上表示两条弦关于过的竖直线对称，俗称“手电筒模型”。 通法三步 ① 设过的直线斜率为与，分别求出另一交点、；② 用韦达或两点坐标写出；③ 化简，含的项全部抵消，只剩。 口诀：一正一负两条弦，算完斜率只剩常数。 核心结论 特例：在长轴顶点（）时，垂直于长轴，斜率不存在；在短轴顶点（）时，。 易错提醒 ·公式分子是，分母是，写反是最高频错误。 ·时不能代公式，要直接说明轴。 ·、不能与重合，否则弦退化成点。 ·等角条件也可能写成，本质相同，注意符号。 例题精练 21．椭圆，在椭圆上，过的两弦、满足，则（ ） A． B． C． D． 答案 B 。先算分母。 22．椭圆，，过的两弦满足，则（ ） A． B． C．不存在 D． 答案 C 在长轴端点，，公式分母为 0，此时轴，斜率不存在。公式失效时要回到几何。 23．椭圆，，过的两弦满足，则（ ） A． B． C． D．不存在 答案 A ，分子为 0，故，即轴。短轴端点对应水平弦。 24．椭圆，，，则（ ） A． B． C． D． 答案 C ，，乘积为。这是本模型的一个附加结论。 25．椭圆，，，则（ ） A． B． C． D． 答案 A 验证在椭圆上：。代入公式。先验点，再代数。 本类小结 第 21、25 题是公式正用，第 22、23 题考两个顶点处的退化情形，第 24 题给出这个附加关系。记住一句话：长轴端点垂直，短轴端点水平，其余代公式。 类型六 斜率之积为定值TYPE 6 模型特征 题目给出，或问“弦是否被原点平分”。这个积不是，它对应的是直径，不是垂直。 通法三步 ① 设的斜率为，则的斜率为；② 分别求出、的坐标；③ 验证、、共线，即。 口诀：积为负，两点过原点。 核心结论 即是过中心的直径，，且的最大值为（长轴）。 易错提醒 ·不是：只有圆才有。 ·、必须都在椭圆上，且也在椭圆上。 ·共线结论要求、分居原点两侧，同侧时只是同一支上的点。 ·求最大值时，长轴端点对应，不要写成。 例题精练 26．椭圆，在椭圆上，、也在椭圆上且，则、、三点的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．平行于轴 D．无法确定 答案 B 积恰好等于，故为直径，、、共线。看到这个特定的积，直接想到直径。 27．椭圆，，则与的关系是（ ） A．相等 B． C． D．无法确定 答案 A 、关于原点对称，故到原点的距离相等。直径被中心平分。 28．椭圆，，，且，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 A 、、共线且为中点，故。不必算斜率，直接用对称。 29．椭圆，，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C． D． 答案 B 是直径，最长即长轴。直径过两个长轴端点时最长。 30．椭圆，，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．6 D． 答案 C 最大值为长轴长。与第 29 题同型，换即可。 本类小结 本类的关键词是“直径”：积为⇒共线 ⇒⇒ 最长弦为。第 26 至 30 题是一条完整的推理链，会推第一条，后面四条都能顺出来。 类型七 定点检验与特殊情况TYPE 7 模型特征 答案主体已经算出，却总在最后被扣分：斜率不存在没讨论、没写、范围开闭写错。这一类专门处理“收尾”。 通法三步 ① 检查斜率是否存在，单独设验证；② 写出并给出参数范围；③ 检查端点能否取到，确定开闭。 口诀：斜率、判别式、端点，三关过完才交卷。 核心结论 相切：；两交点： 对：，这是所有范围问题的基准式。 易错提醒 ·相切是，有两个交点是，别混用。 ·通常给出的开区间，端点是相切情形，取不到。 ·竖直直线代入后是关于的二次方程，判别式要重算。 ·写“综上”时，要把斜率存在与不存在两种情形都收进去。 例题精练 31．用证明直线过定点后，还需补做的是（ ） A．直接忽略 B．单独设验证斜率不存在的情形 C．令再算一次 D．令取极限 答案 B 默认斜率存在，竖直直线必须单独设验证。这一句是定点题的固定得分点。 32．联立后要求，其作用是（ ） A．保证直线与椭圆有两个不同交点 B．保证有一个交点 C．可有可无 D．只用于求弦长 答案 A 等价于两个不同实根，即两个交点。不写判别式，韦达定理可能建立在无实根的情形上。 33．直线与椭圆交于、，则（ ） A． B． C． D．1 答案 B 代入得，，故。竖直弦直接算的差。 34．直线与椭圆相切的条件是（ ） A． B． C． D． 答案 C 令得。记忆法：截距平方 =。 35．直线与椭圆有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A 由得，两端为相切，取不到。开区间，不是闭区间。 本类小结 第 31、32 题是“流程补丁”，第 33 题练竖直弦，第 34、35 题练判别式的两个方向。这一类不做新题，只做收尾检查：斜率是否存在、是否为正、端点是否取到。 类型八 综合应用：面积与最值TYPE 8 模型特征 题目把定点、定值与面积、最值混在一起。常见问法：“面积是否为定值”“面积的最大值”“求取值范围”。先定形，再套面积公式，最后求最值。 通法三步 ① 先判断能否得到定点或定值，把图形“固定”下来；② 用或写面积；③ 用二次函数、基本不等式或参数方程求最值，注明取等条件。 口诀：先定形，再写面积，最后看取等。 核心结论 垂直弦情形：，由为定值可求范围。 易错提醒 ·面积公式里的绝对值不能丢，否则会得到负面积。 ·用基本不等式求最值，必须写出取等条件并验证点在椭圆上。 ·参数方程求最值时，注意角的范围与三角形退化情形。 ·“面积最大”与“面积取值范围”是两个问法，答案形式不同。 例题精练 36．过椭圆的上顶点作直线交椭圆于另一点，为原点，则面积的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D． 答案 B 设，得，，时取等。用基本不等式前先配方看分母。 37．椭圆，，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A 由倒数和为得，故；又，。上下界分别来自不等式与轴端点。 38．椭圆，、在椭圆上且，则面积的最大值为（ ） A．2 B． C．1 D． 答案 C 由上题，当、取两个轴端点时，取到最大值。最大值在上界处取到。 39．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上一点，则面积的最大值为（ ） A．1 B．4 C． D．2 答案 D 。最大值等于。 40．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上一点，则面积的最大值为（ ） A．3 B．6 C．12 D．9 答案 B 最大值为。与第 39 题同结构，换即可。 本类小结 第 36 题是“过顶点弦”的面积最值，第 37、38 题是垂直弦的面积范围，第 39、40 题是对称点三角形的面积最大值。三条结论的取等位置都在轴端点上，考场上一旦算出最值，立刻回代轴端点验证。 04 方法对照总表SUMMARY 类型 识别关键词 一句话做法 一 定点通法 恒过定点、与无关 整理成直线系，或把写成的一次式。 二 定值通法 是否为定值、求定值 化成对称式，通分后代韦达消参。 三 中点弦 中点、平分、中点轨迹 点差法：，再补范围。 四 垂直弦 、直径圆过原点 点积为零，得两条定值结论。 五 等角模型 过同一点两弦、斜率和为 0 一正一负设斜率，化简即得。 六 积为定值 斜率积为、是否过原点 积为，则共线。 七 收尾检验 斜率不存在、、范围开闭 斜率、判别式、端点三关逐个过。 八 综合最值 面积、最值、取值范围 先定形写面积，再用不等式验取等。 05 答案速查KEY · 1–5 为本类五题 类型 1 2 3 4 5 一 A B B C D 二 A B C D C 三 A B A C C 四 B A A C C 五 B C A C A 六 B A A B C 七 B A B C A 八 B A C D B 最后三句话（教师提示） 一、定值看结局：化简到底，和都消掉；还剩参数，就是翻译错了。 二、定点看形式：写成，定点自己就跳出来。 三、交卷前三问：斜率不存在？？端点取到？能救回大半步骤分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆定值定点问题 把垂直、斜率之和、面积这些几何条件，写成、的对称式，再用韦达定理把位置参数消掉。本学案把定值定点拆成八类模型，每类固定四段：模型特征、通法步骤、核心结论、易错提醒，配五道变式题。先练“设线—联立—韦达—消参”这条主干，再记模型结论。 01 学习目标 1．能判断一道题属于“定点”还是“定值”，并说出判断依据。 2．熟练掌握设线联立的标准流程，会写韦达定理与判别式，不漏斜率不存在的情形。 3．会把垂直、斜率之和、斜率之积、面积、距离、数量积翻译成的对称式。 4．能由读出定点坐标，也能用点差法处理中点弦。 5．记住四组常用定值结论，并能独立推导一遍，不靠死记。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·设线、联立、韦达、消参这条主干流程。 ·几何条件到代数式的翻译，尤其是斜率和与斜率积。 ·点差法：。 ·垂直弦的三条定值结论与相切定圆。 ·把与的关系整理成点斜式，读出定点。 ·目标式通分后让参数自动抵消，算错一处就前功尽弃。 ·斜率为 0、斜率不存在、三类特殊情形。 ·含等角模型时，的符号与适用条件。 03 知识结构图MIND MAP ① 定点通法 设线联立，韦达消参，写成点斜式 椭圆定值定点 八 类 模 型 ④ 垂直弦 OA 垂直于 OB，距离与倒数和为定值 ② 定值通法 目标式化归，让参数自动抵消 ⑤ 等角模型 斜率之和为 0，AB 斜率为定值 ③ 中点弦 点差法：斜率积等于负 b² 比 a² ⑥ 积为定值 积为负 b² 比 a²，A、O、B 共线 看图口诀：定值看“能不能消掉”，定点看“能不能把写成的一次式”。八类模型的主干只有一条：设线、联立、韦达、翻译、消参。翻译写对，题就做完一半。 通用五步 ① 定目标（证定点还是求定值）→ ② 设线（，另判竖直）→ ③ 联立写韦达与→ ④ 翻译（几何条件写成、的对称式）→ ⑤ 消参（化成的一次式读定点，或让抵消得定值）。 类型一 定点问题的通法与直线系TYPE 1 模型特征 题目出现“证明直线过定点”“恒过某点”“与无关”，本质是含参直线族有公共点。若直线方程能整理成，定点就是两条定直线的交点。 通法三步 ① 设或；② 联立椭圆，写出韦达与；③ 用题目条件把化成的一次式，再整理成。 口诀：设线、联立、写韦达；消参、整理、读定点。 核心结论 直线系恒过两直线与的交点。 易错提醒 ·与不是一次关系时，不能硬凑定点，先检查条件是否翻译错。 ·用必须补“斜率不存在”的情形，否则定点可能只证了一半。 ·定点读出后要回代验证，避免符号错导致定点跑到另一象限。 ·直线系整理时，参数必须乘在完整的一组系数上。 例题精练 1．直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 2．直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 3．椭圆，直线与椭圆交于、，且（为原点），则与的关系为（ ） A． B． C． D． 4．在第 3 题的条件下，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．直线恒过定点（ ） A． B． C． D． 本类小结 第 1、2、5 题是直线系的“读点”，第 3、4 题是用条件求与的关系。两条路最后都落到同一句话：把参数整理成一次式。第 3 题的化简式在后面的垂直弦模型中还会反复出现。 类型二 定值问题的通法与目标式化归TYPE 2 模型特征 题目问“是否为定值”“求这个定值”，目标式里必然出现、，但最后结果与、都无关。定值题的标志：化简到底只剩下、。 通法三步 ① 设线、联立、写韦达；② 把目标式（斜率、弦长、面积、距离、数量积、比值）写成、的对称式；③ 通分代入，让与同时抵消。 口诀：先翻译，再通分；参数全消才是定值。 核心结论 A、B 关于原点对称、P 在椭圆上时，；过焦点的弦满足。 易错提醒 ·用前，先确认是直线在轴上的截距。 ·数量积展开是，中间项最易漏。 ·结论要写“为定值”，不能只丢一个数，否则等于没答完。 ·对称点模型要求 P、A、B 都在椭圆上，缺一个结论就不成立。 例题精练 6．椭圆的内接三角形（为原点）面积的最大值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 7．椭圆的内接三角形面积的最大值为（ ） A．6 B．3 C．9 D．12 8．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上异于、的点，则（ ） A． B． C． D． 9．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上异于、的点，则（ ） A． B． C． D． 10．过椭圆的右焦点作弦，则（ ） A．8 B．2 C．4 D．1 本类小结 第 6、7 题考面积上界，第 8、9 题考对称点斜率积，第 10 题考焦点弦倒数和。三条结论都能用参数方程或极坐标快速验证，考场上忘公式就用通径或对称位置代一次。 类型三 中点弦与点差法TYPE 3 模型特征 题目给出弦的中点，求斜率；或给出斜率，求中点轨迹；或说“某点平分弦”“关于某点对称”。只要出现中点两个字，优先想点差法，不要联立。 通法三步 ① 把、分别代入椭圆；② 两式相减，提出、；③ 用、、代入。 口诀：两点代入，作差提公因式；中点坐标换进去。 原理：点差法为什么能消掉平方 设、都在椭圆上，为的中点。把两点分别代入，得到两个等式： 两式相减。平方项相减立刻变成平方差，这是整个方法的关键： 再把、代进去，并注意： 原理一句话：两个点都在同一条椭圆上，相减就把二次项降成一次项；中点坐标正好凑出、，于是斜率与中点直接挂钩，全程不必解方程，也不必求交点坐标。 完整推导（大题书写版，六步不省） 第 1 步 设点：设、，为的中点，则，。 第 2 步 代入：因为、都在椭圆上，所以 第 3 步 作差：两式相减并因式分解，得 第 4 步 变形：当时，两边同除以，并把中点坐标代入，得 第 5 步 结论：整理成，即（）。 第 6 步 讨论：若，弦垂直于轴，在轴上，此时不存在，须单独说明；若，上式分母为 0，同样要写“斜率不存在”。 核心结论 等价写法：。用它求斜率、求轨迹都是一步到位。 大题书写与得分点 ·设点是得分起点：解答题不写“设、”，直接甩结论，按 0 分处理。 ·两个代入式要写全：只写“由点差法得”会扣 2 分，阅卷看的是作差与因式分解那一步。 ·除前先声明：漏掉讨论扣 1 分，这是中点弦最常见的失分点。 ·最后要代回具体数值：求斜率、求轨迹的题，停在字母式子上不给结果分。 ·轨迹题补范围：还要写“由中点必在椭圆内”得到的限制，否则轨迹不完整，扣 1 分。 ·选择题可以直接套结论，解答题不行：同一道题，选择 30 秒，解答要写满六步，分就是这么来的。 一句话：中点弦的大题，阅卷盯的是“设点—代入—作差—因式分解—代中点—讨论”六步，结论只是最后一行；过程写全，就算最后算错，也能拿到大半步骤分。 易错提醒 ·中点必须在椭圆内部，否则这样的弦不存在。 ·时不存在，要单独说明弦垂直于长轴。 ·求轨迹时只得到直线的一部分，必须补上“点在椭圆内”的范围。 ·点差法只适用于弦的两个端点都在椭圆上，不要套到切线上。 ·只看结论、不写作差过程，解答题直接判 0 分。 例题精练 11．椭圆的弦被点平分，则（ ） A． B． C． D． 12．椭圆的弦被点平分，则（ ） A． B． C． D． 13．椭圆中，斜率为 1 的弦的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 14．椭圆中，斜率为 2 的弦的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 15．椭圆的弦的斜率，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 本类小结 五道题只用一个式子。第 11、12、15 题是“知中点求斜率”或反用，第 13、14 题是“知斜率求轨迹”。做题顺序：先算，再乘，最后补范围。 类型四 垂直弦模型TYPE 4 模型特征 出现、“以为直径的圆过原点”、“”，都是同一条件：两向量数量积为 0。这类题结论固定，可以直接用。 通法三步 ① 写出；② 代入与韦达，化简得；③ 由此读出距离、倒数和、相切圆三条结论。 口诀：垂直就是点积零；化简出来距离定。 核心结论 弦恒与定圆相切。 易错提醒 ·时过原点，此时、共线，不满足垂直，要排除。 ·斜率不存在时（轴）要单独验证，结论仍然成立。 ·距离公式里的是截距，不是弦长。 ·倒数和中的是原点到点的距离，不是弦长的一半。 例题精练 16．椭圆，、在椭圆上且，则原点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 17．在第 16 题条件下，（ ） A． B． C．1 D．2 18．椭圆，，则到的距离为（ ） A． B． C． D． 19．在第 18 题条件下，（ ） A． B． C． D． 20．椭圆，，则直线恒与圆相切，其中（ ） A． B．4 C． D．1 本类小结 第 16 至 20 题是一组“同一模型换参数”：距离、倒数和、相切圆三条结论互相印证。最简单的是取、为两个轴端点验证，既快又能检查公式是否记反。 类型五 等角模型：斜率和为 0TYPE 5 模型特征 过椭圆上一定点作两条弦、，且。几何上表示两条弦关于过的竖直线对称，俗称“手电筒模型”。 通法三步 ① 设过的直线斜率为与，分别求出另一交点、；② 用韦达或两点坐标写出；③ 化简，含的项全部抵消，只剩。 口诀：一正一负两条弦，算完斜率只剩常数。 核心结论 特例：在长轴顶点（）时，垂直于长轴，斜率不存在；在短轴顶点（）时，。 易错提醒 ·公式分子是，分母是，写反是最高频错误。 ·时不能代公式，要直接说明轴。 ·、不能与重合，否则弦退化成点。 ·等角条件也可能写成，本质相同，注意符号。 例题精练 21．椭圆，在椭圆上，过的两弦、满足，则（ ） A． B． C． D． 22．椭圆，，过的两弦满足，则（ ） A． B． C．不存在 D． 23．椭圆，，过的两弦满足，则（ ） A． B． C． D．不存在 24．椭圆，，，则（ ） A． B． C． D． 25．椭圆，，，则（ ） A． B． C． D． 本类小结 第 21、25 题是公式正用，第 22、23 题考两个顶点处的退化情形，第 24 题给出这个附加关系。记住一句话：长轴端点垂直，短轴端点水平，其余代公式。 类型六 斜率之积为定值TYPE 6 模型特征 题目给出，或问“弦是否被原点平分”。这个积不是，它对应的是直径，不是垂直。 通法三步 ① 设的斜率为，则的斜率为；② 分别求出、的坐标；③ 验证、、共线，即。 口诀：积为负，两点过原点。 核心结论 即是过中心的直径，，且的最大值为（长轴）。 易错提醒 ·不是：只有圆才有。 ·、必须都在椭圆上，且也在椭圆上。 ·共线结论要求、分居原点两侧，同侧时只是同一支上的点。 ·求最大值时，长轴端点对应，不要写成。 例题精练 26．椭圆，在椭圆上，、也在椭圆上且，则、、三点的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．平行于轴 D．无法确定 27．椭圆，，则与的关系是（ ） A．相等 B． C． D．无法确定 28．椭圆，，，且，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 29．椭圆，，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C． D． 30．椭圆，，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．6 D． 本类小结 本类的关键词是“直径”：积为⇒共线 ⇒⇒ 最长弦为。第 26 至 30 题是一条完整的推理链，会推第一条，后面四条都能顺出来。 类型七 定点检验与特殊情况TYPE 7 模型特征 答案主体已经算出，却总在最后被扣分：斜率不存在没讨论、没写、范围开闭写错。这一类专门处理“收尾”。 通法三步 ① 检查斜率是否存在，单独设验证；② 写出并给出参数范围；③ 检查端点能否取到，确定开闭。 口诀：斜率、判别式、端点，三关过完才交卷。 核心结论 相切：；两交点： 对：，这是所有范围问题的基准式。 易错提醒 ·相切是，有两个交点是，别混用。 ·通常给出的开区间，端点是相切情形，取不到。 ·竖直直线代入后是关于的二次方程，判别式要重算。 ·写“综上”时，要把斜率存在与不存在两种情形都收进去。 例题精练 31．用证明直线过定点后，还需补做的是（ ） A．直接忽略 B．单独设验证斜率不存在的情形 C．令再算一次 D．令取极限 32．联立后要求，其作用是（ ） A．保证直线与椭圆有两个不同交点 B．保证有一个交点 C．可有可无 D．只用于求弦长 33．直线与椭圆交于、，则（ ） A． B． C． D．1 34．直线与椭圆相切的条件是（ ） A． B． C． D． 35．直线与椭圆有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 本类小结 第 31、32 题是“流程补丁”，第 33 题练竖直弦，第 34、35 题练判别式的两个方向。这一类不做新题，只做收尾检查：斜率是否存在、是否为正、端点是否取到。 类型八 综合应用：面积与最值TYPE 8 模型特征 题目把定点、定值与面积、最值混在一起。常见问法：“面积是否为定值”“面积的最大值”“求取值范围”。先定形，再套面积公式，最后求最值。 通法三步 ① 先判断能否得到定点或定值，把图形“固定”下来；② 用或写面积；③ 用二次函数、基本不等式或参数方程求最值，注明取等条件。 口诀：先定形，再写面积，最后看取等。 核心结论 垂直弦情形：，由为定值可求范围。 易错提醒 ·面积公式里的绝对值不能丢，否则会得到负面积。 ·用基本不等式求最值，必须写出取等条件并验证点在椭圆上。 ·参数方程求最值时，注意角的范围与三角形退化情形。 ·“面积最大”与“面积取值范围”是两个问法，答案形式不同。 例题精练 36．过椭圆的上顶点作直线交椭圆于另一点，为原点，则面积的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D． 37．椭圆，，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 38．椭圆，、在椭圆上且，则面积的最大值为（ ） A．2 B． C．1 D． 39．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上一点，则面积的最大值为（ ） A．1 B．4 C． D．2 40．椭圆，、关于原点对称，为椭圆上一点，则面积的最大值为（ ） A．3 B．6 C．12 D．9 本类小结 第 36 题是“过顶点弦”的面积最值，第 37、38 题是垂直弦的面积范围，第 39、40 题是对称点三角形的面积最大值。三条结论的取等位置都在轴端点上，考场上一旦算出最值，立刻回代轴端点验证。 04 方法对照总表SUMMARY 类型 识别关键词 一句话做法 一 定点通法 恒过定点、与无关 整理成直线系，或把写成的一次式。 二 定值通法 是否为定值、求定值 化成对称式，通分后代韦达消参。 三 中点弦 中点、平分、中点轨迹 点差法：，再补范围。 四 垂直弦 、直径圆过原点 点积为零，得两条定值结论。 五 等角模型 过同一点两弦、斜率和为 0 一正一负设斜率，化简即得。 六 积为定值 斜率积为、是否过原点 积为，则共线。 七 收尾检验 斜率不存在、、范围开闭 斜率、判别式、端点三关逐个过。 八 综合最值 面积、最值、取值范围 先定形写面积，再用不等式验取等。 学科网（北京）股份有限公司 $