3.1.1 第2课时与椭圆有关的轨迹问题-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

.IPFI·IPF2I=16(2-5). Sam=7PFPF,1·im30°=8-45. 跟踪训练3：【解析】由已知得a=25,b=3, 所以c=√a2-B=√2-3=3， 从而1F,F,I=2c=6, 在△EPF,中，IFF,I2=IPF2+IPF,2-2IPFI·IPF,Icos60° 即36=IPFI2+IPF,I2-IPFI·IPF,L.① 由椭圆的定义得IPF,I+IPF2I=45, 即48=1PF1I2+1PF212+21PF,I·IPF2I.② 由①②得IPFI·IPF,I=4. 所以San=之PF,1·IPE,I·sin60=5 随堂检测重反馈 1.D2a=2c,则M为线段FF2上的点. 2.C根据椭圆定义，IAF,I+IAF,I=2a=8,IBFI+IBF,I= 2a=8,所以△AFB的周长为IAFI+IBFI+IABI=16,所以 IAF I+IBF I=16-1ABI =11. r7-k>0, 3.(5.6)U(6,7)由k-5>0,解得5<k<7且k≠6 7-k≠k-5, 4.120°由题意，得a2=9,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,∴.c= 7,..IF FI=2/7..IPFI=4,..IPF2I =2a-IPF I=2. cos LF PF3 1PF,2+IPE2-1F,12_4+2-(2)2 21PF IIPF,I 2×4×2 -2,又0°≤EPp,<180°，.∠PE,=120 第2课时 与椭圆有关的轨迹问题 题型探究提技能 例1：【解析】由已知得，两定圆的圆心 和半径分别为 Q1（-3,0),R1=1;Q2(3,0),R2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 如图. 由题设有IMQI=1+R,1MQ2I=9 -R, 所以IMQI+IMQ2I=10>1QQ2I=6 由椭圆的定义知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上，且a=5,c =3. 所以b2=a2-c2=25-9=16, 故对区国心的轨奇方程为会+名-1 跟踪训练1：【解析】将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+ y2=62, 这时，已知圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6，如图， 设动圆圆心M的坐标为(x,y), 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .'IBMI+ICMI =6, B米 又ICMI=IAM1,∴.IBMI+IAMI=6, -3OA3 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点 B(-2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB 的中点0(0,0)为中心的椭圆. a=3,c=2,b=√a-c=5, 心所京西心尚载连方程为号+写= 2 例2：【解析】依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(xo)(yo ≠0)，G(x,y), x=-1+1 3 则由三角形重心坐标公式可得， 即∫3x, y=3 【yo=3y, 因为点P车菊两C号+号1上， 所以学+管-1，代入与==。 得至心G的航速方程为学+3r=1y*0). 跟踪训练2：紧+学=1设0(，.P(）期0成=(， ).0亦=(6)，又由00=号0亦有(x,)=写()，则 [又6在程圆E上，所以导，号-1.即8g [yo =3y, 4 ,放点0的载迹的方程为学-1 2 例3：【解析】设动点P(x,y),则M=(x-4,y),M=（-3, 0),PW=(1-x,-y) 由已知，得-3(x-4)=6√(1-x)2+（-y)7, 化简得32+42=12，即号+号=1， 即动左P尚数连C的方程是号+亏1 跟踪训练3：2方5+5=1(y≠0)设点C(x,y)(y≠0)，则kc y 0,化简得密+云=1（≠0 随堂检测重反馈 1.A在△ABC中，B(-2,0),C(2,0),1AB1+IAC1=6>IBCI =4,则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a=3,c=2,b=5,所 以顶点A的轨迹方程是号+亏=1(：≠士3)。 2.B:√x+(y+2)2+√x+(y-2)2=5表示点P(x,y)到 定点F(0,-2),F(0,2)的距离之和为5，即1PF+1PF2 =5>1FF,I=4,∴.P点的轨迹为椭圆. 3. 4+?=设点M的坐标为(xy),点P的坐标为(xoyo),则 二X0 [xo =x, 点D的坐标为(6,0)，Di=成. 2 2 .3 20 =5 点P在圆x2+y2=4上，.x后+哈=4，.x2+ ()=4， “点址的机迹方程是号+亏=1 4.25+9=1因为动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到 25 定直线：x=空的距离的比是常数号，所以-5平 25 x一4 号即25[(x-42+y]=16(-翠)，整理可得9听+25y =225,即芳+号=1. 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点 -a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a坐标轴坐 标原点A(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0, -a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2aa2bb(0,1) 预习自测 1B能圆苦+兮=1的左，右焦点分别为R,5,可得a=2.6 =√5，则c=1,则1F,F21=2c=2.故选B. 2.6由椭圆的定义可知a2=9→a=3,所以长轴长为2a=6. 3A由=5e,得店=36，即4-3×，解得a=25 a 3 题型探究提技能 例1：【解析】箱圆方程可化为号+片=1。 ①当0<m<4时，a=2,b=m,c=√4-m,.e=&= 4m=分 2 解得m=3,.b=√3，c=1,椭圆的长轴长和短轴长分别是 4,23, 焦点坐标为F(-1,0),F2(1,0), 顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-5),B2(0,5) ②当m>4时，a=m,b=2,.c=m-4, a √m 小横圆药长轴长和短错长分别为品，4。 焦点鱼标为(0.2)(0,2） 顶点垒标为4(0.-45)4(0.)B(-2.0),R(2, 0) 跟踪训练1：【解析】(1)椭圆C1:2x2+5y2=10的方程可化为 亏+亏=1可得英长半轴长为5， 短半轴长为2，焦点坐标为(5,0)，(-3,0)， 离心率e=尽=5 55 2袋网C苦+号1 性质：①范围：-2≤x≤√2，-5≤y≤√5； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称： -22 ③顶点：长轴端点为(0,5)，(0，-5)，短轴端点为(-2， 0),(2,0) ④焦点：(0,3)，(0，-5)： ⑤离心率：e=及=5 55 欲：解折】)设指园方程为兰+卡=1(a>>0)。 r2b=a, ,解得a2=148,b2=37, 62 所以椭圆方程为48+37=1. (2)设椭圆的标准方程为号+号 y 9a+存=1 (a>b>0), 因为在x轴上的一个焦点与短轴两 端点的连线互相垂直，且半焦距 为6， 如图所示，c=b=6,所以a=6,2, 所以情国的方程为号+名=1 跟踪训练2：【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准 方程为+Y=1(a>b>0),由题意，得a=3, 因为e华所以c=6 从而=。-心=3，所以霜回的标准方程为号+号-1： 当瘤圆的焦点在抽上时汉霜园的标准方程为背 a =1(a>b>0), 由题意，得b=3, 图为停所以合。 3 把6=3代入，得。2=27，所以椭圆的标准方程为7+若三1， 综上可知，所求潮国的标准方程为号+号-1或号+号-山 ,解法一：由题意可设IPF,I=m,结合条件可知IPFI= 2m,1FB1=5m,故离心率e=S=2兰=1EEl a=2a=1PF,1+1Pp,= 3m-5 2m+m-3 解法二：由PF2⊥F,F2可知P点的横坐标为c,将x=c代人椭 圆方程可得y=±会，所以1P,1:会又由∠P听月=0可 得1FF,1=51PF,1,故2c=万.，变形可得5(02-2)= 2ac,等式两边同除以。2，得5(1-e)=2c,解得e= 3或e= -5(舍去) 跟踪训练3：C假设1PF,I=21PF2I,在椭圆中，1PF,I+IPF2I =2PF,1+PF,1=31PR,1=2,所以1PE,-号，1PF,1= 号：叉1P1-1P,I≤IE,,所以号≤2，即了≤行所以 6086 随堂检测重反馈 1.已知F,F2为两定点，1F,F2I=4,动点M满足IMF,I+IMF2I=4,则动点M的轨迹是 ( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2已知E,上，是椭圆6+61的两焦点，过点F,的直线交椭圆于A,B两点，若1AB1=5,则1A +IBFI等于 A.9 B.10 C.11 D.12 ®若方程+51表示椭圆，则实数的取值范用为 椭圆。+〉=1的左石焦点分别为E,E,点P在椭圆上，若1PP,I=4,则∠上 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[24] 第2课时与椭圆有关的轨迹问题 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法。 数学抽象、数学建模 2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；到两定点的距 [提示] 离之和为定值（定值大于两定点间的距离）的点的轨迹 依据给定条件，求出 是椭圆.那么一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+ 动点的轨迹方程，可 y2-32=0内切，动圆圆心的轨迹是什么图形呢？ [提示] 以判定轨迹是一个椭 圆 曰新知初探 知识点一定义法求轨迹方程 观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲 线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点 知识点二相关点（代入法）求轨迹方程 如果出现“主动点”带动“被动点”运动，主动点在已知曲线上，则适用代入 法求轨迹方程.一般步骤为： (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标 为(x,yo) (2)找出(x,y)与(xo,yo)之间的等量关系，用x,y表示xo,yo (3)将xo,y。代入其所在的曲线方程. (4)化简方程得所求方程 087 知识点三直接法求轨迹方程 (1)设点：设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系，要先建系)； (2)找条件：写出M要满足的条件，有时要利用平面图形的几何性质找关系，并将该几何条件用 M的坐标表示出来； (3)得方程：化简得到点M的轨迹方程； (4)检验：检查有无不适合的点，如果有则注明变量不能取得的值 题型探究提技能 题型一定义法求轨迹方程 [方法总结1] 例1一个动圆与圆Q:(x+32+2=1外切，与圆Q:(x-3)2+y=81内 利用椭圆的定文求轨 迹方程的一般思路 切，试求这个动圆圆心的轨迹方程 P[方法总结1] 观察几何图形，根据 几何图形的直观性质 得到动点轨迹的几何 性质，由椭圆的定义 直接得到动点轨迹的 方程.注意检验是否 有要删除的点 〉跟踪训练1 一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程. [方法总结2] 相关点（代入法）的关 键点是用所求动点的 题型二相关点（代入法）求轨迹方程 坐标(x,y)表示相关 例2已知R,R分别为椭圆c:苦+芳=1的左，右焦点，点P是椭圆C上 动点的坐标（x, y0)，借用x,y。满足 的关系式得到x,y的 的动点，求△PF,F2的重心G的轨迹方程 P[方法总结2] 关系式 088 )跟踪训练2 已知点P为椭调：号+片-1上的动点，点Q消足O0-兮0加(0为坐标原 点).则点Q的轨迹M的方程为 [方法总结3] 题型三直接法求轨迹方程 求轨迹方程时，没有 坐标系时要先建立坐 例3.已知M(4,0),N(1,0),且动点P满足·MP=61P.求动点P的 标系，设轨迹上任意 轨迹C的方程. P[方法总结3] 一点的坐标为(x, y),轨迹方程就是 x,y之间的等式，关 键是找到等量关系， 然后用x,y表示. 》跟踪训练3 已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，边AC,BC所在 直线的斜率之积等于- ，则顶点C的筑迹方程为 随堂检测重反馈 1.在△ABC中，B(-2,0),C(2,0),1AB1+IAC1=6,则顶点A的轨迹方程是 写+号=1(x≠士3) B 2 9+5=1(x≠±2) C号+-1(x≠±3) 9+4 +=1(x≠±2) 9 2.设P(x,y)满足√2+(y+2)尸+√2+(y-2)7=5,则P点的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 3在圆+=4上任取-点P,过点P作x轴的买线段Pm,D为垂足，DM=停加当点P在圆上 运动时，点M的轨迹方程是 4.动点M(,)与定点P(4,0)的距离和M到定直线1：x-草的距离的比是常数专，侧则动点M的轨 迹方程是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[25]