3.1.2 椭圆的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 椭圆的简单几何性质【解析】 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 · 导学案 【内容导航】 上一课时我们从椭圆的定义出发，用坐标法建立了它的两种标准方程。方程是「代数外形」，本课时的任务是反过来做一次「由数想形」的工作：从标准方程出发，读出椭圆的范围、对称性、顶点与离心率等几何性质，让「数」与「形」在我们手中互通。 这条「由方程研究性质」的路线是解析几何的看家本领，上一册研究圆时用过，今后研究双曲线、抛物线时还要照此办理，因此本课时具有鲜明的方法论示范价值：拿到一条曲线的方程，先看范围（曲线有多大）、再看对称性（曲线是否匀称）、然后找顶点（曲线的关键点）、最后算离心率（曲线的「胖瘦」）。 本节的知识链为： 椭圆的标准方程 范围（，） 对称性（关于两坐标轴、原点对称） 顶点与长轴、短轴（、、 的几何意义） 离心率 （刻画扁圆程度） 由性质反求方程与综合应用。 本节的核心方法是数形结合：把方程代数化地「读」成图形特征，再把图形特征「翻译」回代数条件。其中离心率 是圆锥曲线的第一条定量性质，也是高考考查本课时的第一热点。 本课时的核心问题： . 怎样从标准方程 中读出椭圆的范围与对称性？ . 四个顶点、长轴、短轴与 、、 有什么关系？为什么 、、 恰好构成一个直角三角形？ . 离心率 怎样刻画椭圆的扁圆程度？已知离心率与一个基本量，怎样反求椭圆方程？ 【导学目标导航】 一、知识目标 . 能根据椭圆的标准方程求出它的范围，会说明椭圆关于 轴、 轴和原点都是对称的，明确对称轴与对称中心； . 理解顶点、长轴、短轴的概念，掌握四个顶点的坐标与长轴长 、短轴长 、焦距 之间的关系； . 理解离心率 的定义及其几何意义，掌握 及 与椭圆扁圆程度的关系； . 能根据离心率、长轴长、焦距、顶点等条件求椭圆的标准方程； . 了解通径等拓展性质，会用 、、、 的互化解决综合问题。 二、能力目标 . 能从方程出发，通过简单的代数变形（不等式、代换）读出曲线的几何特征，提升「由数想形」的转化能力； . 能利用 与 在 、、、 四个量之间熟练互化（知二求二）； . 能综合运用定义与几何性质，解决焦点三角形、距离最值等中档问题。 三、素养目标 . 数学抽象：从「分母定大小」「比决定扁圆」等具体运算中抽象出椭圆性质的一般结构； . 逻辑推理：由 与 推出 ，并据此判断椭圆的扁圆程度； . 直观想象：借助图形理解 、、 的几何意义与离心率的几何解释，做到「见式想图、见图列式」； . 数学运算：、、、 之间的互化运算，以及含根式、含比例的方程求解。 【导学重点】 . 椭圆的范围、对称性、顶点与离心率； . 由几何性质反求椭圆的标准方程。 【导学难点】 . 离心率刻画扁圆程度的理解（ 越大越扁、 越小越接近圆）； . 、、、 四个量的灵活互化，特别是「知二求二」型问题的求解； . 焦点在 轴上的椭圆的顶点与范围（与焦点在 轴上的情形对照记忆，防止张冠李戴）。 【知识框架】 一级栏目 具体内容 范围 由标准方程得 、（焦点在 轴），椭圆夹在四条直线 、 围成的矩形内 对称性 关于 轴、 轴都是对称的，关于原点也是对称的；两坐标轴是对称轴，原点是对称中心 顶点 焦点在 轴：、；焦点在 轴：、，共四个 长轴与短轴 长轴长 、短轴长 ； 叫长半轴长， 叫短半轴长， 叫半焦距 基本关系 （ 最大）；、、 构成直角三角形的三边，短轴端点到焦点的距离等于 离心率 ，； 越大椭圆越扁， 越小椭圆越接近圆； 通径（拓展） 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，长为 常用结论 ；过焦点的弦被焦点分成的两段与另一焦点构成的三角形周长为 主要题型 由方程读性质、由性质求方程、离心率的计算与取值范围、定义与性质的综合 【导学过程】 一、知识要点 （一）知识回顾 . 椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹； . 标准方程：焦点在 轴：（）；焦点在 轴：（）； . 基本量：，；焦点 或 ； . 研究思路：本课时把方程当作「已知」，图形当作「未知」，完成一次由数到形的研究。 （二）范围 以焦点在 轴上的椭圆 （）为例。由 得 ，即 ；同理 。这说明椭圆位于四条直线 、 围成的矩形内（推导见「公式推导 」）。 焦点在 轴上时同样有 、。记忆要领：范围中「较大的界」总是配着 （分母较大的那个变量）。 （三）对称性 在标准方程中，把 换成 、 换成 ，方程都不变。因此： . 椭圆关于 轴对称（把 换成 方程不变）； . 椭圆关于 轴对称（把 换成 方程不变）； . 椭圆关于原点对称（同时把 、 换成相反数方程不变），原点是对称中心。 因此，两坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。对称中心又叫做椭圆的中心，本章研究的椭圆都是中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆。 （四）顶点、长轴与短轴 椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。焦点在 轴上的椭圆有四个顶点： 线段 （、）叫做椭圆的长轴，长为 ；线段 （、）叫做椭圆的短轴，长为 。、 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长， 叫做半焦距。 图 椭圆的几何特征 如图 ，连接短轴端点 与右焦点 ，则 即 这就是 、、 的「直角三角形关系」：、、 恰好构成一个以 为斜边的直角三角形——长半轴长是斜边，短半轴长与半焦距是两条直角边。记忆时抓住图 中的三角形 ：（竖）、（横）、（斜）。 （五）离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。因为 ，所以 。 图 不同离心率的椭圆对比 离心率刻画椭圆的扁圆程度。由 可知： . 越大， 越小， 与 相差越悬殊，椭圆越扁； . 越小， 越接近 ， 越接近 ，椭圆越接近圆； . 当 （即 、）时，两焦点重合，图形就是圆——圆是离心率为 的「椭圆」（如图 ）。 注意： 的大小与椭圆的大小无关，只与形状（扁圆程度）有关——把椭圆放大或缩小， 不变。 （六）常用结论与拓展 . 焦半径的范围：椭圆 上任一点 到焦点 的距离满足 （最近点、最远点分别是靠近、远离该焦点的长轴端点）； . 焦点三角形周长：过焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为 ； . 通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，长为 （推导见「公式推导 」）； . 由圆压缩看扁圆：把圆 上各点的纵坐标压缩为原来的 倍，得到椭圆 ；压缩比 越小，椭圆越扁。 二、公式推导 推导 ：范围的推导 设椭圆 （）上任一点为 。由方程知 所以 ，即 ；同理，由 得 ，即 。 因此椭圆夹在矩形 、 内，且与该矩形的四条边分别恰有一个公共点（即四个顶点）。 点评：这是「由方程读性质」的第一个示范——不需要画图，纯代数推理就能确定曲线的活动范围；反过来，范围也是检验所求方程是否合理的快速手段。 推导 ：对称性的推导 设点 在椭圆上，即它的坐标满足 。 把 换成 ：方程变为 ，与原方程完全相同，所以点 也在椭圆上——椭圆关于 轴对称； 把 换成 ：同理可知椭圆关于 轴对称； 同时把 、 都换成相反数：方程不变，所以椭圆关于原点对称。 点评：「代换不变则图形对称」是用方程研究对称性的通用方法，今后判断双曲线、抛物线的对称性照此办理。注意一般方程 （、，）都具备这两轴一中心的对称性。 推导 ：、、 的直角三角形关系 取短轴端点 与右焦点 ，由两点间距离公式： 由 得 ，所以 这说明：短轴端点到焦点的距离等于长半轴长 ，且 是以 为斜边、 与 为直角边的直角三角形。 点评：这一关系是 的几何化身，也是许多高考题的「隐含台阶」——见到「短轴端点」与「焦点」，立即想到长度 与直角三角形。 推导 ：离心率刻画扁圆程度的推导 由 与 ，得 即 于是 的大小完全由比值 决定： . 当 增大时， 减小，即 减小——短半轴相对长半轴越来越短，椭圆越来越扁； . 当 减小并趋近 时， 趋近 ，椭圆越来越接近圆； 时 ，方程变为 ，即圆。 又 ，故 ，这是离心率的取值范围。 点评： 是高考高频等式——已知 可求 ，已知 可求 ；许多「离心率取值范围」问题最终都化归为对 （或 ）的估计。 推导 ：通径长度的推导 考虑焦点在 轴上的椭圆 。过左焦点 且垂直于长轴的直线为 ，代入椭圆方程： 解得 所以 。这条弦的两个端点为 、，弦长为 点评：通径是「焦点附近最陡的弦」，其长度 把三个基本量联系在一起；通径越短，椭圆越扁——它与离心率一样是形状的「温度计」。 图 通径示意图 三、例题讲解 例 （中等题型） 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。（教材例 ） 解析：把方程化为标准形式 ，所以 、、。 因此，椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率 ； 两个焦点的坐标分别是 、，四个顶点的坐标分别是 、、、。 点评：本题是「由方程读性质」的规范流程：先化标准方程、定焦点位置（ 的分母大，焦点在 轴上），再求 、、，最后逐项作答。答题时要「长轴长、短轴长」与「长半轴、短半轴」区分清楚——问的是 、 还是 、。 例 （提高题型） 已知椭圆的焦点在 轴上，离心率 ，且经过顶点 ，求它的标准方程。 解析：焦点在 轴上，经过顶点 ，而 在长轴端点上，所以 。 由 ，得 ，所以 。 所求标准方程为 点评：本题与例 互为逆问题——例 「由方程读性质」，本题「由性质定方程」。注意到所求方程恰为例 的方程，这正说明「性质」与「方程」是同一对象的两种表述。解这类题的枢纽是 、、、 的互化：知二求二， 与 两条等式联立即可。 例 .（提高题型） 已知椭圆 的左焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交椭圆于 、 两点，求 ，并求 。 解析：由方程知 、、，，所以 ，直线 的方程为 。 代入椭圆方程：，解得 ，。 所以 、，。 由通径公式，，与直接计算一致。 即点 到 的距离：，恰为通径长的一半，等于 。 点评：通径长 与半通径 是「焦点弦」家族中最常用的两个量；本题先直接计算、再用公式验证，两种做法都应熟练。 例 （近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 高考真题】已知 、 是椭圆 （）的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，，则 的离心率为（　） A．　　 B． C．　　 D． 解析：先定形： 中 是钝角，而等腰三角形的底角必为锐角，所以 只能是顶角，两腰为 与 ，即 。 再定点：过 作 轴于 ，则 ，、，所以 （若 在 轴下方，由椭圆关于 轴对称，结论相同）。 最后用斜率条件：由 、，得 解得 ，所以 。 故选 D。 点评：本题的骨架是「等腰三角形＋特殊角 在焦点三角形中定出 的坐标 斜率条件 离心率」：先用顶点与对称性建系，再用几何性质（焦距 ）表示关键点，最后把「点在直线上」翻译成方程。「图形特征定坐标、代数条件定离心率」正是高考离心率小题的通用流程。 例 .（近三年高考题型） 【 · 全国甲卷 · 理 · 高考真题改编】椭圆 的左顶点为 ，点 、 均在 上，且关于 轴对称。若直线 、 的斜率之积为 ，则 的离心率为（　） A．　　 B． C．　　 D． 解析：设 ，则 。由 ，得 所以 又 在椭圆上，，代入上式： 所以 。 故选 A。 点评：本题是「斜率之积 离心率」的典范：设而不求，把 用椭圆方程表示，约去 后立即得到 ，最后用 收尾。注意本题斜率之积为正（、 在 轴同侧）；若把 、 改为关于 轴对称，斜率之积为负，思路完全一致。此题的完整推广（第三定义）将在后续学习中出现。 例 .（创新题型） 某剧院的「耳语墙」剖面是一个椭圆，墙面方程为 （单位：米）。声学事实：从一个焦点发出的声波经墙面反射后，都经过另一个焦点。 （）演员站在焦点 处轻声说话，声波经墙面反射后传向焦点 。求声波从 出发、经墙面反射到 的路径总长； （）求声源 到墙面的最近距离与最远距离。 解析：（）由方程知 、、。设反射点为 ，由椭圆定义， 所以无论声波碰到墙面的哪一点，从 经该点反射到 的路径总长恒为 米——这就是耳语墙「处处等距传声」的数学原理。 （） 的取值范围是 。 最近距离 米（ 为右顶点时），最远距离 米（ 为左顶点时）。 点评：本题为阅读材料式建模题：反射性质（入射角等于反射角时反射线过另一焦点）作为声学事实直接给出，需要我们做的只有两件事——用定义解释「路径总长恒定」（第()问），用焦半径范围求最近与最远距离（第()问）。创新题的设问常在「性质的几何解释」上，把 、 的几何意义（最近、最远）记牢即可通吃。 四、方法分析 （一）四种常用方法 . 由方程读性质：化标准方程 定焦点位置（分母大者） 求 、、 逐项写出范围、顶点、焦点、离心率； . 由性质求方程：把「长轴长 」「焦距 」「离心率 」「通径 」「顶点」等条件翻译成 、、 的方程（组），解出后按焦点位置写出标准方程； . 知二求二：、、、 四个量由 与 两条关系联系，知道任意两个即可求出其余两个；常用变形 ； . 定义＋性质综合：涉及椭圆上点到焦点的距离，先用定义（和为 ）或焦半径范围（），再结合基本不等式、对称性求最值。 （二）六个易错点 . 长轴长、短轴长与长半轴、短半轴混淆：题目问「长轴长」答 ，问「长半轴」答 ； . 焦点位置判断失误：、、 的名称跟着焦点走——焦点在 轴上时， 是 分母的平方根，顶点 ； . 离心率与「大小」混淆： 只描述形状，与椭圆大小无关；两个大小不同、形状相同的椭圆离心率相等； . 「越扁 越大」记反： 是圆、 极扁；可用极端情形记忆（ 接近 时 相对很小，自然扁）； . 焦半径范围写错端点：，最小值在靠近该焦点的顶点处取得，不是在原点附近； . 斜率之积类问题符号搞错：、 关于 轴对称且 为左顶点时，积为 ；关于 轴对称时积为 ——先画草图定符号再动笔。 五、变式练习 变式 .（提高题型） 已知椭圆的焦点在 轴上，离心率 ，且半焦距 ，求它的标准方程。 【解析】由 与 ，得 ；。 焦点在 轴上，标准方程为 变式 .（提高题型） 已知椭圆 的两个焦点为 、，过 的直线与椭圆交于 、 两点，求 的周长。 【解析】 的分母 较大，焦点在 轴上，。由椭圆定义， 点评：本题有两个考点——先用「分母定位置」确认 ，再用定义把周长化归为 ；直线 的具体位置不影响结果。 变式 .（高考题型） 【 · 新课标Ⅰ卷 · 同源变式】设椭圆 ， 的离心率分别为 、。若 ，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】 中 、，； 中 。 由 ，得 ，即 ，，，符合题意。 变式 .（高考题型） 【5· 全国甲卷 · 理 同源考法】椭圆 的左顶点为 ，点 、 均在 上，且关于 轴对称。若直线 、 的斜率之积为 ，求 的离心率。 【解析】设 ，则 。仿例 ，。 所以 。 6、 本节知识总结 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图 形 性质 范 围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶 点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 板块 核心内容 范围 焦点在 轴：、；焦点在 轴：、 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点对称；对称中心为原点 顶点 四个顶点：、（焦点在 轴）；长轴长 、短轴长 基本关系 ；短轴端点到焦点的距离等于 （直角三角形关系） 离心率 ；； 越大越扁、越小越圆，与大小无关 通径 过焦点垂直于长轴的弦，长 常用结论 ；过焦点的弦分椭圆上的点与另一焦点构成周长 的三角形 思想方法 由数想形、数形结合、知二求二、定义与性质结合 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 椭圆的简单几何性质 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 · 导学案 【内容导航】 上一课时我们从椭圆的定义出发，用坐标法建立了它的两种标准方程。方程是「代数外形」，本课时的任务是反过来做一次「由数想形」的工作：从标准方程出发，读出椭圆的范围、对称性、顶点与离心率等几何性质，让「数」与「形」在我们手中互通。 这条「由方程研究性质」的路线是解析几何的看家本领，上一册研究圆时用过，今后研究双曲线、抛物线时还要照此办理，因此本课时具有鲜明的方法论示范价值：拿到一条曲线的方程，先看范围（曲线有多大）、再看对称性（曲线是否匀称）、然后找顶点（曲线的关键点）、最后算离心率（曲线的「胖瘦」）。 本节的知识链为： 椭圆的标准方程 范围（，） 对称性（关于两坐标轴、原点对称） 顶点与长轴、短轴（、、 的几何意义） 离心率 （刻画扁圆程度） 由性质反求方程与综合应用。 本节的核心方法是数形结合：把方程代数化地「读」成图形特征，再把图形特征「翻译」回代数条件。其中离心率 是圆锥曲线的第一条定量性质，也是高考考查本课时的第一热点。 本课时的核心问题： . 怎样从标准方程 中读出椭圆的范围与对称性？ . 四个顶点、长轴、短轴与 、、 有什么关系？为什么 、、 恰好构成一个直角三角形？ . 离心率 怎样刻画椭圆的扁圆程度？已知离心率与一个基本量，怎样反求椭圆方程？ 【导学目标导航】 一、知识目标 . 能根据椭圆的标准方程求出它的范围，会说明椭圆关于 轴、 轴和原点都是对称的，明确对称轴与对称中心； . 理解顶点、长轴、短轴的概念，掌握四个顶点的坐标与长轴长 、短轴长 、焦距 之间的关系； . 理解离心率 的定义及其几何意义，掌握 及 与椭圆扁圆程度的关系； . 能根据离心率、长轴长、焦距、顶点等条件求椭圆的标准方程； . 了解通径等拓展性质，会用 、、、 的互化解决综合问题。 二、能力目标 . 能从方程出发，通过简单的代数变形（不等式、代换）读出曲线的几何特征，提升「由数想形」的转化能力； . 能利用 与 在 、、、 四个量之间熟练互化（知二求二）； . 能综合运用定义与几何性质，解决焦点三角形、距离最值等中档问题。 三、素养目标 . 数学抽象：从「分母定大小」「比决定扁圆」等具体运算中抽象出椭圆性质的一般结构； . 逻辑推理：由 与 推出 ，并据此判断椭圆的扁圆程度； . 直观想象：借助图形理解 、、 的几何意义与离心率的几何解释，做到「见式想图、见图列式」； . 数学运算：、、、 之间的互化运算，以及含根式、含比例的方程求解。 【导学重点】 . 椭圆的范围、对称性、顶点与离心率； . 由几何性质反求椭圆的标准方程。 【导学难点】 . 离心率刻画扁圆程度的理解（ 越大越扁、 越小越接近圆）； . 、、、 四个量的灵活互化，特别是「知二求二」型问题的求解； . 焦点在 轴上的椭圆的顶点与范围（与焦点在 轴上的情形对照记忆，防止张冠李戴）。 【知识框架】 一级栏目 具体内容 范围 由标准方程得 、（焦点在 轴），椭圆夹在四条直线 、 围成的矩形内 对称性 关于 轴、 轴都是对称的，关于原点也是对称的；两坐标轴是对称轴，原点是对称中心 顶点 焦点在 轴：、；焦点在 轴：、，共四个 长轴与短轴 长轴长 、短轴长 ； 叫长半轴长， 叫短半轴长， 叫半焦距 基本关系 （ 最大）；、、 构成直角三角形的三边，短轴端点到焦点的距离等于 离心率 ，； 越大椭圆越扁， 越小椭圆越接近圆； 通径（拓展） 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，长为 常用结论 ；过焦点的弦被焦点分成的两段与另一焦点构成的三角形周长为 主要题型 由方程读性质、由性质求方程、离心率的计算与取值范围、定义与性质的综合 【导学过程】 一、知识要点 （一）知识回顾 . 椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹； . 标准方程：焦点在 轴：（）；焦点在 轴：（）； . 基本量：，；焦点 或 ； . 研究思路：本课时把方程当作「已知」，图形当作「未知」，完成一次由数到形的研究。 （二）范围 以焦点在 轴上的椭圆 （）为例。由 得 ，即 ；同理 。这说明椭圆位于四条直线 、 围成的矩形内（推导见「公式推导 」）。 焦点在 轴上时同样有 、。记忆要领：范围中「较大的界」总是配着 （分母较大的那个变量）。 （三）对称性 在标准方程中，把 换成 、 换成 ，方程都不变。因此： . 椭圆关于 轴对称（把 换成 方程不变）； . 椭圆关于 轴对称（把 换成 方程不变）； . 椭圆关于原点对称（同时把 、 换成相反数方程不变），原点是对称中心。 因此，两坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。对称中心又叫做椭圆的中心，本章研究的椭圆都是中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆。 （四）顶点、长轴与短轴 椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。焦点在 轴上的椭圆有四个顶点： 线段 （、）叫做椭圆的长轴，长为 ；线段 （、）叫做椭圆的短轴，长为 。、 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长， 叫做半焦距。 图 椭圆的几何特征 如图 ，连接短轴端点 与右焦点 ，则 即 这就是 、、 的「直角三角形关系」：、、 恰好构成一个以 为斜边的直角三角形——长半轴长是斜边，短半轴长与半焦距是两条直角边。记忆时抓住图 中的三角形 ：（竖）、（横）、（斜）。 （五）离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。因为 ，所以 。 图 不同离心率的椭圆对比 离心率刻画椭圆的扁圆程度。由 可知： . 越大， 越小， 与 相差越悬殊，椭圆越扁； . 越小， 越接近 ， 越接近 ，椭圆越接近圆； . 当 （即 、）时，两焦点重合，图形就是圆——圆是离心率为 的「椭圆」（如图 ）。 注意： 的大小与椭圆的大小无关，只与形状（扁圆程度）有关——把椭圆放大或缩小， 不变。 （六）常用结论与拓展 . 焦半径的范围：椭圆 上任一点 到焦点 的距离满足 （最近点、最远点分别是靠近、远离该焦点的长轴端点）； . 焦点三角形周长：过焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为 ； . 通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，长为 （推导见「公式推导 」）； . 由圆压缩看扁圆：把圆 上各点的纵坐标压缩为原来的 倍，得到椭圆 ；压缩比 越小，椭圆越扁。 二、公式推导 推导 ：范围的推导 设椭圆 （）上任一点为 。由方程知 所以 ，即 ；同理，由 得 ，即 。 因此椭圆夹在矩形 、 内，且与该矩形的四条边分别恰有一个公共点（即四个顶点）。 点评：这是「由方程读性质」的第一个示范——不需要画图，纯代数推理就能确定曲线的活动范围；反过来，范围也是检验所求方程是否合理的快速手段。 推导 ：对称性的推导 设点 在椭圆上，即它的坐标满足 。 把 换成 ：方程变为 ，与原方程完全相同，所以点 也在椭圆上——椭圆关于 轴对称； 把 换成 ：同理可知椭圆关于 轴对称； 同时把 、 都换成相反数：方程不变，所以椭圆关于原点对称。 点评：「代换不变则图形对称」是用方程研究对称性的通用方法，今后判断双曲线、抛物线的对称性照此办理。注意一般方程 （、，）都具备这两轴一中心的对称性。 推导 ：、、 的直角三角形关系 取短轴端点 与右焦点 ，由两点间距离公式： 由 得 ，所以 这说明：短轴端点到焦点的距离等于长半轴长 ，且 是以 为斜边、 与 为直角边的直角三角形。 点评：这一关系是 的几何化身，也是许多高考题的「隐含台阶」——见到「短轴端点」与「焦点」，立即想到长度 与直角三角形。 推导 ：离心率刻画扁圆程度的推导 由 与 ，得 即 于是 的大小完全由比值 决定： . 当 增大时， 减小，即 减小——短半轴相对长半轴越来越短，椭圆越来越扁； . 当 减小并趋近 时， 趋近 ，椭圆越来越接近圆； 时 ，方程变为 ，即圆。 又 ，故 ，这是离心率的取值范围。 点评： 是高考高频等式——已知 可求 ，已知 可求 ；许多「离心率取值范围」问题最终都化归为对 （或 ）的估计。 推导 ：通径长度的推导 考虑焦点在 轴上的椭圆 。过左焦点 且垂直于长轴的直线为 ，代入椭圆方程： 解得 所以 。这条弦的两个端点为 、，弦长为 点评：通径是「焦点附近最陡的弦」，其长度 把三个基本量联系在一起；通径越短，椭圆越扁——它与离心率一样是形状的「温度计」。 图 通径示意图 三、例题讲解 例 （中等题型） 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。（教材例 ） 例 （提高题型） 已知椭圆的焦点在 轴上，离心率 ，且经过顶点 ，求它的标准方程。 例 .（提高题型） 已知椭圆 的左焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交椭圆于 、 两点，求 ，并求 。 例 （近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 高考真题】已知 、 是椭圆 （）的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，，则 的离心率为（　） A．　　 B． C．　　 D． 例 .（近三年高考题型） 【 · 全国甲卷 · 理 · 高考真题改编】椭圆 的左顶点为 ，点 、 均在 上，且关于 轴对称。若直线 、 的斜率之积为 ，则 的离心率为（　） A．　　 B． C．　　 D． 例 .（创新题型） 某剧院的「耳语墙」剖面是一个椭圆，墙面方程为 （单位：米）。声学事实：从一个焦点发出的声波经墙面反射后，都经过另一个焦点。 （）演员站在焦点 处轻声说话，声波经墙面反射后传向焦点 。求声波从 出发、经墙面反射到 的路径总长； （）求声源 到墙面的最近距离与最远距离。 四、方法分析 （一）四种常用方法 . 由方程读性质：化标准方程 定焦点位置（分母大者） 求 、、 逐项写出范围、顶点、焦点、离心率； . 由性质求方程：把「长轴长 」「焦距 」「离心率 」「通径 」「顶点」等条件翻译成 、、 的方程（组），解出后按焦点位置写出标准方程； . 知二求二：、、、 四个量由 与 两条关系联系，知道任意两个即可求出其余两个；常用变形 ； . 定义＋性质综合：涉及椭圆上点到焦点的距离，先用定义（和为 ）或焦半径范围（），再结合基本不等式、对称性求最值。 （二）六个易错点 . 长轴长、短轴长与长半轴、短半轴混淆：题目问「长轴长」答 ，问「长半轴」答 ； . 焦点位置判断失误：、、 的名称跟着焦点走——焦点在 轴上时， 是 分母的平方根，顶点 ； . 离心率与「大小」混淆： 只描述形状，与椭圆大小无关；两个大小不同、形状相同的椭圆离心率相等； . 「越扁 越大」记反： 是圆、 极扁；可用极端情形记忆（ 接近 时 相对很小，自然扁）； . 焦半径范围写错端点：，最小值在靠近该焦点的顶点处取得，不是在原点附近； . 斜率之积类问题符号搞错：、 关于 轴对称且 为左顶点时，积为 ；关于 轴对称时积为 ——先画草图定符号再动笔。 五、变式练习 变式 .（提高题型） 已知椭圆的焦点在 轴上，离心率 ，且半焦距 ，求它的标准方程。 变式 .（提高题型） 已知椭圆 的两个焦点为 、，过 的直线与椭圆交于 、 两点，求 的周长。 变式 .（高考题型） 【 · 新课标Ⅰ卷 · 同源变式】设椭圆 ， 的离心率分别为 、。若 ，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． 变式 .（高考题型） 【5· 全国甲卷 · 理 同源考法】椭圆 的左顶点为 ，点 、 均在 上，且关于 轴对称。若直线 、 的斜率之积为 ，求 的离心率。 六、本节知识总结 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图 形 性质 范 围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶 点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 板块 核心内容 范围 焦点在 轴：、；焦点在 轴：、 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点对称；对称中心为原点 顶点 四个顶点：、（焦点在 轴）；长轴长 、短轴长 基本关系 ；短轴端点到焦点的距离等于 （直角三角形关系） 离心率 ；； 越大越扁、越小越圆，与大小无关 通径 过焦点垂直于长轴的弦，长 常用结论 ；过焦点的弦分椭圆上的点与另一焦点构成周长 的三角形 思想方法 由数想形、数形结合、知二求二、定义与性质结合 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $