第4章 二次函数 单元检测 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版（2024）九年级上册 第4章 二次函数 单元检测 一、选择题 1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　） A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 2．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线.如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系.点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称.抛物线的表达式为y=-0.1x2+1，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离是 （      ）  A．4 dm B．6 dm C．8 dm D．10 dm 3．用一段长度为24 m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是 A．25 m2 B．31 m2 C．36 m2 D．38 m2 4．飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式为s=60t-1.5t2，下列能反映这一变化过程的图像是 A． B． C． D． 5．二次函数y=x2+x-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （      ） A．1，1，-1 B．1，-1，1 C．1，1，1 D．-1，1，-1 6．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y=x B．y=x-1 C．y=x2 D．y=-x2 7．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 8．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元 9．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+c的图象如图所示，则满足ax2+bx＜mx的x的取值范围为（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3或x＞1 D．0＜x＜3 11．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，与x轴一交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论正确的个数有（　　） ①abc＜0； ②a+c＝b； ③b2＜4ac； ④a+b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤当﹣1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＜0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．下列各式： ①y=x+2；②y=2x2；③y=；④y=；⑤y=(x-1)(x+2)；⑥y=2(x-1)2+2；⑦y＝（2x+1）（x﹣2）﹣2x2；其中y是x的二次函数的有__________.（只填序号） 14．抛物线过点（﹣1，0），（0，6）和（3，0）三点，则这条抛物线的解析式为 　__________　． 15．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 __________． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x＝2时，y的值为__________． 17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（m，0），（2，0），其中0＜m＜1．下列结论： ①bc＞0； ②2b+3c＜0； ③不等式的解集为0＜x＜2； ④若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣2）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a． 其中正确的是 __________．（填写序号） 三、解答题 18．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示． (1) 试求出y与x之间的一个函数关系式； (2) 利用（1）的结论： ①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润． ②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？ 19．如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． (1) 求二次函数的解析式； (2) 求一次函数的解析式． 20．手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化． ①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围） ②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？ 21．“文明互鉴，共筑茶缘——让茶香飘满一带一路”，11月24日至27日，2023中国（广州）国际茶业博览会、第24届广州国际茶文化节在广交会展馆举行．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体解析式为y＝﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． （1）求w关于x的函数解析式； （2）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？ 22．如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63 m2的花圃，AB的长是多少？ （3）当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． 湘教版（2024）九年级上册 第4章 二次函数 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　） A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 【答案】C 【解析】解：设BC=x m，则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2， 根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64， 当x=8 m时，ymax=64 m2， 则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2． 2．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线.如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系.点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称.抛物线的表达式为y=-0.1x2+1，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离是 （      ）  A．4 dm B．6 dm C．8 dm D．10 dm 【答案】A 【解析】由题意，∵点A到x轴的距离是0.6 dm， ∴令y=0.6，则y=-0.1x2+1=0.6， ∴x=2或x=-2（舍去）， ∴A到y轴的距离为2 dm. 又∵点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称， ∴AB=2×2=4(dm). 3．用一段长度为24 m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是 A．25 m2 B．31 m2 C．36 m2 D．38 m2 【答案】D 【解析】设矩形菜地长为x m，则宽为(24-2x)m， 面积S=x·(24-2x)=-x2+12x(0<x<12)， ∵图像开口向下，对称轴为直线x=6， ∴当x=6时，面积最大，S最大值=-62+12×6=36(m2)， ∴能围成菜地的面积不可能是38 m2. 4．飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式为s=60t-1.5t2，下列能反映这一变化过程的图像是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式为s=60t-1.5t2=-1.5(t-20)2+600， ∴函数图像是对称轴为x=20，最值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就会停止， ∴C选项符合题意. 5．二次函数y=x2+x-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （      ） A．1，1，-1 B．1，-1，1 C．1，1，1 D．-1，1，-1 【答案】A 6．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（　　） A．y=x B．y=x-1 C．y=x2 D．y=-x2 【答案】C 【解析】解：A．∵k=＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，此选项错误； B．∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，此选项错误； C．∵a=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，此选项正确； D．∵a=-1＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，此选项错误． 7．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 【答案】C 【解析】∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1. 故选：C． 8．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元 【答案】D 【解析】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15-x）量， 根据题意得出W=y1+y2=-x2+10x+2（15-x）=-x2+8x+30， ∴最大利润为==46（万元）． 9．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m．则BC的长为（30﹣2x）米， ∵墙长为18 m，AD≥AB， ∴， 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10，故①错误； 根据题意得：x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100 m2，故②错误； 根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+， ∵﹣2＜0，6≤x≤10， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为，故③正确． 故选：B． 10．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+c的图象如图所示，则满足ax2+bx＜mx的x的取值范围为（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3或x＞1 D．0＜x＜3 【答案】B 【解析】由图象可得：当x＜﹣3和x＞0时，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象在一次函数y2＝mx+c的图象的上方， ∴当x＜﹣3和x＞0时，ax2+bx＜mx. 故选：B． 11．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 【答案】B 【解析】令h＝0，得：20t﹣5t2＝0， 解得：t＝0或t＝4， ∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是4秒. 故选：B． 12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，与x轴一交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论正确的个数有（　　） ①abc＜0； ②a+c＝b； ③b2＜4ac； ④a+b＞m（am+b）（m≠1）； ⑤当﹣1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＜0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】①∵对称轴在y轴右侧， ∴，且a、b异号， ∵图象开口响上， ∴a＞0，则＜0， 又∵抛物线交y轴于负半轴， ∴c＜0，即abc＞0．故①错误； ②由图象可知：对称轴x＝1且与x轴得一个交点是（3，0）， 另一个交点坐标为（一1，0）， 当x＝﹣1，y＝0时，a﹣b+c＝0， 即a+c＝b，故②正确； ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac，故③错误； ④由图象知：当x＝1有最小值y＝a+b+c，当x＝m时y＝am2+bm+c， ∴当m≠1时有am2+bm+c＞a+b+c， 即：a+b＜am2+bm（m≠1），故④错误； ⑤由图象可知：﹣1x＜3时，y＜0， 即ax2+bx+c＜0，故⑤正确． 故选：A． 二、填空题 13．下列各式： ①y=x+2；②y=2x2；③y=；④y=；⑤y=(x-1)(x+2)；⑥y=2(x-1)2+2；⑦y＝（2x+1）（x﹣2）﹣2x2；其中y是x的二次函数的有__________.（只填序号） 【答案】②⑤⑥ 【解析】y是x的二次函数的有②⑤⑥． 故答案为：②⑤⑥． 14．抛物线过点（﹣1，0），（0，6）和（3，0）三点，则这条抛物线的解析式为 　__________　． 【答案】y＝﹣2x2+4x+6 【解析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把点（0，6）代入得6＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣2， 所以抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣2x2+4x+6. 故答案为：y＝﹣2x2+4x+6． 15．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 __________． 【答案】1 【解析】∵y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数， ∴m+1≠0且|m|+1＝2， 解得m＝1． 故答案为：1． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x＝2时，y的值为__________． 【答案】2 【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2）， ∴， 解得：， 则这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2． 把x＝2代入得，y＝﹣×4+×2+2＝2． 故答案为：2． 17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（m，0），（2，0），其中0＜m＜1．下列结论： ①bc＞0； ②2b+3c＜0； ③不等式的解集为0＜x＜2； ④若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣2）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a． 其中正确的是 __________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】如图， ∵a＞0，抛物线与x轴交于点（m，0），（2，0）， ∴抛物线的对称轴在y的右侧，∴a、b异号， ∴b＜0， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∵c＞0， ∴bc＜0，所以①错误； 把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝0， ∴a＝， ∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴+b+c＜0， 即2b+3c＜0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）， 直线y＝﹣x+c经过点（0，c），（2，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+c相交于点（0，c），（2，0）， ∵0＜x＜2时，ax2+bx+c＜﹣x+c， ∴不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2，所以③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（m，0），（2，0）， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣m）（x﹣2）， 当直线y＝﹣1与抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣2）有交点时，关于x的方程a（x﹣m）（x﹣2）＝﹣1有实数根， ∴抛物线的顶点在直线y＝﹣1的下方或在直线y＝﹣1上， 即≤﹣1， 而a＞0， ∴b2﹣4ac≥4a，所以④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 18．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示． (1) 试求出y与x之间的一个函数关系式； (2) 利用（1）的结论： ①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润． ②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？ 【答案】解： (1) 设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b， 则，解得．故函数关系式为y=-2x+112； (2) 1 依题意有w=（x-20）（-2x+112）=-2（x-38）2+324， 故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润； 2由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货， 设一次进货最多m千克，则≤30-5，解得m≤1300． 故一次进货最多只能是1300千克． 19．如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． (1) 求二次函数的解析式； (2) 求一次函数的解析式． 【答案】解： (1) 把A（1，0）代入y=（x-2）2+m得1+m=0，解得m=-1， 所以二次函数的解析式为y=（x-2）2-1； (2) 抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=0时，y=（x-2）2-1=3，则C（0，3）， 因为点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点， 所以B点坐标为（4，3）， 设一次函数的解析式为y=kx+b， 把A（1，0），B（4，3）代入得，解得， 所以一次函数解析式为y=-x+1． 20．手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化． ①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围） ②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？ 【答案】解：①根据题意可得一条对角线的长为x cm， 则另一对角线长为（60-x）cm， 则S=x（60-x）=-x2+30x； ②由①得y=-x2+30x=-（x-30）2+450， 故当x是30 cm时，菱形风筝的面积S最大，最大的面积是450 cm2． 21．“文明互鉴，共筑茶缘——让茶香飘满一带一路”，11月24日至27日，2023中国（广州）国际茶业博览会、第24届广州国际茶文化节在广交会展馆举行．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体解析式为y＝﹣2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． （1）求w关于x的函数解析式； （2）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：（1）w＝y（x﹣50）＝（﹣2x+240）（x﹣50）＝﹣2x2+340x﹣12000， 所以w关于x的函数解析式为w＝﹣2x2+340x﹣12000． （2）w＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450， 因为﹣2＜0，所以w有最大值．当x＝85时，w的值最大，为2450． 答：当绿茶的销售单价是85元/千克时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元． 22．如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63 m2的花圃，AB的长是多少？ （3）当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． 【答案】解：（1）由题意得： y＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣3x2+30x. （2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63， 解此方程得x1＝7，x2＝3， 当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意； 当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去， ∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2. （3）y＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75， 而由题意：0＜30﹣3x≤10， 即≤x＜10， ∵﹣3＜0， ∴当x＞5时，y随x的增大而减小， ∴当x＝m时面积最大，最大面积为m2． 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