第4章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材湘教版九年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列函数中，一定为二次函数的是() A.y=2x+1 B.y=2(x+1(x-4) C.y=ax2+bx+c D.y=x2+1 2由二次函数'=3(x-29+1 知() A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=-2 C.其最大值为 D.当x<2时，y随x的增大而减小 y=ax2+bx+c(a≠0) （-3,0) 3.抛物线 的部分图象如图，其与x轴的一个交点的坐标为 ,对称轴为直线 x=-1 ax+bx+c<0 ,则不等式 的解集为() A.-3<x<1 B.x>-3 C.x<1 D.x<-3或x>1 4.已知点43，），B(5,）,C(4）约在范物线=3x-6x+m上，下列排序正确的是（) A.为>当>为2 B.为>乃>方 C.片>为>5 D.片>为>2 5在同一平面直角坐标系中，一次函数少=-c+ 与二次函数'=r+k。 的图象可能是() 119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，若二次函数y=+hr+c(a≠0 的图象的对称轴为直线=1，与y轴交于点C,与x轴交于点 A点B-L0 ,则：①二次函数的最大值为a+h+c:②a-b+c<0;③-4ac>0:④当y>0时， -1<x<3；其中正确的个数是() :X= o A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、 滑板等.如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的 最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了15m时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为 (15,0,由于惯性再滑动一段后到达点B,从点B处落入水中，若点B的坐标为 0,3) ,则小强下滑前的竖 直高度（即OA的长）为() 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 C 图1 图2 A.17m B.25m C.27m D.30m 8.如图，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为() 33 B.s、 r2 3 C.y D.y=-3x2 9.已知函数X)+2、3 ?一2-2与函数，=-x+1的图象如图所示.若<为，则自变量x的取值范围是 VA A.-3<x<2 B.x>2或x<-3 C.-2<x<3 D.x<-2或x>3 10.如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，动点P从A处出发沿AB向目的地B运动，同时动点 3/9 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 BC-CD-DA A AP x cm △QPE 从处出发沿 向目的地运动，它们同时到达终点.设为（单位：）， 的 面积为'（单位：cm2),y关于x的函数图象如图2所示，当点P在线段EB上运动时，该时段函数图象 (m,n) 的最高点坐标为 ,下列选项错误的是() 4.5 E 2.5 m 图1 图2 A.AE=4cm B.CD=6cm C.m=5 D.n=2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.若二次函数 y=ax2-3x+a2-1 的图象经过原点，则a的值是 12.已知二次函数)=2-3x+1的图象上有三点4气，），8(，）.C(,）且1<<<5，则片 y2y」 按从小到大排列为 13.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象.水幕是由若干 个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P,PB⊥AB,BP=1Om,AB=2m,水嘴高 AD=6m,以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图 中抛物线的解析式为 (不用写出自变量的取值范围)· 水嘴D 水槽 14.大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分10分，球重2g). 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.68及以 8.20及以 成绩（米） 7.69-7.85 7.86-8.02 8.03-8.19 下 上 得分 6 7 8 9 10 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行 技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度(m 与水平距离(m)之间的关系为 y=云x-2了+2，由此可知小明此次投脚的暖铁得分是 分 15.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1 元，每星期要少卖出10件.设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数 解析式为， 16.如图，已知二次函数y=ar+x+c(a≠0 的图象与*轴交于点1-，0)，与'铂的交点在Q-2)和 (0,-)之间（不包括这两个点），对称轴为直线=1，下列结论：04a+26+c>0:②4c-<80；回 2 3下a 1 3;④b>C:其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.物体的动能E(单位：J)与它的质量m(单位：kg)、运动速度v(单位：m/s)之间的关系可以用 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 公式E=2mv表示.一辆小轿车的质量为1500kg,行驶速度为10m/s·设该车行驶速度增加xm/s时，它 2 的动能增加yJ (1)写出y与x之间的关系式： (②)当该车行驶速度分别增加5m/s,10m/s,20m/s时，它的动能各增加多少？ xOy y=ax2-4ax+1 18.在平面直角坐标系中，抛物线 (1)求抛物线的对称轴： (②若a>0,点M(m,）,N(m+4 点 在抛物线上，且少<乃，直接写出m的取值范围； A(-1,6) (3)将点 沿轴向右平移7个单位长度得到点B,若抛物线与线段AB始终有两个公共点，结合函数 的图象，求a的取值范围. 19.用描点法画出二次函数y=一)x的图象，列表如下： -2 0 2 4 -8 m 0 -8 -10 8 -10-8-6-4-2 0246810x 6 (1)填空：m= :n= (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象. 20.如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9m),围成中间隔有一道篱笆的矩形 花圃ABCD ym2 .设AB的长为m,该矩形花圃的面积为m。 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9m B (1)若要围成面积为36m的矩形花圃，则AB的长为多少米？ (2)当AB的长为多少米时，矩形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 21.学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD),该实 验田两面靠墙(AD位置的墙最大可用26米，AB位置的墙最大可用15米)，另外两边用栅栏围成，中间 也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建 成后栅栏总长为43米，设实验田CD的长为x米. E D HG (1)AD的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形ABCD)的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 2.如图，已知直线1=--3与产轴交于点B,与'轴交于点C,抛物线=++c(a≠0 的对称轴 为直线x=-1,且抛物线经过B,C两点. B (1)求抛物线的解析式： (2当3<x<0时，直接写出”的取值范围： (3)在直线BC的下方的抛物线上，是否存在点N,使△NBC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 大面积：若不存在，请说明理由 23.兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距 地面4Ocm,起跳点与落地点的水平距离为100cm.以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立 平面直角坐标系， y/cm A M O cm B 图1 图2 (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式： P(0,45) (2)若兔子从点0正上方的点 处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离： (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3Cm才能安全通 过.如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形ABCD,其中AB=35cm,BC=40Cm,兔子在 距离灌木丛B的4O©m的E处起跳.判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛.若能，说明理 由：若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过， y=-x2+bx+c(bc≠0) 24.已知抛物线 的顶点为D1,4),与x轴交于A,B两点(A在B左边) D D ○ (2) (1)直接写出抛物线解析式： (2)如图(1)，点E是抛物线上的动点，连接AE,直线AE交直线x=2于点F.设点E的横坐标为 ①求直线AE的解析式（用含m的代数式表示）； ②若△DEF的面积等于2时，求m的值。 (3)如图(2)，P,Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP,BO分别与抛物线交于M,N两点， 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN 求Pg的值。 9/9学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ 0 B C B D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.±1 12 为<y2<为 13.y=-(x-2)2+10 14.6 15. y=-10x2-300x+18000 16.②③④ 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.①y=750r2+15000xx≥0、 (2)速度增加5ms时，动能增加93750J;速度增加10m/s时，动能增加225000J；速度增加20m/s时，动能 增加600000J 【详解】(1)解：设该车行驶速度增加m/s时，它的动能增加yJ, yx150(10+-×150x10=7502+150(x20）.2分 (2)解：当x=5时， y=750×52+15000×5=93750(J) 当x=10时， 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=750×102+15000×10=225000(J) 当x=20时， y=750×202+15000×20=600000(J) ∴，速度增加5ms时，动能增加93750J;速度增加l0m/s时，动能增加225000J;速度增加20m/s时，动能 增加600000J -6分 18.(1)直线x=2 (2)m>0. 5 3)a<-4或a21 【详解】(1)解：由抛物线y=m-4c+1=a(r-4x)+1=a(x-2}+1-4a 故a≠0。 故抛物线的对称轴为直线x=2。—一1分 (2)解：根据题意，得点 M(m),N(m+4,为)在抛物线上，且4<%。 故am-4am+1-[a(m+4-4a(m+4)+l]<0 ∴.am2-4am+1-am2+8am+16a-4am-16a+1<0 ∴.am2-4am+1-am2-4am-1<0 .-8am<0, a>0, .-8m<0. .m>0 -3分 (3)解：根据点 A(-l,6 沿x轴向右平移7个单位长度得到点B, B(6,6) 故点 当a>0时，把点1(-1,6)代入抛物线y=-4ar+1中，得 a-4a×(-1)+1=6 解得a=1, 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时抛物线与AB的另一个交点为 5,6)m5-（-1)=6<7 日 满足抛物线与线段AB始终有两个公共点： 根据抛物线的性质，得到a的值越大，抛物线的开口越小， -3-2-191234567x 6 故此时a之1： 当a<0时，把点 代入抛物线y=a-4r+l中，得4a-8a+1=6】 2,6 解得a、5 4 此时抛物线与AB只有一个公共点， 根据抛物线的性质，得到a的值越小，抛物线的开口越小， 且满足抛物线与线段AB始终有两个公共点： 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 10 9 8 7 6 3 2 32-1356 此时有a<-5 4； 综上所述，符合题意的a的取值范围是a<- 4或a≥1·6分 19.(1)-2；-2 【详解】(1)解：在y=- 中，当x2时，y=(2=2, 2 当x=2时，y=-7×22=-2, m=-2,n=-2」 --4分 珠 10 8 6 (2)-10-8-6-4-2 2 0246810 -8分 6 8 10 20.(1)AB的长为6米 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当AB的长为5米时，矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45m2 【详解】(1)解：根据题意得，BC为(24-3x)m x(24-3x)=36 解得x=2,为=6， 又，墙的最大可用长度为m, 24-3x≤9，解得x≥5， x=2 舍去， .AB=x=6,--4分 (2)解：根据题意得， y=x(24-3x) =-3x2+24x =-3(x-4)2+48 a=-3<0 ∴y有最大值，且当x之4时，y随x的增大而减小， 由(1)得，x≥5， .当x=5时，y有最大值， :y.m=-3×(5-4)}+48=45m2 --8分 21.0(45-3x) (2)x=10 (3)实验田的最大面积为168.75平方米 【详解】(1)解：，CD=x米， 根据题意可得：3x+AD-2=43, 整理后得 D=(45-3x)米： -2分 (2)解：，AB=CD=x,AB侧墙最大可用15米， .x≤15， 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D-(5-3刘米，0测墙品大可用26米，放45-3526，解得x9 3, ·3sxs15 19 ,矩形面积为CD·AD=150. :x(45-3)=150 整理得：x2-15x+50=0, 解得=10与=5 (不符合要求，舍去)， .x=10;--6分 (3)解：设实验田面积为S, 则3=x(45-3x刘=-3x2+45x b 45 x=- =7.5 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线2a2×(-3) 19 ·3≤xs15 x=7.5时，S取得最大值，此时AD=45-3×7.5=22.5,符合AD≤26的要求， ∴.代入x=7.5,得S=-3×7.52+45×7.5=168.75, .实验田的最大面积为168.75平方米.-一10分 2.①y=x+2x-3 (②)4<5<0 (315Y 27 (3)点N的坐标是24时，△NBC有最大面积，最大面积是8. 【详解】少解，当1=0时，可得：-3=0， 解得：x=-3, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·点B的坐标为 -3,0) 设点A的坐标是 h,0) “抛物线乃=ar+hr+c(a≠0 的对称轴为直线x=-, 可得：h-3到=-1， 解得：h=1, 点4的坐标为0)， 当=0时，可得： =-x-3=-3 点C的坐标是0-3) L,0)、B(-3,0).C0,-3)的坐标代入为=ar++c, 把点 a+b+c=0 9a-3b+c=0 可得： c=-3 a=1 b=2 解得： c=-3' “抛物线的解析式为'=+2x-3 --3分 (2)解：“抛物线片=t+2x- 的对称轴为直线七=一1 时，抛物线片=r+2x- 六当x=-1 有最小值，最小值为片=r+2x-3=4 当=-3时，为=r+2x-3=0 当x=0时，乃=+2x-3=-3 “当3<x<0时， 4<2<0 ;-6分 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：设点V的坐标是 n,n2+2n-3) 如下图所示，过点N作直线MN⊥x轴，交直线BC于点M, 则点M的横坐标为n,纵坐标为y=-x-3=-n-3, 点M的坐标为 n,-n-3) .MN=-n-3-（n2+2n-3=-n2-3n “点B的坐标为 -3,0) .OB=3, Se-xMINx0B=(--3刘列k3. 整理可得： 、3 27 :当”=一2时ANBC有最大面积，最大面积是g, 15 (315) +2m-3=-4,即点N的坐标是24) 此时 B M 10分 23.④NM500,y=2房c-0+40 25V34 (22 (3)不能，起跳处放一个高为12.4cm的台阶就可以通过 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x=50,顶点纵坐标为40， 六顶点V的坐标为(50,40)】 设二次函数表达式为y=a(x-50°+40 把(0,0)f代入y=a(x-50y+40得：0=a(0-50+40, 2 解得0=125， =次话数表达式为=23-0+40。 -3分 （2)解：：运动路线形状不变，过点P(0,45) ∴.新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到， “表达式为少=司 -50+40+45=房-50+5， 令y=0,解得x=50±2534 2, x>0. x=50+25V34 2 0=50+253 -100= 2534 250cm m7分 (3)解：不能，由题意知，BE=40cm,AB=CD=35cm,AD=BC=40cm,则有EC=80cm, 令x40:代入表达式相：25×(40-50+40=384>38， 2 令x=80,代入表达式得：y=125×(80-50+40=25.6<38, 38-25.6=12.4(cm) .在起跳处放一个高为12.4cm的台阶就可以通过.---12分 24.(①y=-+2x+3 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)0y=(3-m)x+3-m ②m值为0和3 7 (3)3 【详解】(1)解：抛物 y=-x2+bx+c(bc≠0） 的顶点为D0,4) 六抛物线的顶点式为’-(x-少+4 化简得'=-x+2xr+3 则b=2,c=3,bc=6≠0，符合题意， “抛物线解折式为+2x+32分 (2)解：令y=0,可得-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, 抛物线与x轴交于A,B两点，且A在B左边， A(-1,0),B(3,0) ①~点E的横坐标为m,点E是抛物线上的动点， ·E点坐标为 (m,-m2+2m+3) 设直线1E解析式为'=+b(k≠0) 将4(-10)，E(m-m+2m+3)代入， 「-k+b=0 可得m+b=-m2+2m+3, 两式相减得(m+)=-(m-2m-3)=-(m-3m+1) 由于E不与A重合，m≠-1， .k=3-m,b=3-m 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线4E的解析式为 =(3-m)x+3-m ②如图，直线x=2与直线AE交点F,与直线DE交于点H, D E 将x=2代入直线4E:)=(3-m)x+3-m 可得y=(3-m)2+3-m=9-3m F点坐标为 F(2,9-3m) 设直线DE解析式为'=x+么（仫≠0） 将D14,E(m-m+2m+3列代入 k+b=4 可得km+b=-m2+2m+3, 两式相减得(m-)=-(m-2m+1)=-(m- 由于E不与D重合，m≠1， ∴k=1-m,b=3+m 六直线DE的解析式为'=(1-m)x+3+m H点坐标为 H(2,5-m) 如图，当E在D右侧时， 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B S=Sm+Sm-2fk。-刻 如图，当E在D左侧时， D Sm之r。-刻--m-0-3m-=2, 化简可得m-2m-=2,即m-2m-=2 当（m-2m-)=2时，㎡-3m=0,解得m=0或m=3。 当m-2m-1）=-2 ，m-3m+4=0,此时方程无实数解， 综上，若△DEF的面积等于2时，m值为0和3.---7分 （3设点P0,0）,由P、0关于原点对称得(0-)，1t0, 设直线B即解析式为'=kx+6(化≠0) 将B30,P0,代入 3k2+b2=0 可得b2=t, 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线即的解新式为=宁1 联立抛物线解析式， y=-x2+2x+3; x2- x+t-3=0 可得 由韦达定理得+x=2+ 3 M点的横坐标为2+兮3-兮， 3 -1 的标为作号+) 同理可得，直线BQ的解析式为y=5x-t, 点的半标为香-号】 w-店传+5(5--4 P=k-(-=2川 2H亚 :PO 24-3· ----12分 13113 第4章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 2．由二次函数可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最大值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式，决定开口方向，对称轴为直线，顶点，进而判断函数的增减性与最值. 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 函数有最小值，当时，随的增大而减小. 3．抛物线的部分图象如图，其与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由得函数值为负数，即抛物线在x轴下方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是，与x轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，抛物线图象与x轴的两个交点关于直线对称，即抛物线图象与x轴的另一个交点与关于直线对称， ∴另一个交点的坐标为， ∵不等式，即， ∴抛物线的图象在x轴下方， ∴不等式的解集是． 4．已知点，，均在抛物线上，下列排序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴与开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ， ． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 【详解】解：选项A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；一致，符合要求； 选项B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；不一致，不符合要求； 选项C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意；     选项D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意． 6．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 7．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 8．如图，为坐标原点，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，将正方形绕顶点顺时针旋转，使点落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B向x轴引垂线，垂足为E点，连接，可得的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】如图，作轴于点E，连接，    ∵正方形绕顶点O顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B坐标为， 设抛物线解析式为（） 代入点B坐标，得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，用待定系数法求函数解析式和勾股定理的运用，解题的关键是到点B的坐标． 9．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 10．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若二次函数 的图象经过原点，则a的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将原点坐标代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程后根据二次函数的定义（二次项系数不为零）判断a的有效值． 【详解】解：∵二次函数图象经过原点， ∴将代入解析式，得，即， 解得或， 又∵该函数为二次函数， ∴二次项系数，而和均满足， ∴a的值为1或． 故答案为：． 12．已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的横坐标范围，利用二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，二次项系数， ∴，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∵，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足， ∴． 13．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 14．大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 15．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【分析】根据总销售额每件售价每星期销售量，分别得到涨价后的售价和销售量，即可列出函数关系式． 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得， 即． 16．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加． (1)写出y与x之间的关系式； (2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？ 【答案】(1)（） (2)速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 【分析】（1）根据增加的动能等于速度增加后的动能减去原来的动能列函数关系式即可； （2）把，，分别代入（1）中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：设该车行驶速度增加时，它的动能增加， ∴（）． （2）解：当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加． 18．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线. (2). (3)或. 【分析】（1）把抛物线化成顶点式，解答即可； （2）根据点，在抛物线上，且，把坐标代入解析式，借助函数值关系建立不等式，解答即可； （3）根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点，继而得到，根据抛物线与线段始终有两个公共点利用分类思想，二次函数的性质，从特殊点入手，解答即可． 【详解】（1）解：由抛物线， 故， 故抛物线的对称轴为直线． （2）解：根据题意，得点，在抛物线上，且， 故， ， ， ， ， ． （3）解：根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点， 故点， 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与的另一个交点为，且， 满足抛物线与线段始终有两个公共点； 根据抛物线的性质，得到的值越大，抛物线的开口越小， 故此时； 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与只有一个公共点， 根据抛物线的性质，得到的值越小，抛物线的开口越小， 且满足抛物线与线段始终有两个公共点； 此时有； 综上所述，符合题意的的取值范围是或． 19．用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n (1)填空：________；________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出和时的函数值即可得到答案； （2）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴； （2）略 20．如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)的长为6米 (2)当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【详解】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； （2）解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 21．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 22．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 23．兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； (2)若兔子从点O正上方的点处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离； (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形，其中，，兔子在距离灌木丛B的的E处起跳．判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛．若能，说明理由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过． 【答案】(1)， (2) (3)不能，起跳处放一个高为的台阶就可以通过 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，然后可设二次函数表达式为，进而利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可知新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到，则有表达式为，然后问题可求解； （3）根据题意可分别把和代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为40， 顶点的坐标为， 设二次函数表达式为， 把代入得：， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵运动路线形状不变，过点， ∴新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到， ∴表达式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：不能，由题意知，，则有， 令，代入表达式得：， 令，代入表达式得：， ， ∴在起跳处放一个高为的台阶就可以通过． 24．已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． (3)如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【答案】(1) (2)①；②m值为0和3 (3) 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标设出顶点式方程，化为一般式比较求出系数、，最后验证条件即可； （2）①先令 求出点 的坐标，再设出点 的坐标，利用待定系数法列出关于 、 的方程组，消元求解即可得到直线 的解析式； ②引入直线 并求出其与直线 的交点，将 的面积转化为 与 的面积之和或之差，结合三角形面积公式列出关于 的绝对值方程，最后分类讨论解方程即可． （3）通过设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而联立抛物线方程，借助韦达定理求出交点的坐标．再表示出和的长度，作比即可求出定值． 【详解】（1）解：抛物线 的顶点为， 抛物线的顶点式为， 化简得， 则,，符合题意， 抛物线解析式为 （2）解：令，可得， 解得或， 抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B左边， ， ①点E的横坐标为m，点E是抛物线上的动点， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与A重合，， ． 直线的解析式为． ②如图，直线与直线交点，与直线交于点， 将代入直线：， 可得， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与D重合，， ． 直线的解析式为． 点坐标为， 如图，当在右侧时， , 如图，当在左侧时， ， ， 化简可得，即， 当时，，解得或， 当时，，此时方程无实数解， 综上，若的面积等于2时，m值为0和3． （3）设点，由P、Q关于原点对称得，， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， ． 直线的解析式为． 联立抛物线解析式，， 可得， 由韦达定理得， M点的横坐标为， 将代入，． M点的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， 点的坐标为． ， ， ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $