13.3.1 三角形的内角 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

13.3.1 三角形的内角 教学设计 姓名 学科段 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 13.3.1 三角形的内角（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十三章“三角形”第 3 节第 1 课时） 教材分析 本节研究三角形内角和定理。教材先从小学的度量与剪拼活动出发，让学生确信“三角形三个内角的和等于 180°”；再追问“为什么要证明”，通过过顶点作平行线，把三个内角“搬”到一起拼成平角，用平行线的性质完成证明，得到三角形内角和定理。随后学习直角三角形两锐角互余及它的逆命题，并用“同角的余角相等”解决例 3。本节是本章第一次完整的几何证明，也是后续研究外角、多边形内角和的基础。 核心素养目标 1. 推理能力：能借助平行线的性质证明三角形内角和定理，说清每一步的依据。 2. 几何直观：通过剪拼、折叠、作平行线等操作，体会“把角搬在一起”的思想。 3. 运算能力：会运用内角和定理求未知角，能结合角平分线、高进行两步计算。 4. 应用意识：能用内角和解决方位角、零件测量等实际问题。 教学重点 三角形内角和定理的证明与应用；直角三角形两锐角互余。 教学难点 内角和定理的证明（为什么必须证明、辅助线是怎样想到的）；方位角问题中角度的换算与比较。 学情分析 学生小学就用量角器量出“三个角的和是 180°”，容易认为“量过了就是证明了”。常见错误：把剪拼实验当作证明；作平行线后说不清是哪两条直线被哪一条所截；方位角问题中把“北偏东”与“东偏北”混用。本设计把“为什么要证明”作为核心问题，用“测量有误差、图形有特殊”两个理由制造认知冲突。 教学方法 实验操作、问题驱动、说理训练相结合；以“实验—猜想—证明—应用”为主线，每个结论都要求说出依据。 课时安排 2 课时（第 1 课时：内角和定理的证明与例 1；第 2 课时：直角三角形两锐角互余与例 2、例 3） 教学资源 教材图 13.3-1、13.3-2；本设计自制的内角和拼角图、例 1 图、三岛方位图、直角三角形互余图；量角器、剪刀、纸片、多媒体课件。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 课时一 环节一 实验操作 提出猜想 任意画一个三角形，量出三个内角的度数并求和，你发现了什么？把三角形的三个角剪下来拼在一起，又能发现什么？ 组织学生分组测量、剪拼；巡视时收集不同的结果（如 179°、181°）；追问：为什么大家的测量结果不完全一样？ 动手测量并记录数据；剪下三个角拼成平角，发现三个角合起来正好是一个平角。 能否规范测量；能否说出“三个角拼成平角”这一现象。 设计意图：先有实验和猜想，才有证明的需要；测量误差正是“需要证明”的理由之一。 课时一 环节二 追根问底 为什么证明 既然测量和剪拼都能得到 180°，为什么还要证明？ 引导讨论：①测量有误差，量不出所有三角形；②剪拼是动手操作，无法保证对任意三角形都成立；③数学结论要对“所有情况”成立。 举出反例式质疑（测量得到一个 179° 的结果）；理解“验证”与“证明”的区别。 能否说出至少两条必须证明的理由。 设计意图：这是本章第一次正式证明，态度与方法都要在这一环节立起来。 课时一 环节三 作辅助线 完成证明 怎样把三个内角“搬”到一起？过点 A 作直线 l∥BC。 示范作辅助线，说明“为什么要过顶点作平行线”；引导学生用“两直线平行，内错角相等”把 ∠B、∠C 分别换成 ∠1、∠2，再由平角定义得到结论；板书完整证明过程。 跟着作图，写出“因为 l∥BC，所以 ∠1 = ∠B，∠2 = ∠C”；说明 ∠1+∠A+∠2 = 180° 的依据，完成证明。 能否独立写出证明；每一步能否说出依据。 设计意图：辅助线不是凭空出现的，而是为了“把角搬到一起”，这一步要讲透思路而不只是结果。 课时一 环节四 归纳定理 初步应用 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°。 板书定理与符号表达式；指出今后可以直接把它作为推理依据；给出两道口答题（已知两角求第三角）。 用符号语言写出定理；口答：∠A = 50°、∠B = 60°，求 ∠C。 能否用符号语言表述定理；能否快速求出第三角。 设计意图：定理一旦证明，就成为后续推理的工具，必须让学生习惯“直接引用”。 课时一 环节五 例题示范 两步计算 例 1 在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线，求 ∠ADB 的度数。 引导分析：要求 ∠ADB，先要知道 ∠BAD；由角平分线得 ∠BAD = 20°，再在△ABD 中用内角和求 ∠ADB；板书规范过程。 独立完成计算并写出依据；与同桌核对每一步。 能否把“角平分线”与“内角和”两个条件串起来；书写是否规范。 设计意图：例 1 是定理与角平分线的第一次组合，重点在“先说依据，再算数值”。 课时二 环节六 方位角 例题示范 例 2 三岛：C 在 A 的北偏东 50° 方向，B 在 A 的北偏东 80° 方向，C 在 B 的北偏西 40° 方向。求 ∠CAB、∠ABC、∠ACB 的度数。 先讲清方位角的读法“先南北、后东西”；示范画北向线，利用“两直线平行，同旁内角互补”求 ∠ABE，再逐步求出三个角。 按题意画图；标出已知角；依次求出 ∠CAB = 30°、∠ABC = 60°、∠ACB = 90°。 能否正确理解并画出方位角；能否说清每一步的角度关系。 设计意图：方位角是内角和定理的真实应用，也是读图能力的训练；“先南北后东西”要作为口诀固化。 课时二 环节七 直角三角形 两锐角互余 在直角三角形中，两个锐角的和是多少度？为什么？ 由内角和定理推出 ∠A+∠B = 90°；介绍直角三角形的记法 Rt△ABC；再追问：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？为什么？ 用定理推出结论并说明依据；反过来，由 ∠A+∠B = 90° 推出 ∠C = 90°。 能否推出并说明两锐角互余；能否说明逆命题成立的理由。 设计意图：正命题与逆命题一起讲，学生才会把“互余”与“直角”当作双向的判据。 课时二 环节八 例 3 课堂小结 例 3 在△ABC 中，∠C=∠D=90°，AD 与 BC 交于点 E，比较 ∠CAE 与 ∠DBE 的大小。 小结：1. 内角和定理的内容与证明思路；2. 直角三角形两锐角互余；3. 证明的书写要求。 引导用“同角的余角相等”说明 ∠CAE = ∠DBE；组织学生用结构图小结“实验—猜想—证明—应用”；布置分层作业。 独立完成例 3 的说理；复述本节定理与推论；记录分层作业。 能否用“同角的余角相等”说理；能否完整复述定理与证明思路。 设计意图：小结落在“证明的必要性”与“定理的双向使用”上，为下一节研究外角作准备。 板书设计 13.3.1 三角形的内角 一、实验与猜想：三个内角拼在一起正好是一个平角 二、证明：过 A 作 l∥BC，则 ∠1=∠B，∠2=∠C 　　∠1+∠BAC+∠2=180°　⟹　∠BAC+∠B+∠C=180° 三、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° 四、直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 五、方位角：先南北、后东西；例 2 得 30°、60°、90° 六、易错：把测量当作证明；方位角“北偏东”与“东偏北”混用 作业设计 《13.3.1 三角形的内角》课后作业 A 组（必做，基础） 1. 在△ABC 中：（1）∠A=60°，∠B=50°，则 ∠C=____；（2）∠A=40°，∠B=∠C，则 ∠B=____。 答案：（1）70°；（2）70°。 2. 在直角三角形中，一个锐角是 35°，另一个锐角是____。 答案：55°。 3. 判断题：（1）三角形三个内角的和一定是 180°；（2）有两个角是锐角的三角形一定是锐角三角形；（3）一个三角形中最多有一个直角。 答案：（1）√；（2）×，如直角三角形有两个锐角；（3）√，若有两个直角，内角和已超过 180°。 B 组（选做，中档） 4. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，求三个内角的度数，并判断三角形的形状。 答案：设 ∠A=x，则 x+2x+3x=180°，x=30°，所以 ∠A=30°、∠B=60°、∠C=90°，是直角三角形。 5. 在△ABC 中，∠B=65°，∠C=45°，AD 是角平分线，求 ∠ADB 的度数。 答案：∠A=180°−65°−45°=70°，∠BAD=35°，在△ABD 中 ∠ADB=180°−65°−35°=80°。 6. 在△ABC 中，∠A=50°，∠B 与 ∠C 的平分线交于点 P，求 ∠BPC 的度数。 答案：∠ABC+∠ACB=130°，∠PBC+∠PCB=65°，在△PBC 中 ∠BPC=180°−65°=115°。 C 组（拓展，综合） 7. 在△ABC 中，∠A=α，∠B 与 ∠C 的平分线交于点 P。用含 α 的式子表示 ∠BPC 的度数。 答案：∠ABC+∠ACB=180°−α，所以 ∠PBC+∠PCB=(180°−α)÷2，故 ∠BPC=180°−(180°−α)÷2=90°。 8. 一块三角形零件，∠A=90°，∠B=40°，检验工人量得 ∠C=50°，这块零件合格吗？请说明理由。 答案：合格。因为 ∠C=180°−90°−40°=50°，与量得的度数一致。 1 学科网（北京）股份有限公司 $