13.2.1 三角形的边 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

13.2.1 三角形的边 教学设计 姓名 学科段 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 13.2.1 三角形的边（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十三章“三角形”第 2 节第 1 课时） 教材分析 在学生认识了三角形的定义与分类之后，本节研究三边之间的数量关系。教材从“从点 B 到点 C，沿边 B→A→C 走与直接走 B→C 哪条路近”这一生活问题出发，用“两点之间线段最短”说明 AB+AC>BC，同理得到另外两个不等式，概括出“三角形两边的和大于第三边”；再移项得到“两边之差小于第三边”，并据此判断三条线段能否组成三角形。最后用三角形稳定性的实例收束。本节是后面研究等腰三角形、勾股定理的基础，也是不等式思想在几何中的第一次运用。 核心素养目标 1. 抽象能力：能从“走路远近”的实际问题中抽象出三边的不等关系。 2. 推理意识：能用“两点之间线段最短”说明两边之和大于第三边，并说明每一步的依据。 3. 运算能力：会用三边关系求第三边的取值范围，会判断三条线段能否组成三角形。 4. 应用意识：能用三角形的稳定性解释生活中的现象。 教学重点 三角形三边关系的探究与应用；判断三条线段能否组成三角形。 教学难点 三边关系为什么成立（由基本事实推出）；已知两边求第三边范围时，为什么要同时满足两个不等式。 学情分析 学生已经会用“两点之间线段最短”解释生活现象，但把它与“两边之和大于第三边”联系起来需要引导。常见错误：只验证一组两边之和；求第三边范围时只算上限不算下限；遇到等腰三角形不讨论哪条边是腰。本设计用“走哪条路近”和“摆小棒”两个活动把问题前置。 教学方法 问题驱动、实验操作、讲练结合；以“为什么”“依据是什么”贯穿，让学生把每一步都说得出来。 课时安排 1 课时（40 分钟） 教学资源 教材图 13.2-1、13.2-2；本设计自制的路径比较图、三边关系标注图；小棒若干、直尺、多媒体课件。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 环节一 情境导入 提出问题 从点 B 到点 C，可以沿边 B→A→C 走，也可以直接走线段 BC。哪条路更近？为什么？ 出示路径图，让学生凭生活经验判断；追问：“两点之间线段最短”是哪一学段学过的结论？在这里能说明什么？ 说出“直接走 BC 更近”；用“两点之间线段最短”解释理由；把“更近”改写成数学式子 AB+AC>BC。 能否用基本事实说明理由；能否把“路程长”翻译成“两边之和大于第三边”。 设计意图：三边关系不是背出来的，是由基本事实推出来的；先有路径比较，才有不等式。 环节二 类比推理 得出关系 仿照 AB+AC>BC，从另外两个顶点出发还能得到什么结论？ AB+BC>AC，AC+BC>AB。 归纳：三角形两边的和大于第三边。 引导学生轮流从 A、C 出发说路径，教师板书三个不等式；强调这三个式子对同一个三角形同时成立，不能只写一个。 仿照第一问，分别写出从 A 到 C、从 B 到 A 的两条路径比较，并概括成一句话。 能否写出三个不等式；能否用一句话概括三边关系。 设计意图：由“一个”到“三个”，学生才理解“任意两边”的含义。 环节三 变形应用 求取值范围 由 AB+AC>BC 可以变形得到什么？ AB>BC−AC，即三角形两边的差小于第三边。 已知两边长为 3 和 7，第三边 x 的取值范围是什么？ 示范移项过程，强调“两边之差”要取绝对值；结合三边关系写出 7−3<x<7+3，说明为什么两个条件都要满足。 独立完成移项；用不等式组表示 x 的范围；取几个特殊值检验，如 x = 4、x = 10 时能否围成三角形。 能否正确变形；能否写出完整的取值范围而不漏下限。 设计意图：把“大于”与“小于”成对使用，是本节最容易漏的一步，必须当堂规范。 环节四 判断能否 组成三角形 三条线段长分别为 3、4、5；3、3、6；2、5、8，哪些能组成三角形？判断的方法是什么？ 示范“只要有一组两边之和不大于第三边，就不能组成三角形”；提示技巧：先找最长边，再看另外两边之和是否大于它。 逐组判断并说明理由；归纳出“比较最长边”的简捷方法。 能否用一句话说清判断方法；能否快速判断并说明依据。 设计意图：把三个不等式化简为“最长边与另外两边和”的比较，是运算能力的体现，也是考试中的高频点。 环节五 例题示范 等腰分类 例 用一根长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边长是多少？ （2）如果一边长为 4 cm，那么各边长是多少？ 示范设未知数、列方程；重点讲（2）：4 cm 可能是底，也可能是腰，两种情形都要算，并逐一用三边关系检验。 独立完成（1）；对（2）先分类再计算，发现“4 为腰”时 4+4<10，不能组成三角形，从而舍去。 能否正确分类；能否用三边关系检验并说明舍去的理由。 设计意图：等腰问题必须分类讨论，且结果要用三边关系检验——这是本节最典型的易错点。 环节六 稳定性 联系实际 木工做好的木架，扭一扭会变形吗？屋顶的钢架为什么要做成三角形？这说明三角形具有什么性质？ 出示木架与钢架图片，做“四边形与三角形”的对比演示；指出三角形具有稳定性，四边形没有。 动手推一推四边形与三角形模型，说出感受；举例说明稳定性在生活中的应用。 能否说出三角形具有稳定性；能否举出两个实例。 设计意图：从数量关系回到图形性质，让学生体会数学结论的现实价值。 环节七 课堂小结 布置作业 1. 三角形的三边有什么关系？2. 怎样判断三条线段能否组成三角形？3. 已知两边，怎样求第三边的取值范围？ 组织学生梳理“基本事实—三边关系—判断方法—取值范围”；布置分层作业（A 组必做、B 组选做、C 组拓展）。 复述三边关系与判断方法；记录分层作业。 能否完整说出三边关系；能否独立完成取值范围的计算。 设计意图：小结把“关系”“判断”“范围”三件事串起来，形成一条可操作的流程。 板书设计 13.2.1 三角形的边 一、基本事实：两点之间线段最短 二、三边关系：三角形两边的和大于第三边 　　AB+AC>BC，AB+BC>AC，AC+BC>AB 三、推论：三角形两边的差小于第三边（两边之差<第三边<两边之和） 四、判断三条线段能否组成三角形：最长边 < 另外两边之和 五、稳定性：三角形具有稳定性，四边形没有 六、易错：等腰问题要分类，算完要用三边关系检验 作业设计 《13.2.1 三角形的边》课后作业 A 组（必做，基础） 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）3，4，5；（2）2，3，6；（3）5，5，10；（4）4，6，9。 答案：（1）能；（2）不能，2+3<6；（3）不能，5+5=10；（4）能，4+6>9。 2. 已知三角形的两边长分别为 5 和 8，第三边长为 x，则 x 的取值范围是____。 答案：3<x<13。 3. 一个等腰三角形的两边长分别为 3 cm 和 7 cm，它的周长是多少？ 答案：腰长为 7 cm，周长 7+7+3=17 cm。若腰长为 3 cm，则 3+3<7，不能组成三角形。 B 组（选做，中档） 4. 用一根长 24 cm 的铁丝围成一个三角形，其中一边长为 8 cm，另外两边的长可能是多少？（写出两组） 答案：另外两边之和为 16 cm，且都小于 8+8=16、差小于 8。例如 7 cm 与 9 cm（7+8>9）、6 cm 与 10 cm（6+8>10）。 5. 已知等腰三角形的周长为 20 cm，一边长为 6 cm，求另外两边的长。 答案：若 6 cm 为底，则腰长为 (20−6)÷2=7 cm，三边为 7、7、6，可组成三角形；若 6 cm 为腰，则底边为 20−12=8 cm，三边为 6、6、8，也可组成三角形。所以另外两边为 7 cm、7 cm 或 6 cm、8 cm。 6. 三角形的三边长分别为 2x−1、x+1、3，若它的周长为 12，求各边长，并判断能否组成三角形。 答案：由 (2x−1)+(x+1)+3=12 得 x=3，三边为 5、4、3；5<4+3，能组成三角形。 C 组（拓展，综合） 7. 一个三角形的三边长都是整数，周长为 12，且三边互不相等，这样的三角形有几个？请写出它们的三边。 答案：设三边为 a<b<c，则 c<6，c 最大为 5。c=5 时 a+b=7，取 a=3、b=4；c=4 时 a+b=8 与 a<b<c 矛盾。所以只有（3，4，5）一个。 8. D 是 △ABC 内一点，比较 AB+AC 与 BD+DC 的大小，并说明理由。 答案：AB+AC>BD+DC。延长 BD 交 AC 于点 E，在 △ABE 中 AB+AE>BE=BD+DE，在 △CDE 中 DE+EC>DC，两式相加得 AB+AE+DE+EC>BD+DE+DC，即 AB+AC>BD+DC。 1 学科网（北京）股份有限公司 $