13,2,2 倍长中线与截长补短 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

倍长中线与 截长补短 模块一：倍长中线 国知识梳理 中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法” 添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题。 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等模型.但是给出 的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以 运用“倍长中线法”来解决问题. 1.倍长中线 如图，在△ABC中，CO是AB边上的中线，延长CO至点D,使得DO=CO, CO=OD ∠AOC=∠BOD 中， △AOC和△BOD A0=BO AOC兰△BOD(SAS) 所以 D 2.倍长类中线 如图，O为线段AB的中点，延长CO至点D使得DO=CO, CO=OD ∠AOD=∠BOC △AOC和ABOD 中： AO=BO AOD≡△BOC(SAS) 所以 ☒例题精讲 【例1】倍长中线的基本应用 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F, AF=EF,求证：AC=BE. E 2 【例2】倍长类中线 (I)如图，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EFHIAD交CA的延长线于 点F，,交AB于点G,若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线. A B E D (2)如图所示， ∠B1C=DE=90,M是BE的中点，B=AC,MD=E,求证： AM⊥CD 3 【例3】倍长中线的进阶 (I)已知，△ABC中，AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB. 求证：①CD=2CE;②∠D=∠ACE, E B D (2)已知AD为△ABC的中线，∠ADB,∠ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F. 求证：BE+CF>EF E D 4 模块二：截长补短 国知识梳理 截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，在证明几条线段之间的数量关系时（比如证明 线段的和、差、倍、分等类的题目)，非常有用.通常截长补短作辅助线的方法，构造全等 三角形，以证明线段之间存在某种数量关系。 1.截长法：要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短 边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等： 2.补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段 与最长的已知线段的关系 ☒例题精讲 【例4】截长补短 (I)如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB, (2)如图，AC平分∠BAD,CE⊥AB,且AE=AD+BE,求证：∠B+∠D=180° E 【例5】截长补短进阶 如图所示，在△1BC中，A=10,4BC=40,BD是4C的平分线，延长BD至E 使DE=AD.求证：BC=AB+CE. D 6 【例6】截长补短的应用 (2025南沙区期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点D是BC边上的动点（点 D与点B、C不重合)，连接AD,作△ABD关于AD对称的△AED,DE平分∠ADC时，设 ∠ADB=a. (1)求的值： (2)求证：BD=AD+CD E B 7 巅峰突破 【突破1】倍长类中线进阶 如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE, y 81 【突破2】如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、 N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数. W 9 课后自测 【练习1】(M)在MBC AB=5,AC= ,求BC边上的中线4D的长的取值范围 、BC 中 (2)如图， △ABC, ,∠BAC=120,于D,AD LBC且MB+BD=DC,则∠C= 中， 【练习2】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC, 延长BE交AC于F,AF与EF相等吗？为什么？ 10 【练习3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上，且 DE=DC,EF=AC.求证：EFAB, E 【练习4】如图，四边形ABCD中，ADIIBC,E是CD的中点，且满足AD+BC=AB, (I)求证：AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC: (2)求证：AE⊥BE. A B 【练习5】如图，在△ABC中，AB+BD=AC,∠BAC的平分线AD交BC与D.求证： ∠B=2LC. D 【练习6】如图，△1B C中，B=AC,∠A=108,BD平 分∠ABC交AC于D点.求证： BC=AC+CD A D 2 答案版 模块一：倍长中线 国知识梳理 中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法” 添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题。 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等模型.但是给出 的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以 运用“倍长中线法”来解决问题 1.倍长中线 如图，在△ABC中，CO是AB边上的中线，延长CO至点D,使得DO=CO, CO-OD ∠AOC=∠BOD 在 中， △AOC和ABOD A0=BO AOC兰△BOD(SAS) 所以 O D 3 2.倍长类中线 如图，O为线段AB的中点，延长CO至点D使得DO=CO, CO=OD ∠AOD=∠BOC 中， △AOC和△BOD AO=BO AOD≡△BOC(SAS) 所以 ☒例题精讲 【例1】倍长中线的基本应用 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F, AF=EF,求证：AC=BE. 【答案】延长AD到G,使DG=AD,连接BG, :BD=CD,∠BDG=∠CDA,AD=GD, ∴.△ADC≌AGDB AC=GB,∠G=∠EAF, 又AF=EF,∠EAF=∠AEF, .∠G=∠BED .BE=BG,.BE=AC」 【例2】倍长类中线 (I)如图，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EFIAD交CA的延长线于 点F,交AB于点G,若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线. 14 【答案】延长FE到点H,使HE=FE,连接BH, E D CE=BE ∠CEF=∠BEH 在 和 中， ACEF'△BEH FE=HE .△CEF≌△BEH,.∠EFC=∠EHB,CF=BH=BG .LEHB=∠BGE,而∠BGE=∠AGF,.∠AFG=∠AGF, 又：EF∥AD :∠AFG=∠CAD,∠AGF=∠BAD,∠CAD=LBAD, .AD为△ABC的角平分线， 提示：也可延长GE至H,使EH=GE,连接CH. (2)如图所示， ∠B1C=∠DE=0,M是BE的中点，4B=4C,D=E,求证： AM⊥CD M 5 【答案】延长AM到F,使得MF=AM,连接BF,BF交AD于点N,交CD于点O, ,M是BE的中点， ∴.BM=EM, AM=FM ∠AME=∠FMB 在 和 △AME△FMB 中，EM=BM △AME≌△FMB(SAS) .AE=FB,∠EAF=∠F, .AE//FB :∠DAE=90,AEIIFB, .∠ANF=90, .∠DAB+∠ABN=90°， ,∠BAC=90, .∠CAD+∠DAB=90, .∠CAD=∠ABN, AD=AE,AE=FB, .AD =BF, AC=AB ∠CAD=∠ABF CAD和 在 ABr中， AD=BF △CAD≌△ABF(SAS) .∠D=∠F, :∠D+∠DON=90°，∠DON=∠FOH, .∠FOH+∠F=90°， ,∠AHD=90, .AM⊥CD 16 M 【例3】倍长中线的进阶 (I)已知，△ABC中，AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB, 求证：①CD=2CE;②∠D=∠ACE. B 【答案】①延长CE到F,使EF=CE,连接BF, CE是AB的中线， :AE EB, .△EBF≌△EAC, :BF=AC=BD,∠EBF=∠EAC ∠FBC=LFBE+∠EBC=∠A+∠ACB=LDBC, .△FBC≌ADBC CD=CF=2CE,∠FCB=∠BCD C ②解法一：又.AB=AC, ∠ACB=LABC,∠ACB=∠FCB+∠ACE,∠ABC=∠BCD+LD,.∠D=LACE. 解法二：由①中的两个全等，可以得到：∠F=∠ACE,∠F=∠D,∠D=∠ACE. g (2)已知AD为△ABC的中线，∠ADB,∠ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F. 求证：BE+CF>EF, D 【答案】延长FD到N,使DN=DF,连接BN、EN, 易证△BND≌aCFD,.BN=CF, 又：∠ADB,∠ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F, &∠EDF=∠EDN=90 D 利用SAS证明△EDN≌△EDF,.EN=EF, 在△EBN中，BE+BN>EN, BE+CF>EF. 18 模块二：截长补短 知识梳理 截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，在证明几条线段之间的数量关系时（比如证明 线段的和、差、倍、分等类的题目)，非常有用.通常截长补短作辅助线的方法，构造全等 三角形，以证明线段之间存在某种数量关系。 1.截长法：要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短 边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等： 2.补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段 与最长的已知线段的关系. ☒例题精讲 【例4】截长补短 (I)如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB. D 【答案】解法一：在CD上截取DE=BD,连接AE, :4DLBC,A∠ADB=∠ADE=90 .△ABD≌△AED,.AE=AB,∠AEB=∠=2∠C, ∠CAE=LC,.CE=AE=AB, ∴.CD=CE+DE=AB+BD 解法二：延长CB到F,使BF=AB,连接AF, &∠F=∠BAr-Ac-∠C, :4DLBC,:∠ADB=∠4DE=90 19 .△ADF2aADC,.DF=DC, DF BF BD=AB+BD, .CD=AB=BD (2)如图，AC平分∠BAD,CE⊥AB,且AE=AD+BE,求证：∠B+∠D=18O°. 【答案】在AE上截取一点F,使得AD=AF,连接CF, :AC平分∠BAD, .∠DAC=∠FAC, AD=AF ∠DAC=∠FAC 在AACD ACr中， 和 ACAC △ACD≌△ACF(SAS) .LD=∠AFC. AE=AD+BE,AE=AF+FE,AD=AF, ∴FE=BE, CE⊥AB, .∠CEF=∠CEB=90, FE=BE ∠CEF=∠CEB CEr和 在 CEB中， CE=CE △CEF≌ACEB(SAS) .∠B=∠CFE、 ,∠AFC+∠CFE=180°，∠D=∠AFC, 20 .∠D+∠B=180 E B 【例5】截长补短进阶 如图所示，在1BC中，A:10,乙8C=0,D是4C伯平分线，延KD至， 至 使DE=AD.求证：BC=AB+CE. A D 【答案】在上取BC一点F,使得BF=BA, 易证得△ADB≌△FDB,.DF=AD, 又DA=DE, .'DF=DE, :∠A=100AB=AC D ∠ABC=40° :BD平分∠ABC, :∠ABD=20,、∠ADB=∠FDB=60 .∠CDE=∠ADB=60 21 :∠FDC=∠EDC=60·aDCF≌ADCE .FC=EC,.BC=BF+FC=AB+CE. 【例6】截长补短的应用 (2025南沙区期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点D是BC边上的动点（点 D与点B、C不重合)，连接AD,作△ABD关于AD对称的△AED,DE平分∠ADC时，设 ∠ADB=&. (1)求的值； (2)求证：BD=AD+CD E B 【答案】(I),△ADE与△ADB关于AD对称， .∠ADB=∠ADE=a, 又：ED平分∠ADC, .∠ADE=∠EDC=a, .3a=180, 解得a=60°； (2)如图，过点A作AF/BC, A B 则∠DFA=∠FDC=60°， .∠ACF=∠AFD=60, ∴△ADF为等边三角形， 22 :'AD DF AF, .∠AFE=∠ADC=120°， AB=AC, .∠B=∠C, 又△ADE与△ADB关于AD对称， ∠E=∠B, .∠E=∠C, ∠ADC=∠AFE ∠C=∠E AFE与。ADC中，D=F 在 △AFE≌△ADC(AAS) .EF=CD .AD+CD=DF+EF DE BD,BD=AD+CD 23 巅峰突破 【突破1】倍长类中线进阶 如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE, 【答案】延长AD到F,使AD=DF,连接EF, :D为BF中点，且点D、E三等分BC, .BD=DE, AD=FD ∠ADB=∠FDE 在，。和 中， △ABD△FED BD=ED △ABD≌△FED(SAS) .EF =AB, 延长AE到G,使AE=EG,连接CG, E为AG中点，DE=EC, AE=GE ∠AED=∠GEC AED GEC中， 在 和 DE=CE △AED=△GEC(SAS) .AD=CG, 在△AEF中，由三角形三边关系：AE+EF>AF, 在△ACG中，由三角形三边关系：AC+CG>AG, 两式相加可得： AE+EF+AC+CG>AF+AG】 24 代入EF=AB,CG=AD,AF=2AD,AG=2AE: AE+AB+AC+AD>2AD+2AE 两边同时减去AD+AE,化简得：AB+AC>AD+AE. A B E F G 【突破2】如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、 N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数. A 【答案】延长BC至F,使得CF=AB,在CF上取点E,使得CE=AK,连接 BD、DE、DF, N A D ,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC, .RtADB≌RtACDB, .AD=CD. 25 :AD=CD,AK=CE,AB⊥AD,BC⊥CD, .△ADK≌aCDE, .DK =DE BK+BN +KN=2AB,BF BN+EF EN=2AB,EF CF-CE AB-AK=BK, .KN =EN, .△WDK≌aNDE .∠KDN=∠EDN=∠CDE+∠NDC=∠CDE+∠ADK, :∠ABC=135°. ∠KDN=(180°-135)=22.5° 26] 课后自测 【练习1】(I)在△ABC AB=5,AC=9 、BC 中 求BC边上的中线D的长的取值范围 △ABC, (2)如图， 中， ZBAC=120,于D,DLBC且MB+BD=DC,则C- 【答案】1)2<4D<720 【练习2】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC, 延长BE交AC于F,AF与EF相等吗？为什么？ 【答案】延长AD到G,使DG=AD,连接BG, :BD=CD,∠BDG=∠CDA,AD=GD, .△ADC≌AGDB AC=GB,∠G=∠EAF, 又：BE=AC, .'BE=BG, ∠G=∠BED,而∠BED=∠AEF, .∠AEF=∠FAE,故FA=FE」 2 【练习3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上，且 DE=DC,EF=AC.求证：EFAB 【答案】延长AD到H,使DF=DH,连接CH, DF=DH ∠FDE=∠HDC DEr和ADCH中，DE=DC 在 和 △DEF≌△DCH(SAS) ∴.LDFE=LDHC,EF=CH, 、EF=AC, .CH=AC, .∠CAD=LDHC, ·AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠BAD, .∠BAD=∠DFE, .EF/lAB D 【练习4】如图，四边形ABCD中，ADIlBC,E是CD的中点，且满足AD+BC=AB 28 (I)求证：AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC； (2)求证：AE⊥BE. D E B 解：(I)如图，延长AE与BC的延长线交于点F, AD//BC, ∴.∠DAE=∠F, ,E是CD的中点， :'DE=CE, ,∠AED=∠FEC, △AED≌AFEC(ASA),AD=CFAE=EF AD+BC=AB CF+BC=AB,即BF=BA,, ∠F=∠BAE, .∠BAE=∠DAE,.AE平分∠BAD, AE=EF,BA=BF, .BE平分∠ABC, (②)由(I)得，BA=BF,AE=EF,.AE⊥BE. D E B 29 【练习5】如图，在△ABC中，AB+BD=AC,∠BAC的平分线AD交BC与D.求证： ∠B=2∠C. 【答案】在AC上取一点E,使得AB=AE,连接DE. 在△ABD和△AED中， AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD, ∴.△ABD≌△AED,∴BD=ED,∠B=∠AED 又，AB+BD=AC, .EC=BD=ED,∠AED=∠EDC+∠C=2∠C=∠B 【练习6】如图， a1BC中，B=1C,A=10s,BD平分4BC交MC于D点.求证： BC=AC+CD D 【答案】方法一：在BC上截取E点使BE=BA,连接DE. ,BD平分∠ABC, ,∠ABD=∠EBD, 在△ABD与△EBD中， ,AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD, ∴.△ABD≌△EBD,∴∠A=∠DEB, ∠4=108 301 ∠DEB=108,·∠DEC=72 又 ∠ADB=36°+18°=54 ∠CDE=72°，∠CDE=∠DEC,CD=CE BC=BE+EC, .BC=AC+CD 方法二：如图，延长CA到F,使CF=CB,连接BF :1B=AC.目∠BAC=108 ,且 ∠ABC=∠C=36° .CB=CF, :∠F=∠FBC,、∠FAB=∠C+∠ABC.∠FMB=72 :∠ADB=∠C+;∠ABC, 2 ∠ADB=54° 又：∠FBD=54 .BF=AB=AC=FD,.AF=CD,BC=AC+CD 3