13.2.1三角形的边（第1课时) 教学设计2026-202学年人教版八年级数学上册

13.2.1　三角形的边（第1课时）教学设计 人教版数学八年级上册　第十三章　三角形 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 授课教师 　　　　 课题 13.2.1　三角形的边 教材分析 上节课把三角形“认准了”，这节课要往它的三条边上看。三条线段随手一摆不一定能围成三角形，这里面有一条看得见、算得出的门槛，也就是三边关系。 这条关系的“根”其实学生早就学过——两点之间线段最短。把它放到三角形里翻译一遍，就得到“任意两边之和大于第三边”。所以这节课不必另起炉灶，关键是领着学生把旧知识“搬”过来。 教材还安排了三角形的稳定性。这一块看着不起眼，却是学生第一次用数学解释“为什么门框要斜着钉一根木条”这类生活现象，也顺手为后面多边形的内容铺了路。 从整章的走向看，三边关系是后面判断等腰三角形能否成立、求线段取值范围、证明不等关系的常用工具。这节课把它的“样子”和“用法”都立住，后面对付计算题、证明题都会顺手很多。 学情分析 咱们班孩子对“两点之间线段最短”这句话不陌生，考试也能默写。可真要拿它去说明“任意两边之和大于第三边”，中间还差着一层“翻译”的功夫，这一步多数人是自己迈不过去的。 更常见的毛病是抓不住“任意”两个字。他们习惯拿最长的边和某一条短边比一比，比完就下结论。你问他“万一另一条短边更短呢”，他愣住了。所以判断的方法要教，还得教到“只用比一次”这样省事的程度。 等腰三角形的周长题是这节课的老大难。孩子会分类，但分类完忘了回头验证，把“3、3、6”这样的死结当答案交上来。也有孩子一见到字母表示边长就发怵，觉得“算不出具体数就没法做”。这两种情绪都得在课上提前摁住。 稳定性这一块理解起来不难，难在说清“为什么”。让他们摸一摸、扭一扭，比讲道理管用。 教学目标 1．能说出三角形三边关系的内容，会用“较短两边之和大于最长边”快速判断三条线段能否围成三角形；已知两边会求第三边的取值范围；会用三边关系处理等腰三角形的边长与周长问题，并知道算完要检验。 2．经历“观察路线—猜想—动手扭木架—验证—归纳”的过程，体会把生活现象翻译成数学结论的思路；在含字母、含分类的问题中，学着用方程和分类去处理，逐步改掉“想当然”的习惯。 3．在解释自行车车架、门框斜撑这些身边事物的过程中，感受到数学确实有用；养成下结论前先动手验一验的习惯。 教学重点 三角形三边关系的内容与运用；三角形稳定性的理解。 教学难点 含字母的边长与等腰三角形周长问题（会分类、会检验）；真正理解“任意”两个字的分量，把“验一验”变成固定的解题动作。 教学准备 多媒体课件；预制的三角形木架、四边形木架各一个，备用木条若干；三角尺。 教学过程 教师活动 学生活动 【情景导入】 课件打出一张路线图：小哪吒从家去太乙真人的洞府，图上画了三条走法——一条是绕着山路拐来拐去，一条是先直走再斜着折一段，还有一条是直接连过去。 “三条路，哪条最短？你为什么敢这么肯定？”学生答“直的那条最短”，我追问依据，他们自然搬出“两点之间线段最短”。 接着我把话题往今天的内容上引：“这句话你们小学就会了，可它能帮我们办一件大事——判断三条线段到底能不能拼成三角形。信不信？咱们今天就拿它来试试。” 【设计意图】用现成的旧知识当跳板，比另起一个情境省力。孩子发现“今天学的还是我学过的东西”，畏难情绪先落下去一半。 看图选路，说出最短的那一条。 回忆并口答“两点之间线段最短”。 带着“这句话怎么用来判断三条线段”的疑问进入新课。 【新知探究（一）　三边关系】 在图上标出 △ABC，边分别是 AB、AC、BC。 “刚才说 AC 是最短的走法。把这句话放到 △ABC 里，它说的是谁和谁的关系？” 学生答“从 A 到 C 走直线 AC，比绕道 B 近”。我把这句话写成式子：AB+BC>AC。 “那从 B 出发，绕道 A 到 C 呢？从 A 出发绕道 C 到 B 呢？”顺着同一句话再走两遍，得到 BC+AC>AB、AB+AC>BC。三个式子摆在黑板上，让全班一起用一句话概括——三角形任意两边之和大于第三边。 “任意”二字我写成红色，重读两遍。 接着做变形。“刚才说两边之和大于第三边，那两边之差呢？”引导学生用不等式性质自己动笔：以 AB+AC>BC 为例，两边同时减去 AC，得 AB>BC−AC；两边同时减去 AB，得 AC>BC−AB。三组都做一遍，归纳出“三角形任意两边之差小于第三边”。 【设计意图】不等式变形不难，难在孩子想不到要去变形。让他们自己动一次手，比老师直接报结论印象深得多。 最后抛出那个“省事”的问题：“要判断三条线段能不能围成三角形，是不是非把三组都比一遍？” 给他们一点时间算：若最长边已经小于另外两边之和，另外两句话还用不用再验？多数人会自己发现：只要“较短两边之和大于最长边”成立，其余两句自动成立。这一步定了，后面做题能省一半时间。 思考并回答：AC 是最短路径说明了什么。 跟着老师的思路写出 AB+AC>BC、BC+AB>AC、AC+BC>AB。 一起归纳出“三角形任意两边之和大于第三边”。 动手把三个不等式各变一次形，推出“任意两边之差小于第三边”。 小组讨论“只比一次行不行”，派代表说出理由。 【新知应用（一）　判一判，求一求】 练习一：下面各组线段能不能围成三角形？说说理由。 (1) 3，3，6；(2) 2，5，6；(3) 15，16，2；(4) 3，8，20。 解：(1) 因为 3+3=6，所以这三条线段不能组成三角形；(2) 因为 2+5>6，所以能组成三角形；(3) 因为 15+2>16，所以能组成三角形；(4) 因为 3+8<20，所以不能组成三角形。 订正时我把第 (1)(4) 两小题单独拎出来讲：一个卡在“等于”，一个卡在“小于”。提醒学生，判断时先排好队、找出最长的边，然后就看“两短之和”和“最长边”谁大，一次定胜负。 练习二：三条线段 a、b、c 分别满足下面的条件，其中能构成三角形的是（　C　）。 A．a+b=4，a+b+c=5　　B．a∶b∶c=1∶2∶3　　C．a∶b∶c=2∶3∶4　　D．a∶b∶c=2∶2∶4 这道题第 B、D 两个选项都是“两短之和刚好等于最长边”，是标准的反例；A 选项则是“第三条边比另外两条加起来还长”。让他们自己找出错在哪一条边上。 练习三：从长为 9、6、5、4 的四根木条中挑三根围三角形，可以怎么挑？ 答案：9，6，5 或 9，6，4 或 6，5，4（写出所有方案）。 练习四：三角形的两边长分别为 2 和 3，第三条边 a 的取值范围是 1<a<5。 最后帮他们把方法定下来：已知两边求第三边，第三边一定“比两边之差大、比两边之和小”。用式子写就是 |a−b|<x<a+b。 【设计意图】四道小题是四条不同的路：判断、选条件、列举方案、求范围。前面两道练“比”，后面两道练“算”和“列”，各有各的用处。 独立完成后口答，重点把第 (1)(4) 两小题不能组成的原因说清楚。 第2题订正时对照自己选错的原因，明确“两短之和等于最长边”是不能成立的。 第3题有序列举所有方案，不漏不重。 第4题自己推出 1<a<5，并记住“两边之差<第三边<两边之和”这条规律。 【新知再探　三角形的稳定性】 把提前做好的三角形木架和四边形木架拿出来，请一位同学上讲台。 “先用力扭这个三角形木架。”木架纹丝不动。 “再扭这个四边形木架。”四边形的形状一下就变形了。 “同学们看清楚了。现在我在四边形上钉一根木条，把一对顶点连起来。”钉完再让他扭——“扭不动了。” 由此收口：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；在四边形上钉一根木条，把它变成两个三角形，就稳了。 讲完追问一句生活里的去处：“教室的门框为什么是长方形的，却总要斜着钉一根木条？工地上的脚手架为什么爱用三角形？”让他们自己把“稳定性”三个字套上去。 【设计意图】这节课最容易上成“讲结论”的就是这一块。让孩子上来扭一扭，比放十张图片都有效，而且他会记住“四边形加一条对角线就稳了”这件事。 观察并亲手感受两种木架：三角形扭不动，四边形会变形。 看老师给四边形加上一根木条后再扭，形状不变，得出结论：四边形加上一条对角线就具有稳定性。 举例说明生活中哪些地方用到了这个道理。 【针对训练　稳定性的应用】 1．建筑工地常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，这样做的依据是（　C　）。 A．两点之间线段最短　　B．两点确定一条直线　　C．三角形的稳定性　　D．矩形的四个角是直角 2．下面几项中，不是利用三角形稳定性的是（　C　）。 A．自行车的三角形车架　　B．三角形房梁　　C．四边形的活动挂架　　D．长方形门框的斜拉条 3．空调室外机固定在墙上时，通常会采用如图所示的支架方式，这里用到的几何原理是：三角形具有稳定性。 4．(1) 图中哪些图形具有稳定性？(2) 对不具有稳定性的图形，适当添加线段，使它们具有稳定性。 解：(1) 第 1、4、6 个图形具有稳定性；第 2、3、5 个图形不具有稳定性。(2) 在不稳定的图形中添上一条对角线，把它分成三角形即可。 做完带他们总结判断的道理：整体上全由三角形拼成、里面没有别的图形“空着”，一般就稳定；只要还留着一个四边形或多边形，一般就不稳定。 【设计意图】判断题不难，但要让孩子从举例走到“会说理”，把“看起来稳”换成“它是由三角形拼成的”，这才算把这节课的稳定性讲透。 独立完成，说明判断依据。 第4题自己在图上动手加线段，加完互相检查是不是真的都变成三角形了。 跟着老师总结判断图形稳定性的办法。 【典例分析】 例1　(1) 等腰三角形的腰长为 7，底边长为 8，求它的周长。（答：22） (2) 等腰三角形的一边长为 7，另一边长为 8，求它的周长。（答：22 或 23） (3) 等腰三角形的一边长为 3，另一边长为 8，求它的周长。（答：19） 这三小题排在一起是有讲究的。第 (1) 题把腰和底说得很明确，直接加就行；第 (2) 题只说“一边、另一边”，没说谁是腰，那就得分开讨论——7 为腰时周长 22，8 为腰时周长 23；第 (3) 题看着和第 (2) 题一样，可算下去会发现：如果 3 作腰，底边长是 8，3+3=8，围不成三角形，所以这一种情况要划掉，只剩 3 作底边、腰为 8 的情形，周长 19。 我把这三道题并排写在黑板上，最后用一句话点题：等腰三角形问题，先分类，再检验，两件事一件都不能省。 【易错提醒】“3、8、8”能围成，“3、3、8”不能。判断标准就一句——两短之和是否大于最长边。 例2　已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，且满足 。 (1) 求 a 的取值范围；(2) 若 a 为偶数，求三角形的周长。 解：(1) 由被开方数非负、分母不为零，得 ，解得 b=6。 把 b=6 代入原式，得 |c−3|=0，所以 c=3。 于是 a 应满足 6−3<a<6+3，即 3<a<9。 (2) 因为 a 为偶数，所以 a=4 或 a=6 或 a=8。 当 a=4 时，三角形的周长为 13；当 a=6 时，三角形的周长为 15；当 a=8 时，三角形的周长为 17。 综上，这个三角形的周长为 13，15 或 17。 这道题的“钥匙”有两个。一是根号里的式子要有意义，被开方数得大于等于零，配合分母不为零、算术根非负，几路条件一起上才能把 b 定住。二是求 a 的范围时别忘两边之差、两边之和这两道关卡。 例3　已知 △ABC 的三边长分别为 m−3、2m+1、10，求 m 的取值范围。 解：由三边关系，得 解①得 m>4，解②得 m<6，解③得 m>−14。 所以不等式组的解集为 4<m<6。 讲的时候先问一句：“三个式子都要解吗？”给他们一分钟看，多数会发现②③两个解出来的范围很宽，真正管用的是最长边参与的那一条。不过该写的过程还是要写全，这是规范，不能省。 例4　用一条长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形。 (1) 若腰长是底边长的 2 倍，求各边长； (2) 能围成有一边长为 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ (3) 能围成有一边长为 9 cm 的等腰三角形吗？为什么？ (4) 设腰长为 a cm，求 a 的取值范围； (5) 设底边长为 b cm，求 b 的取值范围； (6) 设最长边长为 c cm，求 c 的取值范围； (7) 若三边长都是整数，最多能围出几个符合条件的等腰三角形？分别写出它们的边长。 解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm。由 x+2x+2x=18 解得 x=3.6，所以各边长是 3.6、7.2、7.2。 (2) 能围成，理由如下： 若 4 cm 为腰，底边长为 18−4×2=10。因为 4+4<10，不能围成三角形，所以腰长不能是 4 cm。 若 4 cm 为底边，腰长为 (18−4)÷2=7。因为 7+4>7，能围成。 综上，能围成底边长为 4 cm 的等腰三角形。 (3) 不能，理由如下： ①若 9 cm 为腰，设底边长为 d cm，由 d+9×2=18 解得 d=0，围不成三角形； ②若 9 cm 为底边，设腰长为 k cm，由 2k+9=18 解得 k=4.5。因为 4.5+4.5=9，两边之和等于第三边，围不成三角形。 故一边长为 9 cm 的等腰三角形围不成。 (4) 三边长为 a、a、18−2a。 若腰为短边，由 a+a>18−2a 解得 ；若腰为长边，由 a+18−2a>a 解得 a>9。 所以 a 的取值范围为 。 (5) 三边长为 、、b，由 0<b<18−b 解得 0<b<9，所以 b 的取值范围为 0<b<9。 (6) 由 解得 6≤c<9，所以 c 的取值范围为 6≤c<9。 (7) 由 (4) 知 4.5<y<9，其中 y 为腰长，整数腰长可取 5、6、7、8。 逐一代入验证：y=5 时 18−2y=8（5，5，8 能围成）；y=6 时 18−2y=6（6，6，6 能围成）；y=7 时 18−2y=4（7，7，4 能围成）；y=8 时 18−2y=2（8，8，2 能围成）。 所以最多可以围出 4 个符合条件的等腰三角形，三边长分别是 5 cm、5 cm、8 cm；6 cm、6 cm、6 cm；7 cm、7 cm、4 cm；8 cm、8 cm、2 cm。 这一串小题的台阶是一层一层往上搭的：先给具体数字，再给“有没有”的判断，最后交给字母。讲的时候不必每题平均用力，把 (2)(3) 两问的“先假设、再检验”的套路讲透，(4)—(7) 就有影子可循了。 【设计意图】例4 是这节课的“主梁”，把周长、分类、范围、整数解全串了起来。孩子能把 (4)(5) 两问的式子自己列出来，说明三边关系是真的会用，不是背下来的。 例1 先独立判断，再听老师的整理，把三小题的差别写在本子上。 例2 跟着老师找条件：先定 b，再定 c，最后求范围。 例3 自己试着把三个不等式都解出来，看看哪个式子真正起了作用。 例4 重点做 (2)(3) 两问，按“设—列—验”的顺序写完整。 【变式训练】 1．已知三角形的三边长分别为 3、2a−1、4，求 a 的取值范围。 解：由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，得 4−3<2a−1<4+3，即 1<a<4。 2．已知三角形三条边的长分别为 a+4、a+5、a+6，求 a 的取值范围。 解：由题意可得 ，所以 a>−3。 这道题要提醒一句：最长的边 (a+6) 和另外两条的差是不是一定小于第三条？因为三边是连着的三个整数，直接用“两短之和大于最长边”判断最省事，另一条不等式也顺手写上，过程完整。 3．若 a、b、c 是 △ABC 的三边长，化简 。 解：由三边关系可知 a+c−b>0，c−a−b<0，a+b+c>0。 所以原式 = (a+c−b)+(c−a−b)+(a+b+c) = a+3c−b。 这道题的要害在“去符号之前先判正负”。根号里是 (a+c−b)²，因为 a+c−b>0，开方后原样照写；|c−a−b| 里面 c−a−b<0，去绝对值时要整体变号；|a+b+c| 里三边之和当然为正，直接照写。三步判完再动笔，式子就不会乱。 4．若等腰三角形的三边长分别为 a、2a−1、5a−3，求这个三角形的周长。 解：①当底边长为 a 时，由 2a−1=5a−3 解得 a=，此时三边长为 、、，不符合三边关系，舍去； ②当底边长为 2a−1 时，由 a=5a−3 解得 a=，此时三边长为 、、，符合三边关系； ③当底边长为 5a−3 时，由 a=2a−1 解得 a=1，此时三边长为 1、1、2，不符合三边关系，舍去。 所以三角形的周长为 。 这道题的错法集中在“算完就交”。三种情况里有两种是“看着算出来了，其实围不成”，必须回头验。我在讲评时会把“验”字写在黑板正中，提醒他们这是本题的得分点。 5．如图，四边形木框 ABCD 要维持稳定的形状，需要在 AC 或 BD 上钉一根木条。现量得 AB=80 cm，BC=60 cm，CD=40 cm，AD=50 cm，则所需木条的长度至少要多长（结果保留整厘米数）？ 解：连接 AC 时，在 △ABC 中 20 cm<AC<140 cm；在 △ADC 中 10 cm<AC<90 cm，所以 20 cm<AC<90 cm。 连接 BD 时，在 △ABD 中 30 cm<BD<130 cm；在 △ADC 中 20 cm<BD<100 cm，所以 30 cm<BD<100 cm。 综合比较，所需木条的长度最少为 21 cm。 两道保险要同时都算，取的是公共部分。孩子容易只算一边就报数，结果偏大或者偏小。 【设计意图】五道变式题的落点各不相同：第1题练范围，第2题练含字母的判断，第3题练化简，第4题练分类与检验，第5题练综合。能完整做下来，这节课的核心就落地了。 独立完成前两题，同桌交换检查不等式有没有解错。 第3题先在草稿上判断每个式子的正负，再动笔去符号。 第4题把三种情况及检验过程都写出来，不跳步。 第5题注意把两段范围合起来取交集。 课堂练习 1．下列图形中不具有稳定性的是（　B　）。 2．王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上的木条根数是（　B　）。 A．0 根　　B．1 根　　C．2 根　　D．3 根 3．若三角形的两边长分别为 2 和 3，则第三条边长可能是（　B　）。 A．1　　B．2　　C．5　　D．6 4．△ABC 的三边长都是整数，周长为 11，且有一边的长为 4，则这个三角形中最长的边可能是（　C　）。 A．7　　B．6　　C．5　　D．4 5．若三角形有两边的长分别为 5 和 2，第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为 12。 6．在 △ABC 中，AB=7，BC=3，且 AC 的长为奇数，则 △ABC 的周长可能是 15 或 17 或 19。 板书设计 13.2.1　三角形的边 一、三边关系 　　1．任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a 　　2．任意两边之差小于第三边：|a−b|<c，|a−c|<b，|b−c|<a 二、判断三条线段能否围成三角形 　　只验一次：较短两边之和 > 最长边 三、已知两边求第三边范围 　　设已知两边为 a、b（a≥b），第三边为 x，则 a−b<x<a+b 四、三角形的稳定性：三角形稳定，四边形不稳定（加一条对角线即稳定） 五、例题：例1　例2　例3　例4 课堂小结 收尾时不翻书，让学生自己说这节课“拿到了什么”。我按三条线在黑板上带他们过一遍： 一条是“判”：三条线段能不能围成三角形，只看较短两边之和是不是大于最长边。 一条是“算”：已知两边求第三边，第三边夹在“两边之差”和“两边之和”中间。 一条是“用”：等腰三角形先分类再检验；遇到字母不要慌，把式子立出来就是一个不等式组。 最后补一句今天容易忘的：分类讨论题，写完一定要回头看“能不能围成”，这一眼常常就是分数。 作业布置 必做：教材 P7 练习 1、2。 选做：用一根长 14 厘米的细铁丝围成一个等腰三角形。 (1) 若腰长是底边长的 3 倍，各边长是多少？ (2) 能围成有一边长为 2 厘米的等腰三角形吗？为什么？ (3) 若最长边为 x，求 x 的取值范围。 实践作业：留心观察，找出 3 处生活中用到三角形稳定性的地方，拍一张照片或画下来，下节课用一分钟向大家介绍。 教学反思 这节课的节奏基本按预想走，最出彩的是扭木架那一段。三角形木架传下去的时候，几个平时不太举手的孩子都伸手去掰了。等到四边形加一根木条后再扭不动，班里有个孩子脱口而出“这不就是两个三角形嘛”——这句话比我自己讲十个例子都值。以后这种“人人能动手”的环节应该再多留几分钟。 让我意外的是例4的第 (4)(5) 两问。原本以为含字母是难点，结果学生在“腰为短边、腰为长边”的分法上反应比我预想的快，反而是在写不等式解集时出错——4.5<y<9 写成 4.5≤y≤9 的有好几个。看来不等号带不带等号这件事，还得在平时多磨。 不太满意的是变式训练第3题。我把它放在了最后，时间紧，只讲了思路没让孩子动笔。现在回头看，化简这类题不亲自写一遍是学不会的。下次考虑把它挪到前面当例题讲，或者在课堂练习里留一道同型的题让他们当堂消化。 还有一个要改的地方：这节课我讲得还是偏多。三边关系、稳定性、四道例题加五道变式，黑板上一路铺过去，学生动手的时间被压得比较薄。下次准备把例1的三小题改成“先做后评”，让他们自己先在练习本上算完，我再收答案，这样至少能把讲台让出一半。 学科网（北京）股份有限公司 $