4.1.2无理数指数幂及其运算性质 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．借助有理数指数幂的逼近，了解无理数指数幂的含义，体会无限逼近（夹逼）的思想。 2．掌握实数指数幂的运算性质，能进行幂的运算、化简与大小比较。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：无理数指数幂的含义；实数指数幂运算性质的运用。 学习难点：用有理数逼近无理数、理解无理数指数幂是一个确定的实数。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．分数指数幂：，（，，）。 2．有理数指数幂的运算性质（，，）：；；。 二、新知初探 1． 的不足近似值依次为 ，，，，；过剩近似值依次为 ，，，，。 2．观察：，，，。随着精确度提高，这样的一串区间越来越＿＿， 被夹逼为一个＿＿＿＿的实数。 3．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （， 为无理数）是一个＿＿＿＿的实数。这样，指数幂中指数的范围就扩充到了＿＿＿。 4．实数指数幂的运算性质：当 ，， 时，仍有 （1）＿＿；　（2）＿＿；　（3）＿＿。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一： 到底等于多少 借助计算器计算并填写下表： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ？ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ 图1　用有理数指数幂逼近 问题 1：随着近似值精确度提高，（ 为 的近似值）呈现出怎样的变化趋势？ 问题 2：由此说明 是不是一个确定的实数？ 探究二：实数指数幂运算性质的应用 化简下列各式（，）： （1）；　（2）。 探究三：利用运算性质比较大小 1．比较 与 的大小，并说明理由。 2．已知 ，，试用 ， 表示 。 💡 【典例精析】 例1　用逼近思想说明 是一个确定的实数，并估计其值（精确到 ）。 【解析】 例2　化简下列各式（，）： （1）； （2）。 【解析】 例3　已知 ，求 与 的值。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列说法正确的是（　　） A．无理数指数幂 （）没有意义 B． 是介于 与 之间的一个确定的实数 C． 的值随精确度的提高而不断改变 D．实数指数幂的运算性质只对有理数指数幂成立 2．计算 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．化简 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．比较大小：＿＿（填""或""）。 5．已知 ，，则 ＿＿＿＿。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．无理数指数幂用有理数指数幂从不足与过剩两个方向无限逼近，其值唯一确定； 2．指数范围由有理数扩充到实数后，三条运算性质完全保持； 3．化简、求值、比较大小都要紧扣运算性质与同底转化。 课后作业： 1．化简 （，）； 2．已知 ，求 的值； 3．预习 4.2.1 指数函数的概念。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 指数函数的概念 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．通过具体实例，了解指数函数的实际背景，体会指数函数与现实世界的密切联系。 2．理解指数函数的概念和定义域，能判断一个函数是否为指数函数，会求指数型函数的解析式。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：　指数函数的概念与解析式特征；实际问题的指数函数模型。 学习难点：　对底数范围 且 的理解；指数函数与幂函数的区别。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．幂函数：函数 叫做幂函数，其特点是底数为自变量，指数为常数。 2．实数指数幂：（，）是一个确定的实数，运算性质与有理数指数幂一致。 二、新知初探 1．背景一（细胞分裂）：1 个细胞每分裂一次个数翻番，分裂次数 与细胞个数 的关系为 ＿＿＿＿。 2．背景二（放射性衰变）：碳 14 含量 随死亡时间 （单位：年）按 衰减。 3．指数函数的定义：函数＿＿＿＿叫做指数函数，其中 ＿且 ＿，定义域为＿＿。 4．思考：为什么规定 且 ？ （1）若 ，则当 时 ＿＿； （2）若 ，如 ＿＿； （3）若 ，则 是＿＿＿函数，没有研究价值。 5．指数函数解析式的特征：系数为＿，底数为常数且满足条件，指数位置恰好是＿＿＿。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：从增长快慢看"变量在指数上" 在同一坐标系中观察幂函数 与指数函数 的图象： 图1　幂函数与指数函数的增长对比 问题 1：当 时，哪个函数值更大？当 时呢？ 问题 2：两个函数中自变量 所处的位置有什么不同？ 探究二：指数函数的辨析 判断下列函数是否为指数函数，并说明理由： （1）；　（2）；　（3）；　（4）；　（5）；　（6）。 探究三：求指数函数的解析式 已知指数函数 的图象经过点 ，求 的解析式及 ， 的值。 💡 【典例精析】 例1　下列函数中，哪些是指数函数？ （1）；　（2）；　（3）（ 且 ）；　（4）。 【解析】 例2　已知函数 是指数函数，求实数 的取值范围。 【解析】 例3　某商品原价为 200 元，每次涨价 。设涨价 次后的价格为 元。 （1）写出 关于 的解析式，并指出其是否为指数函数； （2）求连续涨价 3 次后的价格（精确到 0.1 元）。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数是指数函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知 是指数函数，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知指数函数 的图象经过点 ，则 ＿＿＿＿。 4．某种细胞分裂时由 1 个分裂成 2 个，则分裂 次后得到细胞个数 ，分裂 5 次后得到的细胞个数是＿＿＿个。 5．设 ，，比较 与 的大小。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．指数函数的标准形式是 （ 且 ），系数必须为 1，底数必须是常数，指数位置是自变量； 2．判断指数函数要紧扣三个特征，形如 、 的都不是指数函数； 3．增长率恒定的实际问题（翻番、复利、衰减）常抽象为指数函数模型。 课后作业： 1．判断 、、（）是否为指数函数； 2．已知指数函数 （ 且 ）满足 ，求 与 ； 3．预习 4.2.2 指数函数的图象与性质。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 📮 【参考答案与解析】 探究一：　问题 1：由图象知 时 ， 时 （在 与 处两图象相交）。问题 2：幂函数 中自变量在底数位置，指数是常数；指数函数 中自变量在指数位置，底数是常数，这正是两类函数的本质区别。 探究二：　（1）是，形如 （）。（2）不是， 中变量在底数，是幂函数。（3）不是，系数不为 1。（4）不是，底数 。（5）不是，系数为 2 不为 1。（6）不是， 相当于系数为 3，且指数不是单个 。 探究三：　将 代入得 ，又 且 ，故 ，；，。 例1：（1）是指数函数。（2），相当于系数为 ，且指数为 ，不是指数函数。（3）因 且 ，底数 且 ，是指数函数。（4） 是幂函数，不是指数函数。 例2：　由题意 ，即 且 ，故 或 ，且 。 例3：　（1）；因系数 200 不为 1，它不是指数函数，但可看作指数函数 的 200 倍（指数型函数）。（2） 时 （元）。 当堂达标：　1．B　提示：A 系数不为 1；C 底数 ；D 是幂函数；B 符合定义。 2．C　提示： 且 ，故 ；。 3．　提示：，故 。 4．　提示：。 5．，，故 。 课后作业：　 1．，系数不为 1，不是； 中 且 ，是；，当 时 ，此时 不是指数函数，当 时是，故不一定是（仅当 时是）。 2．，，，。 3．略。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 指数函数的概念 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．通过具体实例，了解指数函数的实际背景，体会指数函数与现实世界的密切联系。 2．理解指数函数的概念和定义域，能判断一个函数是否为指数函数，会求指数型函数的解析式。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：　指数函数的概念与解析式特征；实际问题的指数函数模型。 学习难点：　对底数范围 且 的理解；指数函数与幂函数的区别。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．幂函数：函数 叫做幂函数，其特点是底数为自变量，指数为常数。 2．实数指数幂：（，）是一个确定的实数，运算性质与有理数指数幂一致。 二、新知初探 1．背景一（细胞分裂）：1 个细胞每分裂一次个数翻番，分裂次数 与细胞个数 的关系为 ＿＿＿＿。 2．背景二（放射性衰变）：碳 14 含量 随死亡时间 （单位：年）按 衰减。 3．指数函数的定义：函数＿＿＿＿叫做指数函数，其中 ＿且 ＿，定义域为＿＿。 4．思考：为什么规定 且 ？ （1）若 ，则当 时 ＿＿； （2）若 ，如 ＿＿； （3）若 ，则 是＿＿＿函数，没有研究价值。 5．指数函数解析式的特征：系数为＿，底数为常数且满足条件，指数位置恰好是＿＿＿。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：从增长快慢看"变量在指数上" 在同一坐标系中观察幂函数 与指数函数 的图象： 图1　幂函数与指数函数的增长对比 问题 1：当 时，哪个函数值更大？当 时呢？ 问题 2：两个函数中自变量 所处的位置有什么不同？ 探究二：指数函数的辨析 判断下列函数是否为指数函数，并说明理由： （1）；　（2）；　（3）；　（4）；　（5）；　（6）。 探究三：求指数函数的解析式 已知指数函数 的图象经过点 ，求 的解析式及 ， 的值。 💡 【典例精析】 例1　下列函数中，哪些是指数函数？ （1）；　（2）；　（3）（ 且 ）；　（4）。 【解析】 例2　已知函数 是指数函数，求实数 的取值范围。 【解析】 例3　某商品原价为 200 元，每次涨价 。设涨价 次后的价格为 元。 （1）写出 关于 的解析式，并指出其是否为指数函数； （2）求连续涨价 3 次后的价格（精确到 0.1 元）。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数是指数函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知 是指数函数，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知指数函数 的图象经过点 ，则 ＿＿＿＿。 4．某种细胞分裂时由 1 个分裂成 2 个，则分裂 次后得到细胞个数 ，分裂 5 次后得到的细胞个数是＿＿＿个。 5．设 ，，比较 与 的大小。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．指数函数的标准形式是 （ 且 ），系数必须为 1，底数必须是常数，指数位置是自变量； 2．判断指数函数要紧扣三个特征，形如 、 的都不是指数函数； 3．增长率恒定的实际问题（翻番、复利、衰减）常抽象为指数函数模型。 课后作业： 1．判断 、、（）是否为指数函数； 2．已知指数函数 （ 且 ）满足 ，求 与 ； 3．预习 4.2.2 指数函数的图象与性质。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．借助有理数指数幂的逼近，了解无理数指数幂的含义，体会无限逼近（夹逼）的思想。 2．掌握实数指数幂的运算性质，能进行幂的运算、化简与大小比较。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：无理数指数幂的含义；实数指数幂运算性质的运用。 学习难点：用有理数逼近无理数、理解无理数指数幂是一个确定的实数。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．分数指数幂：，（，，）。 2．有理数指数幂的运算性质（，，）：；；。 二、新知初探 1． 的不足近似值依次为 ，，，，；过剩近似值依次为 ，，，，。 2．观察：，，，。随着精确度提高，这样的一串区间越来越＿＿， 被夹逼为一个＿＿＿＿的实数。 3．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （， 为无理数）是一个＿＿＿＿的实数。这样，指数幂中指数的范围就扩充到了＿＿＿。 4．实数指数幂的运算性质：当 ，， 时，仍有 （1）＿＿；　（2）＿＿；　（3）＿＿。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一： 到底等于多少 借助计算器计算并填写下表： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ？ ＿＿ ＿＿ ＿＿ ＿＿ 图1　用有理数指数幂逼近 问题 1：随着近似值精确度提高，（ 为 的近似值）呈现出怎样的变化趋势？ 问题 2：由此说明 是不是一个确定的实数？ 探究二：实数指数幂运算性质的应用 化简下列各式（，）： （1）；　（2）。 探究三：利用运算性质比较大小 1．比较 与 的大小，并说明理由。 2．已知 ，，试用 ， 表示 。 💡 【典例精析】 例1　用逼近思想说明 是一个确定的实数，并估计其值（精确到 ）。 【解析】 例2　化简下列各式（，）： （1）； （2）。 【解析】 例3　已知 ，求 与 的值。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列说法正确的是（　　） A．无理数指数幂 （）没有意义 B． 是介于 与 之间的一个确定的实数 C． 的值随精确度的提高而不断改变 D．实数指数幂的运算性质只对有理数指数幂成立 2．计算 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．化简 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．比较大小：＿＿（填""或""）。 5．已知 ，，则 ＿＿＿＿。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．无理数指数幂用有理数指数幂从不足与过剩两个方向无限逼近，其值唯一确定； 2．指数范围由有理数扩充到实数后，三条运算性质完全保持； 3．化简、求值、比较大小都要紧扣运算性质与同底转化。 课后作业： 1．化简 （，）； 2．已知 ，求 的值； 3．预习 4.2.1 指数函数的概念。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 📮 【参考答案与解析】 探究一：表中 依次约为 ，，，，，，，，。 问题 1：不足近似对应的 逐渐增大，过剩近似对应的 逐渐减小，两串数从两侧无限逼近同一个值。 问题 2：由逼近过程知 被唯一确定，是一个确定的实数，。 探究二：（1）。 （2）原式 。 探究三：　 1．因为 ，且 在 上递增，所以 。 2．。 例1：　用 的不足近似值 与过剩近似值 分别作指数：一方面 递增，另一方面 递减；且随精确度提高，两串数的差 ，， 趋于 ，故它们夹逼出唯一确定的实数，这个数就是 。由计算器得 ，，故 （精确到 ）。 例2：　（1）。 （2）分子 ，分母 ，且 ，故原式 ，又 ，，故原式 。 例3：　由 平方得 。又 。 当堂达标：　1．B　提示：，且无理数指数幂是确定的实数，运算性质对实数指数幂都成立。 2．A　提示：系数 ，指数相加 ，，故积为 。 3．A　提示：平方差公式 ，得 。 4．　提示：，底数 时指数越大幂越大。 5．　提示：。 课后作业：　 1．。 2．由 平方得 ，故 。 3．略。 学科网（北京）股份有限公司 $