第九讲 函数的概念及其表示导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的概念及其表示，核心内容包括“对应关系说”下用集合语言表述的函数概念及三要素。通过具体函数实例归纳抽象概念，衔接初中函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架，突出集合语言表述概念的重点与要素提炼的难点。 资料以数学抽象和逻辑推理素养为导向，题型分层设计，从基础的区间与不等式互化、具体函数定义域，到抽象函数定义域、同一函数判定及同族函数问题，逐步深化概念理解，帮助学生掌握函数核心要素，提升分析和解决问题的能力。

第九讲 函数的概念及其表示 【学习目标】(1)建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念. (2)理解  的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数. (3)在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养. 【学习重点】建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念. 【学习难点】从不同问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系． 必掌握知识点 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 必考题型全归纳 题型一：函数定义域求解 知识点 1：区间与不等式互化 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 特别提醒： (1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． (2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． (3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． 1．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集用区间表示为______. 3．不等式的解集用区间表示为__________. 知识点 2：基础具体函数定义域（根式、分式、零次幂） （1）偶次方根的被开方数大于或等于零： （2）分式的分母不为零； （3）零次幂的底数不为零；多个限制条件取交集。 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为________． 6．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 知识点 3：抽象函数定义域 此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 7．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 9．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型二：函数的定义（判断对应关系是否为函数） （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 11．下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 12．（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 题型三：同一函数判定 两个函数完全相同，必须同时满足两个条件：①定义域完全一致；②对应法则完全一致（化简后解析式相同），值域由前两者决定无需单独验证。定义域不同一定不是同一函数。 13．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 16．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四：同族函数定义 解析式相同、值域相同，但定义域不同的一系列函数称为同族函数；已知解析式与值域，枚举所有合法定义域，统计函数个数。 17．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 18．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 题型五：函数解析式与函数值计算 19．若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 20．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 21．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 22．已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 巩固提升： 1．不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 5．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九讲 函数的概念及其表示 【学习目标】(1)建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念. (2)理解  的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数. (3)在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养. 【学习重点】建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念. 【学习难点】从不同问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系． 必掌握知识点 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 必考题型全归纳 题型一：函数定义域求解 知识点 1：区间与不等式互化 一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特别提醒：(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． (2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． (3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． 1．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 2．不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 3．不等式的解集用区间表示为__________. 【答案】 【分析】解出一元一次不等式得解即可. 【详解】由可得， 所以不等式的解集为，故答案为： 知识点 2：具体函数定义域（根式、分式、零次幂） （1）偶次方根的被开方数大于或等于零： （2）分式的分母不为零； （3）零次幂的底数不为零；多个限制条件取交集。 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为 5．函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由根号下的非负的限制取两部分取值的交集即可求解. 【详解】函数有意义，则有，解得， 的定义域为. 6．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 知识点 3：抽象函数定义域 此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 7．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 8．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 9．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得.所以的定义域为. 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且.故选：B 题型二：函数的定义（判断对应关系是否为函数） （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 11．下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 12．（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 题型三：同一函数判定 两个函数完全相同，必须同时满足两个条件：①定义域完全一致；②对应法则完全一致（化简后解析式相同），值域由前两者决定无需单独验证。定义域不同一定不是同一函数。 13．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 14．（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 15．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 16．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 题型四：同族函数定义 解析式相同、值域相同，但定义域不同的一系列函数称为同族函数；已知解析式与值域，枚举所有合法定义域，统计函数个数。 17．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据函数的定义确定．，只要在定义域中，中至少有一个，中至少有一个即可． 【详解】值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况.故选：C． 18．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个，则这样的函数共有个.故答案为：. 题型五：函数解析式与函数值计算 知识点 1：代入求值（已知 x 求 f(x)，已知 f(x) 求 x） ①给自变量，直接代入解析式计算函数值；②给函数值，解方程求自变量 x。 19．若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 20．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 【答案】(1)不在 (2)当时，；当时， 【分析】（1）计算即可判断； （2）直接代值计算即可，令，解方程即可. 【详解】（1）因为，所以点不在的图象上. （2）当时，； 若，则，即，解得. 21．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 【答案】(1)1， (2)6 【分析】（1）分别令，可得答案； （2）由，解方程可得答案. 【详解】（1）令时，得： ， 令时，得： ， 因此，，. （2）由，得： 解得：， 因此，当 时，. 22．已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）将代入即可得出答案 【详解】（1）； （2） 巩固提升： 1．不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式，再用区间表示即可. 【详解】由题意得，用区间表示为. 故选：D. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 3．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 5．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】将问题转化为对任意都恒成立. 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $