1.1 集合的概念及其表示 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** “集合的概念”同步练通过“例题-变式-拓展-练习”分层设计，覆盖从概念理解到综合应用的进阶路径，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|元素特征、集合表示等单一知识点|单选为主，如例1判断集合确定性，直接对应概念理解| |能力提升|参数集合、新定义问题等综合应用|解答题含分类讨论，如例4空集与元素个数问题，培养推理能力| |综合应用|基础到拓展的多样题型|选择、填空、解答结合，如练习12集合相等问题，适配课堂检测与课后巩固|

1.1 集合的概念及其表示 【知识点归纳】 一、集合的概念; 具有某些属性的一些对象的全体.集合中的各个对象叫做这个集合的元素. 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 二、元素与集合：（元素）、、 空集：符号，不含任何元素的集合 3、 常用的数集符号 自然数集（或非负整数集）N ，正整数集， 整数集 Z ， 有理数集 Q ，实数集 R 4、 集合的两种表示：列举法、描述法 五、数集、点集的区别 1、点 集：以点为元素的集合。 表示： 抛物线上点的集合 2、数 集：以数为集合 表 示：表示大于5的所有数。 【典型例题】 例1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年广东省高考数学全国I卷中的难题 B．深圳市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年广东省高考数学全国I卷中的难题 ”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“深圳市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式1】下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．喜欢运动的人 D．小于5的正整数 【答案】D 【解析】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故C不符合题意。 对于D，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故D符合题意； 故选：D. 例2．（单选题）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（　） A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠﹣1且x≠0且x≠3 D．x≠﹣1或x≠0或x≠3 【答案】　C 【解析】集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3 解得：x≠3且x≠﹣1且x≠0 故C正确 【变式2】（单选题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故B正确． 例3．（单选题）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C. 【变式3】（多选题）给出下列说法，其中正确的是(      ) A.集合用列举法表示为 B.实数集可以表示为为所有实数或 C.方程组的解组成的集合为 【答案】AD 【解析】对于A，解，得或或，而，因此用列举法表示为，A正确； 对于B，符号“{}”包含“所有”“全体”等含义，而“R”已表示所有的实数构成的集合，则实数集可以表示为为实数或R，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由得且，因此方程的所有解组成的集合为，D正确.故选AD. D.方程的所有解组成的集合为 【拓展提升】 例4．（解答题）已知集合. (1)若A是空集，求的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)(2)当时集合，当时集合；(3) 【解析】(1)解： 是空集，且，，解得，的取值范围为：； (2)解：①当时，集合， ②当时，，，解得，此时集合， 综上所求，当时集合，当时集合； (3)解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得时中至少有一个元素，即 【变式4】（单选题）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【解析】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得，所以或.故选A 例5.（解答题）若集合A具有以下性质:(ⅰ)0∈A且1∈A;(ⅱ)若x,y∈A,则x-y∈A,且当x≠0时,∈A,则称集合A为“闭集”. (1)设集合B是由-1,0,1构成的集合,试判断集合B是否为“闭集”,并说明理由; (2)设集合A是“闭集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A. 【解析】(1)不是“闭集”,因为-1-1=-2∉B,所以B不是“闭集”. (2)因为集合A是“闭集”,所以0-y=-y∈A,故x-(-y)=x+y∈A. 【变式5】定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【解析】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【练 习】（1-7单选题） 1．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，，，，①②③正确，④错误. 故选C. 2．已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为集合，， 所以, 故选B. 3．已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是 (　　) A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M 【答案】C 【解析】由2∈M可知,2为方程x2-x+m=0的一个解, 所以22-2+m=0,解得m=-2,所以方程为x2-x-2=0, 解得x1=-1,x2=2,故方程的另一个解为-1. 故选C. 4．已知集合，，则集合B中元素个数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】 A  【解析】集合，，则当时，有当时，或，当时，或，所以，集合B有中5个元素.故选A 5．若，则的可能取值有（      ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C  【解析】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设； 时，则，符合题设；∴或均可以.故选C 6．若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选B. 7.设集合，若且，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，而且， 且，解得．故选：C． 8.(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD 9.（多选题）已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项中属于集合M的是 (　　) A. B. 0 C. D.3-1 【答案】BCD 【解析】因为a∈Z,b∈Z,故x=a+b≠,∉M,A错误;当a=b=0时,x=0,所以0∈M,B正确;当a=-1,b=-1时,x=-1-∈M,C正确;当a=-1,b=3时,x=3-1∈M,D正确;.故选BCD 10.（填空题）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【分析】当，，必然不是自然数，依次代入，验证是否是自然数，从而得到结果. 【解析】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 11.（填空题）区间内恰有8个整数，写出整数a的一个值：______________. 【答案】1（答案不唯一） 【解析】由题知区间中的整数为1，2，3，4，5，6，7，8，所以，解得，又a为整数，所以a可以为0.（答案不唯一，满足且a为整数即可） 12.（解答题）已知由a,,1组成的集合A与由a2,a+b,0组成的集合B相等,求a2 026+b2 027的值. 【答案】1 【解析】由已知可得a≠0,两集合相等, 因为1≠0,所以 =0,所以b=0,所以a2=1,即a=±1, 又因为当a=1时,集合A不满足集合中元素的互异性, 所以a=1舍去,a=-1. 所以a2 026+b2 027=1. 13.（解答题）已知集合具有性质对任意、，与至少有一个属于集合． (1)判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； 【答案】（1）集合具有性质；集合不具有性质 （2） 【解析】（1）集合中，因为，，， ，，，，所以集合具有性质； 集合中，因为，，所以集合不具有性质． （2）因为，且具有性质， 所以，，则， 又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而，所以，故． ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 【知识点归纳】 一、集合的概念：具有某些属性的一些对象的全体.集合中的各个对象叫做这个集合的元素. 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 二、元素与集合：（元素）、、 空集：符号，不含任何元素的集合 3、 常用的数集符号 自然数集（或非负整数集）N ，正整数集， 整数集 Z ， 有理数集 Q ，实数集 R 4、 集合的两种表示：列举法、描述法 五、数集、点集的区别 1、点 集：以点为元素的集合。 表示： 抛物线上点的集合 2、数 集：以数为集合 表 示：表示大于5的所有数。 【典型例题】 例1．（单选题）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2026年广东省高考数学全国I卷中的难题 B．深圳市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1】（单选题）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．喜欢运动的人 D．小于5的正整数 例2．（单选题）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（　） A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠﹣1且x≠0且x≠3 D．x≠﹣1或x≠0或x≠3 【变式2】（单选题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例3．（单选题）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】（多选题）给出下列说法，其中正确的是(      ) A.集合用列举法表示为 B.实数集可以表示为为所有实数或 C.方程组的解组成的集合为 【拓展提升】 例4．已知集合. (1)若A是空集，求的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【变式4】已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 例5.若集合A具有以下性质:(ⅰ)0∈A且1∈A;(ⅱ)若x,y∈A,则x-y∈A,且当x≠0时,∈A,则称集合A为“闭集”. (1)设集合B是由-1,0,1构成的集合,试判断集合B是否为“闭集”,并说明理由; (2)设集合A是“闭集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A. 【变式5】定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【练 习】（1-7单选题） 1．下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 3．已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是 (　　) A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M 4．已知集合，，则集合B中元素个数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 5．若，则的可能取值有（      ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 6．若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.设集合，若且，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 8.(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 9.(多选题)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项中属于集合M的是 (　　) A. B. 0 C. D.3-1 10.（填空题）已知集合，则用列举法表示集合________. 11.（填空题）区间内恰有8个整数，写出整数a的一个值：_________. 12.（解答题）已知由a,,1组成的集合A与由a2,a+b,0组成的集合B相等,求a2 026+b2 027的值. 13.（解答题）已知集合具有性质对任意、，与至少有一个属于集合． (1)判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $