3.2.1单调性与最大小值 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教a版必修一 3.2.1 单调性与最大（小）值 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解其作用和实际意义。 2．能用定义证明简单函数的单调性，掌握“取值—作差—变形—定号—结论”的基本步骤。 3．理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义，能求简单函数的最大（小）值。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：　函数单调性的定义与用定义证明单调性；函数最大（小）值的概念。 学习难点：　对定义中“任意”二字的理解；作差变形的技巧；含参数时单调区间的讨论。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．区间的表示：如 、、、 等，注意闭区间包含端点，开区间不包含端点。 2．二次函数 的图象是抛物线，对称轴为 ， 时开口向上， 时开口向下。 二、新知初探 1．增函数：设函数 的定义域为 ，区间 。如果对于区间 上的任意两个自变量的值 ，，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数， 称为 的单调递增区间。 2．减函数：在上述条件下，若当 时都有 ，则称 在区间 上是减函数。 3．用定义证明单调性的一般步骤：第一步＿＿＿（设 ， 且 ）；第二步＿＿＿（作差 ）；第三步＿＿＿（因式分解、配方或通分）；第四步＿＿＿（确定差的符号）；第五步＿＿＿（下结论）。 4．最大值：设 的定义域为 ，若存在实数 满足：①对任意的 ，都有 ；②存在 ，使得 ，则称 是 的最大值。仿照写出最小值的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：从图象到定义 观察函数 的图象（如下图）：在区间 上任取 ，比较 与 的大小；在区间 上呢？由此尝试用文字与符号语言概括“增函数”“减函数”的定义。 图1　由图象观察函数值的变化 思考：定义中的 ， 为什么必须是“任意”的两个值？只取两个特殊值（如 ，）能否说明函数在区间上单调？ 探究二：用定义证明单调性 证明：函数 在区间 上是减函数。 思考：证明中“”用到了 ， 的哪些条件？若区间改为 ，结论如何？ 探究三：最值的几何意义 观察闭区间上图象的最高点与最低点：最大（小）值定义中的两个条件，即“任意 ”与“存在 使 ”，分别起什么作用？只有条件①行不行？ 💡 【典例精析】 例1　用定义证明：函数 在区间 上是增函数。 【解析】 例2　求函数 在区间 上的最大值与最小值。 【解析】 例3　用定义证明：函数 在区间 上是增函数。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．函数 在区间 上的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．用定义证明：函数 在区间 上是增函数。 4．求函数 在区间 上的最大值与最小值。 5．已知函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．单调性刻画函数在某个区间上“升降”的整体性质，必须用“任意”取值的定义刻画； 2．定义法证单调性五步：取值、作差、变形、定号、结论； 3．最大（小）值是“上（下）界取得到”的值，几何上是区间内图象的最高（低）点。 课后作业：1．用定义证明 在区间 上是减函数； 2．求 在区间 上的最大值与最小值； 3．预习 3.2.2 奇偶性。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 📮 【参考答案与解析】 探究一：　在 上， 时恒有 ，图象上升，为增函数；在 上恒有 ，图象下降，为减函数。“任意”保证了对区间内每一对自变量规律都成立，特殊值只能验证、不能证明单调性。 探究二：　任取 ，，且 ，则 。由 ， 知 ；由 知 ，故 ，即 ，所以 在 上是减函数。分子用到了“”，分母用到了“，”；区间改为 时 仍为正，结论不变，仍为减函数。 探究三：　条件①说明 不小于任何函数值，是“上界”；条件②说明 是函数取得到的值，防止把取不到的上界误当作最大值。只有①时 可能只是上界而非最大值。 例1：　任取 ，，且 ，则 。由 得 ，，故 ，即 。所以 在 上是增函数。 例2：　，对称轴 ，抛物线开口向下，故最大值为 ；再比较端点：，，故最小值为 。 例3：　任取 ，，且 ， 则 。 由 得 ； 由 ， 得 ， 故 ，即 ， 所以 在 上是增函数。 当堂达标：　1．C　提示：A、D 在 上递减，B 递减，C 中 在 上递增。 2．A　提示：，最小值 在顶点取得；比较端点 ，，故最大值为 。 3．任取 ，，且 ，则 。由 得 ，且 ，故 ，即 ，所以 在 上是增函数。 4．任取 ，则 。 在 上是减函数（证明同探究二），故最大值 ，最小值 。 5．抛物线开口向上，对称轴为 ，在 上递减。由 在 上是减函数，得 ，故 ，即 的取值范围是 。 课后作业：　1．任取 ，。由 得 ；由 得 ，两因式异号，故 ，即 ， 在 上是减函数。 2．，最小值 ；比较 ，，故最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教a版必修一 3.2.1 单调性与最大（小）值 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解其作用和实际意义。 2．能用定义证明简单函数的单调性，掌握“取值—作差—变形—定号—结论”的基本步骤。 3．理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义，能求简单函数的最大（小）值。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：　函数单调性的定义与用定义证明单调性；函数最大（小）值的概念。 学习难点：　对定义中“任意”二字的理解；作差变形的技巧；含参数时单调区间的讨论。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．区间的表示：如 、、、 等，注意闭区间包含端点，开区间不包含端点。 2．二次函数 的图象是抛物线，对称轴为 ， 时开口向上， 时开口向下。 二、新知初探 1．增函数：设函数 的定义域为 ，区间 。如果对于区间 上的任意两个自变量的值 ，，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数， 称为 的单调递增区间。 2．减函数：在上述条件下，若当 时都有 ，则称 在区间 上是减函数。 3．用定义证明单调性的一般步骤：第一步＿＿＿（设 ， 且 ）；第二步＿＿＿（作差 ）；第三步＿＿＿（因式分解、配方或通分）；第四步＿＿＿（确定差的符号）；第五步＿＿＿（下结论）。 4．最大值：设 的定义域为 ，若存在实数 满足：①对任意的 ，都有 ；②存在 ，使得 ，则称 是 的最大值。仿照写出最小值的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：从图象到定义 观察函数 的图象（如下图）：在区间 上任取 ，比较 与 的大小；在区间 上呢？由此尝试用文字与符号语言概括“增函数”“减函数”的定义。 图1　由图象观察函数值的变化 思考：定义中的 ， 为什么必须是“任意”的两个值？只取两个特殊值（如 ，）能否说明函数在区间上单调？ 探究二：用定义证明单调性 证明：函数 在区间 上是减函数。 思考：证明中“”用到了 ， 的哪些条件？若区间改为 ，结论如何？ 探究三：最值的几何意义 观察闭区间上图象的最高点与最低点：最大（小）值定义中的两个条件，即“任意 ”与“存在 使 ”，分别起什么作用？只有条件①行不行？ 💡 【典例精析】 例1　用定义证明：函数 在区间 上是增函数。 【解析】 例2　求函数 在区间 上的最大值与最小值。 【解析】 例3　用定义证明：函数 在区间 上是增函数。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．函数 在区间 上的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．用定义证明：函数 在区间 上是增函数。 4．求函数 在区间 上的最大值与最小值。 5．已知函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结： 1．单调性刻画函数在某个区间上“升降”的整体性质，必须用“任意”取值的定义刻画； 2．定义法证单调性五步：取值、作差、变形、定号、结论； 3．最大（小）值是“上（下）界取得到”的值，几何上是区间内图象的最高（低）点。 课后作业：1．用定义证明 在区间 上是减函数； 2．求 在区间 上的最大值与最小值； 3．预习 3.2.2 奇偶性。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $