3.2.2奇偶性导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教a版必修一 3.2.2 奇偶性 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义。 2．能借助图象和定义判断简单函数的奇偶性。 3．能运用奇偶性解释函数图象的对称性，并解决相关的简单问题。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：奇函数、偶函数的定义及判断方法。 学习难点：“定义域关于原点对称”这一前提的理解；利用奇偶性求解析式或参数。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．轴对称图形与中心对称图形的概念；点 关于 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 2．函数单调性与最值的研究方法（图象观察与定义证明）。 二、新知初探 1．偶函数：设函数 的定义域为 ，如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做偶函数，其图象关于＿＿轴对称。 2．奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做奇函数，其图象关于＿＿＿对称。 3．判断奇偶性的一般步骤：第一步，考查函数的＿＿＿＿是否关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；第二步，计算 ，并与 比较，作出判断。 4．若奇函数 在 处有定义，则 ＿＿＿。 5．常用结论：奇函数＋奇函数＝＿＿函数；偶函数＋偶函数＝＿＿函数；奇函数×奇函数＝＿＿函数；奇函数×偶函数＝＿＿函数。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：对称之美 观察下面两个函数的图象，描述 与 的图象各自具有的对称性；再计算 与 ， 与 ，由此猜测“图象对称”与“函数值关系”之间的联系。 图1　偶函数与奇函数图象的对称性 探究二：“任意”与“对称前提” （1）若只验证个别点（如 ）满足 ，能否断定 是偶函数？ （2）判断函数 ， 的奇偶性，并说明“定义域关于原点对称”这一前提的作用。 探究三：奇函数为何过原点 若奇函数 在 处有定义，证明 ，并从图象角度解释。 💡 【典例精析】 例1　判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）；（3）；（4），。 【解析】 例2　已知函数 是偶函数，求实数 的值。 【解析】 例3　设 是定义在 上的奇函数，当 时，，求当 时 的解析式，并求 。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数中是偶函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知 是奇函数，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．判断函数 的奇偶性，并说明理由。 4．已知偶函数 满足：当 时，，求当 时 的解析式。 5．已知函数 ，且 ，求 的值。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结：1．奇偶性由 刻画，前提是定义域关于原点对称；2．偶函数图象关于 轴对称，奇函数图象关于原点对称，奇函数在原点有定义时 ；3．判断步骤：先看定义域，再算 。 课后作业：1．判断函数 的奇偶性并说明理由；2．设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 的解析式；3．预习 3.3 幂函数。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 📮 【参考答案与解析】 探究一：　 的图象关于 轴对称，且 ，，即 ； 的图象关于原点对称，且 ，，即 。可见“图象的对称性”对应着“函数值的特定关系”，这正是奇偶性定义的来源。 探究二：　（1）不能。定义要求对区间内“任意”的 都成立，个别点满足只是必要而非充分的验证。 （2）定义域 不关于原点对称（例如 ）， 无意义，故 既不是奇函数也不是偶函数。“定义域关于原点对称”是讨论奇偶性的前提。 探究三：　由奇函数定义，对任意 有 。取 （注意 ），则 ，故 ，即 。几何上，奇函数图象关于原点对称，若图象经过 ，则其关于原点的对称点 也在图象上，两点都在 轴上且纵坐标互为相反数，只能是同一点，故 。 例1：　（1）定义域为 ，，是奇函数。 （2）定义域为 ，，是偶函数。 （3）定义域为 ，，与 、 都不相等，是非奇非偶函数。 （4）定义域 不关于原点对称，是非奇非偶函数。 例2：法一：由 是偶函数且定义域为 ，得 ，即 ，解得 。法二：偶函数图象关于 轴对称，二次函数 的对称轴为 ，故 ，即 。经检验 时 是偶函数。 例3：当 时，，则 。又 是奇函数，。由 得 。 当堂达标：　 1．B　提示： 定义域为 且 ，是偶函数；A 非奇非偶，C、D 是奇函数。 2．A　提示：。 3．奇函数。理由：定义域为 ，关于原点对称；，故 是奇函数。 4．当 时，，。由 是偶函数，。 5．设 ，则 是奇函数，。由 得 ，故 。 课后作业：　 1．定义域为 ，关于原点对称；，是奇函数。 2．当 时 ，，又 为奇函数，；故 。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教a版必修一 3.2.2 奇偶性 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义。 2．能借助图象和定义判断简单函数的奇偶性。 3．能运用奇偶性解释函数图象的对称性，并解决相关的简单问题。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：奇函数、偶函数的定义及判断方法。 学习难点：“定义域关于原点对称”这一前提的理解；利用奇偶性求解析式或参数。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．轴对称图形与中心对称图形的概念；点 关于 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 。 2．函数单调性与最值的研究方法（图象观察与定义证明）。 二、新知初探 1．偶函数：设函数 的定义域为 ，如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做偶函数，其图象关于＿＿轴对称。 2．奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对任意的 ，都有 ，且 ，那么函数 叫做奇函数，其图象关于＿＿＿对称。 3．判断奇偶性的一般步骤：第一步，考查函数的＿＿＿＿是否关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；第二步，计算 ，并与 比较，作出判断。 4．若奇函数 在 处有定义，则 ＿＿＿。 5．常用结论：奇函数＋奇函数＝＿＿函数；偶函数＋偶函数＝＿＿函数；奇函数×奇函数＝＿＿函数；奇函数×偶函数＝＿＿函数。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：对称之美 观察下面两个函数的图象，描述 与 的图象各自具有的对称性；再计算 与 ， 与 ，由此猜测“图象对称”与“函数值关系”之间的联系。 图1　偶函数与奇函数图象的对称性 探究二：“任意”与“对称前提” （1）若只验证个别点（如 ）满足 ，能否断定 是偶函数？ （2）判断函数 ， 的奇偶性，并说明“定义域关于原点对称”这一前提的作用。 探究三：奇函数为何过原点 若奇函数 在 处有定义，证明 ，并从图象角度解释。 💡 【典例精析】 例1　判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）；（3）；（4），。 【解析】 例2　已知函数 是偶函数，求实数 的值。 【解析】 例3　设 是定义在 上的奇函数，当 时，，求当 时 的解析式，并求 。 【解析】 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数中是偶函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知 是奇函数，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．判断函数 的奇偶性，并说明理由。 4．已知偶函数 满足：当 时，，求当 时 的解析式。 5．已知函数 ，且 ，求 的值。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结：1．奇偶性由 刻画，前提是定义域关于原点对称；2．偶函数图象关于 轴对称，奇函数图象关于原点对称，奇函数在原点有定义时 ；3．判断步骤：先看定义域，再算 。 课后作业：1．判断函数 的奇偶性并说明理由；2．设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 的解析式；3．预习 3.3 幂函数。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $