3.2.2奇偶性（第2课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性（第二课时）（导学案） 1、理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，能利用奇偶性分析函数图像性质。 2、借助函数图像抽象出奇偶性概念，体会数形结合思想，提升抽象概括能力。 3、感受数学对称美，体会从特殊到一般的研究思路，培养严谨的数学思维。 重点：函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，理解奇偶函数图像的对称性。 难点：实现图形语言到代数符号语言的抽象转化，利用奇偶性性质解决问题。 ★ 提纲携领 夯实基础 阅读教材，完成以下问题： 【1】若为偶函数且在区间（）上单调递增（减），则在上_________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【2】若为奇函数且在区间上单调递增（减），则在上________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【3】奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 探究一、函数单调性应用 思考：若函数是偶函数，是偶函数,则是__________. 探究二、函数单调性与奇偶性综合 问题1：已知是偶函数且在上单调递减，则____ 思考：单调性与奇偶性之间有什么关系呢？ 问题2：已知函数的局部图像如图，你能否求函数的单调区间。 【题型1：函数奇偶性的判断】 1、判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【知识点拨】 用奇偶性对函数分类：奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既奇又偶函数。 2、（1）已知函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数； 若，判断其奇偶性． 3、已知函数，则下列函数中为奇函数的是( ) . . . . 【题型2：利用函数奇偶性求参数】 1、（1)函数是偶函数，定义域为,,的值； （2)已知函数是奇函数，则实数________． 【知识点拨】 利用奇偶性求参数的常见类型： (1)定义域含参数：奇偶函数的定义域为， 根据定义域关于原点对称，利用求参数； (2)解析式含参数：根据或列式， 比较系数利用待定系数法求解． 2、(1)若函数是偶函数，的值； (2)若函数是奇函数，的值。 3、已知是定义在上的偶函数，那么的值是______________. 4、已知是定义在上的奇函数，那么的值是______________. 【题型3：利用函数奇偶性求解析式】 1、若是定义在上的奇函数，当时，，求解析式． 追问：本例条件不变，求的值 【知识点拨】 利用函数奇偶性求函数解析式： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用的奇偶性写出或，从而解出． 2、已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式。 3、已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式为_________. 【题型4：利用函数奇偶性求值】 1、已知,则_________. 2、已知,则_________. 3、已知,则_________. 【题型5：函数单调性与奇偶性综合】 1、(1)已知函数在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若 ，求实数的取值范围； (2)定义在[－2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递减，若，求实数的取值范围． 【知识点拨】 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路： (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性； (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响。 2、若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ） 3、若偶函数在区间上是增函数且最小值是6，则在上是（ ） A、增函数，最大值是6 B、增函数，最小值是6 C、减函数，最小值是6 D、减函数，最大值是6 4、已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围。 5、已知函数的定义域为，且在上是增函数，若，则实数的取值范围为( ). 6、若对于任意实数上是增函数，则（ ） ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 2．已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 6．若，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 7．已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．若函数同时满足：①对于定义域内的任意x， 有；②对于定义域内的任意当时，有则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数不是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 10．对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 11．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 13．已知函数且，则的值为________. 14．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 四、解答题 15．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 16．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 17．已知函数是奇函数． (1)求函数的定义域及实数的值； (2)若函数满足且时，，求的值． 18．函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 19．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性（第二课时）（导学案）（解析版） 1、理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，能利用奇偶性分析函数图像性质。 2、借助函数图像抽象出奇偶性概念，体会数形结合思想，提升抽象概括能力。 3、感受数学对称美，体会从特殊到一般的研究思路，培养严谨的数学思维。 重点：函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，理解奇偶函数图像的对称性。 难点：实现图形语言到代数符号语言的抽象转化，利用奇偶性性质解决问题。 ★ 提纲携领 夯实基础 阅读教材，完成以下问题： 【1】若为偶函数且在区间（）上单调递增（减），则在上_________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【答案】 单调递减（增） 相反 【2】若为奇函数且在区间上单调递增（减），则在上________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【答案】 单调递增（减） 一致（相同） 【3】奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 【答案】 探究一、函数单调性应用 思考：若函数是偶函数，是偶函数,则是__________. 【答案】偶函数 探究二、函数单调性与奇偶性综合 问题1：已知是偶函数且在上单调递减，则____ 【答案】＞ 思考：单调性与奇偶性之间有什么关系呢？ 【答案】偶函数在对称区间上单调性相反 奇函数在对称区间上单调性相同 问题2：已知函数的局部图像如图，你能否求函数的单调区间。 【答案】单调递增区间：[-1,0]，[1,+∞) 单调递增区间：(-∞,-1]，[1,+∞) 单调递减区间：[0,1]，(-∞,-1] 单调递减区间：[-1,0]，[0,1] 【题型1：函数奇偶性的判断】 1、判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 解：(1)∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又，∴为偶函数． (2)∵函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且， 又∵，，∴既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数的定义域为，不关于原点对称，∴是非奇非偶函数． (4)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 【知识点拨】 用奇偶性对函数分类：奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既奇又偶函数。 2、（1）已知函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数； 若，判断其奇偶性． (1)证明：令，则，∴. 令，则, ∴，又∵定义域为关于原点对称，∴是奇函数． (2)解：①当时，，对任意， ，则函数为偶函数； ②当时，，取，得，取，得，则，， 即，，则函数既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，函数为偶函数． 3、已知函数，则下列函数中为奇函数的是( ) . . . . 【答案】： 【解析】：因为函数的图象关于点中心对称，所以将 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象关于 坐标原点中心对称，所以是奇函数。故选. 注：也可将选项中函数解析式逐一求出后判断 【题型2：利用函数奇偶性求参数】 1、（1)函数是偶函数，定义域为,,的值； （2)已知函数是奇函数，则实数________． 解：(1)∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴，= . 又∵为偶函数 ∴. ∴= ，即=0. (2)由奇函数有，得,故. 【知识点拨】 利用奇偶性求参数的常见类型： (1)定义域含参数：奇偶函数的定义域为， 根据定义域关于原点对称，利用求参数； (2)解析式含参数：根据或列式， 比较系数利用待定系数法求解． 2、(1)若函数是偶函数，的值； (2)若函数是奇函数，的值。 【答案】， 3、已知是定义在上的偶函数，那么的值是______________. 【答案】 4、已知是定义在上的奇函数，那么的值是______________. 【答案】 【题型3：利用函数奇偶性求解析式】 1、若是定义在上的奇函数，当时，，求解析式． 解：当时，.当时，， ， 由于是奇函数，故， 所以. 即当时，. 故 追问：本例条件不变，求的值 【答案】 【知识点拨】 利用函数奇偶性求函数解析式： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用的奇偶性写出或，从而解出． 2、已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式。 解：∵当时，,则 ∵为上的偶函数 ∴当时，. 3、已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式为_________. 【答案】 【题型4：利用函数奇偶性求值】 1、已知,则_________. 【答案】 2、已知,则_________. 【答案】 3、已知,则_________. 【答案】 【题型5：函数单调性与奇偶性综合】 1、(1)已知函数在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若 ，求实数的取值范围； (2)定义在[－2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递减，若，求实数的取值范围． 解：(1)由，得． ∵在[－1，1]上是奇函数， ∴，∴． 又∵在[－1，1]上单调递减， ∴,解得 ∴，∴的取值范围是[0，1)。 (2)∵函数是偶函数，∴． ∴，． ∴原不等式等价于,解得 ∴实数的取值范围是. 【知识点拨】 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路： (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性； (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响。 2、若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ） 【答案】 3、若偶函数在区间上是增函数且最小值是6，则在上是（ ） A、增函数，最大值是6 B、增函数，最小值是6 C、减函数，最小值是6 D、减函数，最大值是6 【答案】 4、已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围。 解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数 ∴函数在区间上为减函数。 若, 则有, 解得：. 即实数的取值范围是：. 5、已知函数的定义域为，且在上是增函数，若 ，则实数的取值范围为( ). 【答案】 6、若对于任意实数上是增函数，则（ ） 【答案】 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由，， 则，故函数为偶函数， 则. 2．已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】先利用奇函数的性质求出的可能取值，再根据判断函数单调性，筛选得到的正确值。 【详解】因为函数是奇函数，所以对定义域内任意，都有成立。 ， 由得：， 交叉相乘整理得：对任意定义域内恒成立， 因为，故，解得.将变形为，是上的增函数。 当时，，此时为减函数，故为增函数，，不符合条件； 当时，，此时在，上单调递减，单调递减，满足，符合题意。综上，. 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：定义域是，对称轴是，不满足偶函数定义，排除A. 选项B：定义域是，，满足偶函数定义，在上任取两个数. 假设，作差得， 其中，即，又，所以，即， 因此，即，故在上单调递增,符合题意。 选项C：是偶函数，但在是周期函数，不满足单调递增的要求，不符合题意，排除C. 选项D：函数定义域为，不满足偶函数的定义域要求，排除D. 4．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 5．已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 6．若，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 【答案】C 【分析】根据函数对称性可得的解析式，由此可得的单调性，再依次判断各个选项即可。 【详解】若，则函数的图象关于对称。 当时，； 当时，， 所以. 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增。 且的最小值为. 故B，D错误，C正确。 又，所以函数不是奇函数，所以A错误。 7．已知函数满足，若，，，则关于m的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意判断函数的对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解。 【详解】由知的图象关于直线对称； 由，，， 知在上单调递增， 所以在上单调递减． 又，始终在递增区间，故分两类： 当，即时， 由，得， 所以，解得． 当，即时， 利用对称性，且． 由， 得，即， 所以． ，所以无解． 综上所述，关于m的不等式的解集为． 8．已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可。 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 二、多选题 9．若函数f(x)同时满足：①对于定义域内的任意x， 有；②对于定义域内的任意当时，有则称函数f(x)为“理想函数”，给出下列四个函数不是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的单调性和奇偶性定义逐一判断各选项即可。 【详解】对于A，由于，所以不满足①， 所以不是“理想函数”，故A符合题意； 对于B，由于是上的奇函数，满足①， 且在上单调递减，满足②， 所以是“理想函数”，故B不符合题意； 对于C，由于的定义域为，关于原点对称， 且，故满足①， 对于,任取而， 此时不满足②， 即不是“理想函数”，故C符合题意； 对于D，作出的图象； 由图可得是奇函数，满足①， 由于在上单调递减，满足②， 即是“理想函数”，故D不符合题意。 故选：AC. 10．对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义可判断AB，再利用分段讨论单调性来求值域，可判断CD. 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 11．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项运用偶函数的性质，再进行变式；对于B选项先利用中心对称求出再代入解析式中求出k；对于C选项联立轴对称和中心对称从而推导出周期；对于D选项先计算出一个周期的函数值，再看求和取了几个周期。 【详解】对于A，由题可得，即，令， 则，故，因此，则A选项正确； 对于B，由题可得，则， 令，则，，因为，所以， 解得，故B选项错误。 对于C，已知，，则， 令，则，即， ，所以，故C选项正确； 对于D，已知时，，则， 因为，令，解得，又因， 所以函数的周期，， 所以， 故，因此D选项正确。 三、填空题 12．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 13．已知函数且，则的值为________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 . 14．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集。 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题 15．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数。 （2）令，应用作差法比较、的大小即可证。 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 16．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2) 当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数。 (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和。 【详解】（1）当时，，则； （2）略 （3）由（2）知，，，则 17．已知函数是奇函数． (1)求函数的定义域及实数的值； (2)若函数满足且时，，求的值． 【答案】(1)函数的定义域为， (2) 【分析】（1）根据函数的性质求出定义域，利用奇函数的性质求出的值； （2）根据题目条件利用函数的周期即可求出的值。 【详解】（1）由题可知分式的分母不能为0，令，即，解得， 因此的定义域为， 又函数为奇函数，满足有， ， 由得：， 整理得，解得. （2）已知， 令替换，得，故是周期为的函数， 又是奇函数，， ，此时，因此. 18．函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)在和上单调递增，证明如下： 令， ， 所以，在区间上单调递增， 又函数是定义在上的奇函数， 所以，在区间上单调递增， 综上，在和上单调递增，得证． (3) 【分析】（1）由得，代入已知解析式，再利用奇函数的性质变形，进而得到的解析式； （2）令，从而通过判断的符号即可得到在区间上单调性，再结合奇函数的性质也可得到在区间上单调性，进而即可得到的单调性； （3）结合（2），分和两种情况分析，进而根据和即可求出 不等式的解集． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 当时，，则， 所以． 所以． （2）略 （3）由（2）可得， 当时，，所以，，，； 由，得； 当时，，所以，，，； 由，得． 综上，不等式的解集为． 19．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增。 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增。 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $