3.3幂函数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教a版高中数学必修一 3.3 幂函数 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．了解幂函数的概念，能识别一个函数是否为幂函数。 2．结合函数 ，，，， 的图象，了解它们的变化情况。 3．能利用幂函数的单调性比较幂值的大小。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：幂函数的概念；五个常见幂函数的图象与性质。 学习难点：根据指数 的符号判断幂函数在 上的单调性；幂函数与指数函数的区分。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．函数单调性的定义与用定义比较（证明）大小的方法； 2．函数奇偶性的判断步骤。 二、新知初探 1．幂函数的定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是＿＿＿， 是＿＿＿。幂函数的解析式有以下两个特征：系数为＿＿＿；幂的底数是＿＿＿。 2．在同一坐标系中画出下列五个函数的图象并填空： （1）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿函数，在 上是＿＿函数； （2）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿函数，在 上是＿＿函数，在 上是＿＿函数； （3）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿函数，在 上是＿＿函数； （4）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿＿＿函数，在 上是＿＿函数； （5）：定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿＿＿，是＿＿函数，在 与 上都是＿＿函数。 3．观察发现：五个幂函数的图象都经过定点＿＿＿＿；当 时，图象都经过原点，且在 上是＿＿函数；当 时，图象不经过原点，在 上是＿＿函数。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：幂函数的识别 下列函数中，哪些是幂函数？说明判断依据。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 探究二：五个幂函数的图象与性质 结合下图，将五个常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性填入预习任务 2 的表格中，并归纳“公共点”与“指数符号与单调性”的规律。 图1　五个常见幂函数的图象 探究三：指数符号与单调性 利用定义或图象说明：当 与 时， 在区间 上的单调性各如何？由此说明幂 （）的大小与 大小的关系。 💡 【典例精析】 例1　已知幂函数 的图象经过点 ，求这个函数的解析式。 例2　比较下列各组数的大小： （1） 与 ；　（2） 与 ；　（3） 与 。 例3　若函数 是幂函数，求实数 的值。 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数中是幂函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．无论实数 取何值，幂函数 的图象都经过的定点是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．比较大小：＿＿＿；＿＿＿。 4．已知幂函数 的图象经过点 ，则 ＿＿＿。 5．若 ，求实数 的取值范围。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结：1．幂函数形如 （系数为 1，底数为自变量，指数为常数）；2．五个常见幂函数图象都过点 ， 时在 上递增， 时在 上递减；3．比较幂值大小：同指数不同底数，构造幂函数利用单调性。 课后作业：1．判断 是否为幂函数，若是，指出其指数并说明它在 上的单调性；2．比较 、、 三个数的大小；3．预习第三章小结与复习。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 存在困惑：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 📮 【参考答案与解析】 探究一：（2） 与（5） 是幂函数，符合“系数为 1、底数为自变量、指数为常数”的特征；（1）系数为 2，（3）底数是常数、指数是自变量（指数函数型），（4）是多项式函数，都不是幂函数。 探究二： ：，，奇函数， 上递增；：，，偶函数， 递减、 递增；：，，奇函数， 上递增；：，，非奇非偶， 上递增；：，，奇函数，两个区间上均递减。五图象都过点 。 探究三：　 时，取 ，，在 上递增，幂随底数增大而增大； 时，，在 上递减，幂随底数增大而减小。 例1：　设 ，由图象过点 得 ，故 ，即 。 例2：　（1）考察幂函数 ，，在 上递增，由 得 。（2）考察 ，，在 上递增，由 得 。（3）考察 ，，在 上递增，由 得 。 例3：　由幂函数的系数为 1，得 ，即 ，，故 或 。 当堂达标：　1．C　提示： 符合幂函数定义；A 系数不是 1；B 是幂函数加常数；D 是指数函数。 2．B　提示：对任意 ，； 时 （）也过 。 3．；　提示： 在 上递增，故 ； 在 上递增，故 。 4．　提示：，即 ，，。 5．考察幂函数 ，，在 上递增，故 ，解得 ，即 的取值范围是 。 课后作业：　1． 是幂函数，指数为 ，在 上是减函数。2．考察 （递增）：，故 。 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版高中数学必修一 3.3 幂函数 导学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　使用日期：＿＿＿＿ 🎯 【课标要求】 1．了解幂函数的概念，能识别一个函数是否为幂函数。 2．结合函数 ，，，， 的图象，了解它们的变化情况。 3．能利用幂函数的单调性比较幂值的大小。 ⭐ 【重点难点】 学习重点：幂函数的概念；五个常见幂函数的图象与性质。 学习难点：根据指数 的符号判断幂函数在 上的单调性；幂函数与指数函数的区分。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材相应内容，完成以下预习任务。 一、知识回顾 1．函数单调性的定义与用定义比较（证明）大小的方法； 2．函数奇偶性的判断步骤。 二、新知初探 1．幂函数的定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是＿＿＿， 是＿＿＿。幂函数的解析式有以下两个特征：系数为＿＿＿；幂的底数是＿＿＿。 2．在同一坐标系中画出下列五个函数的图象并填空： （1）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿函数，在 上是＿＿函数； （2）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿函数，在 上是＿＿函数，在 上是＿＿函数； （3）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿函数，在 上是＿＿函数； （4）：定义域为＿＿＿，值域为＿＿＿，是＿＿＿＿函数，在 上是＿＿函数； （5）：定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿＿＿，是＿＿函数，在 与 上都是＿＿函数。 3．观察发现：五个幂函数的图象都经过定点＿＿＿＿；当 时，图象都经过原点，且在 上是＿＿函数；当 时，图象不经过原点，在 上是＿＿函数。 三、预习疑惑 预习后仍存在的疑问：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 🔍 【合作探究】 探究一：幂函数的识别 下列函数中，哪些是幂函数？说明判断依据。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 探究二：五个幂函数的图象与性质 结合下图，将五个常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性填入预习任务 2 的表格中，并归纳“公共点”与“指数符号与单调性”的规律。 图1　五个常见幂函数的图象 探究三：指数符号与单调性 利用定义或图象说明：当 与 时， 在区间 上的单调性各如何？由此说明幂 （）的大小与 大小的关系。 💡 【典例精析】 例1　已知幂函数 的图象经过点 ，求这个函数的解析式。 例2　比较下列各组数的大小： （1） 与 ；　（2） 与 ；　（3） 与 。 例3　若函数 是幂函数，求实数 的值。 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1．下列函数中是幂函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．无论实数 取何值，幂函数 的图象都经过的定点是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．比较大小：＿＿＿；＿＿＿。 4．已知幂函数 的图象经过点 ，则 ＿＿＿。 5．若 ，求实数 的取值范围。 📝 【课堂小结与课后作业】 知识小结：1．幂函数形如 （系数为 1，底数为自变量，指数为常数）；2．五个常见幂函数图象都过点 ， 时在 上递增， 时在 上递减；3．比较幂值大小：同指数不同底数，构造幂函数利用单调性。 课后作业：1．判断 是否为幂函数，若是，指出其指数并说明它在 上的单调性；2．比较 、、 三个数的大小；3．预习第三章小结与复习。 🌟 【学习反思】 今日收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 学科网（北京）股份有限公司 $