3.4函数的应用（一）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一） 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：解应用题的一般步骤 + 一次函数模型（例1）+ 二次函数模型（例2）；第2课时：分段函数模型（例3）+ 几何建模（例4）+ 含参最值讨论（例5，重点班以上选讲）。 【重难点】 重点：把实际问题转化为函数关系，用二次函数的顶点、单调性求最值，分段函数的分段与求值。难点：① 求出顶点后必须检验它是否落在实际定义域内（这是本节最易错点）；② 分段函数的"段"不重不漏、定义域为各段的并集；③ 含参数的区间最值要按对称轴与区间的相对位置分类。 【分层策略】 普通班：套一次函数用待定系数法 + 顶点在定义域内的二次函数最值 + 分段函数求值；重点班：+ 顶点不在定义域内时改用端点取最值 + 几何建模列面积函数；清北班：+ 含参二次函数在闭区间上的最值讨论 + 用基本不等式求最值。 【板书】 左：解应用题四步（设→列→解→验）；中：二次函数闭区间最值（对称轴与区间三种位置关系）；右：分段函数示例与例4 面积函数。 【衔接】 3.2 的单调性与最值是本节全部工具；2.2 基本不等式是"不求顶点也能求最值"的另一条路；本节与第四章 4.4、4.5.3 的建模一脉相承，只是这里只用手头的初等函数。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 了解一次函数、二次函数、分段函数等常见函数模型的实际背景。（数学建模） • 2. 会把实际问题中的数量关系转化为函数关系，并写出自变量的取值范围。（数学建模、数学抽象） • 3. 能利用二次函数的顶点与单调性、分段函数的分段求值解决利润最大、费用最低、面积最大等问题。（数学运算、逻辑推理） • 4. 养成"求出的最值必须落在实际定义域内"的检验习惯。（逻辑推理） 【强调】 本节真正的难点不是"会不会求顶点"，而是"求出的顶点能不能取到"。顶点横坐标不在实际范围内时，最值只能在区间端点取得，这是本章最典型的失分点。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·利润】某商品成本 40 元/件，售价越高卖得越少。售价 50 元时每天卖 50 件，售价 60 元时每天卖 40 件。你觉得定价多少时每天利润最大？凭感觉定，还是算一算？ 【问题2·分段】某市出租车起步价 10 元（含 3 km），超过 3 km 后每千米 2 元。坐 2 km、5 km、13 km 分别付多少钱？能把"路程→车费"写成一个式子吗？ 【问题3·几何】用一段 60 m 长的篱笆靠墙围矩形菜园，怎样围面积最大？墙的长度有限（40 m），这会不会影响你的方案？ 【师生活动】 问题1 让两名学生说出不同定价并追问"为什么"，暴露"凭感觉"的不可靠；问题2 让学生自己发现一个式子写不完、必须分段；问题3 追问"墙不够长怎么办"，引出定义域的实际约束。 【设计意图】 三个问题分别对应本节的三种模型（二次、分段、几何建模），且都让学生先"感觉"再"计算"，为后面的建模步骤做铺垫。 【讲解·如何讲清】 开场就点明：本节不学新知识，只是把 3.2 学的单调性、最值"拿去用"。学生听完会放松，但做题时才发现"找定义域"才是真功夫。 二、知识梳理（约16分钟，学生先填，教师再讲） （一）解函数应用题的一般步骤 第一步 ____（选定自变量，并写明它的取值范围）；第二步 ____（根据题意列出函数关系式）；第三步 ____（利用单调性、顶点、基本不等式等求最值或解方程）；第四步 ____（检验所得结果是否符合实际意义并作答）。 【重点】 第一步"写范围"和第四步"回头检验"是应用题与纯函数题最大的区别。没有范围，二次函数的顶点再漂亮也可能是废解。 （二）三类常见模型（填表） 模型 解析式 典型情境 求最值的常用方法 一次函数 y=kx+b (k≠0) 行李超重收费、匀速行程 看 k 符号，端点取最值 二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 利润最大、用料最省 配方看顶点，验定义域 分段函数 各段解析式不同 起步价、阶梯水价、税率 逐段求值，比较各段结果 【易错】 分段函数的定义域是各段自变量范围的并集，求值域时要先逐段求值域再取并集，不能只算一段。 （三）二次函数在闭区间上的最值（二级结论） 设 f(x)=a(x−h)²+k (a<0，开口向下)，求 f(x) 在 [m, n] 上的最大值： ① 若 h ∈ [m, n]，则最大值在 x=____ 处取得，为 ____； ② 若 h < m，则 f(x) 在 [m, n] 上单调 ____，最大值在 x=____ 处取得； ③ 若 h > n，则 f(x) 在 [m, n] 上单调 ____，最大值在 x=____ 处取得。 【讲解·如何讲清】 画三张草图（对称轴在区间内、在区间左侧、在区间右侧）比讲三句话管用。让学生记住口诀："轴在区间内看顶点，轴在区间外看端点。" 【对应练习】 讲完步骤→做例1、训练1、3；讲完三类模型→做例2、例3、训练2、4、5；讲完闭区间最值→做例4、训练6、7；学有余力做例5、训练9~11。 三、典型例题（约18分钟） 例1（基础·一次函数模型·行李收费）某长途汽车客运公司规定：旅客可免费携带一定质量的行李，超过部分需购买行李票。行李费用 y（元）与行李质量 x（kg）之间是一次函数关系，已知 x=40 时 y=6，x=60 时 y=18。(1) 求 y 关于 x 的函数关系式；(2) 旅客最多可免费携带多少千克行李？ 【讲评要点】 设 y=kx+b，由 6=40k+b、18=60k+b 相减得 20k=12，k=0.6，b=6−24=−18，故 y=0.6x−18（x>30）。令 y=0 得 x=30，故最多免费携带 30 kg。 【讲解·如何讲清】 待定系数法是初中就会的，但这里要追问一句："y=0.6x−18 在 x=10 时算出 −12 元，合理吗？"——从而说明分段/范围不能省，关系式必须标明 x>30。 【对应练习】 做分层训练1、3。 例2（基础·二次函数模型·利润最大）某商品每件成本 40 元，售价定为 x 元/件（40≤x≤80），此时每天的销售量 y（件）满足 y=−x+100。(1) 写出每天利润 S（元）与售价 x 的函数关系式；(2) 售价定为多少时每天利润最大？最大利润是多少？此时销量是多少？ 【讲评要点】 S=(x−40)(−x+100)=−x²+140x−4000=−(x−70)²+900。对称轴 x=70 ∈ [40, 80]，故 x=70 时 S 最大，为 900 元，此时销量 y=−70+100=30 件。 【讲解·如何讲清】 重点讲"利润=(售价−成本)×销量"这层翻译。很多学生会拿售价当利润，要反复强调"减成本"。算出顶点后一定要带学生核对 70 是否 ≤80。 【对应练习】 做分层训练2、6。 例3（基础·分段函数模型·出租车计费）某市出租车收费标准为：起步价 10 元（含 3 km），超过 3 km 的部分按每千米 2 元计费。(1) 写出车费 y（元）与行驶路程 x（km）之间的函数关系式；(2) 某乘客付费 30 元，求他乘坐的路程。 【讲评要点】 y=10（0<x≤3）；y=10+2(x−3)=2x+4（x>3）。付费 30 元时 30>10，故走的是第二段：2x+4=30，x=13 km。 【讲解·如何讲清】 先判断"落在哪一段"再代对应式子，这是分段函数求值的第一步，也是最常漏的一步。板书时用大括号把两段写在一起，强调定义域是两段的并集。 【对应练习】 做分层训练4、5、8。 例4（提高·几何建模·面积最大）用一段长 60 m 的篱笆靠一面墙围成矩形菜园，并用篱笆在中间加一道与墙垂直的隔断，把它分成两块。(1) 设垂直于墙的边长为 x m，写出菜园面积 S（m²）关于 x 的函数关系式及定义域；(2) x 为多少时菜园面积最大？最大面积是多少？ 【讲评要点】 垂直于墙的篱笆共 3 段（左右两边加中间隔断），各长 x，故平行于墙的一边长 60−3x。S=x(60−3x)=−3x²+60x=−3(x−10)²+300。定义域：60−3x>0 且 60−3x≤40（墙长 40 m），得 20/3≤x<20。x=10 在定义域内，故 S 最大为 300 m²。 【讲解·如何讲清】 数篱笆段数是最容易出错的地方（学生常漏掉中间的隔断）。定义域里"平行墙的边不能超过墙长"这一条最容易被忘，务必让学生自己念一遍题意再列范围。 【对应练习】 做分层训练7。 例5（拓展·清北·含参最值讨论）已知 f(x)=x²−2ax+3，记 f(x) 在 [1, 4] 上的最小值为 g(a)。(1) 求 g(a) 的表达式；(2) 求 g(a) 的最大值。 【讲评要点】 f(x)=(x−a)²+3−a²，对称轴 x=a。当 a<1 时最小在 x=1，g(a)=4−2a；当 1≤a≤4 时最小在 x=a，g(a)=3−a²；当 a>4 时最小在 x=4，g(a)=19−8a。三段均为减函数，且在 a=1 处衔接（4−2=2，3−1=2），故 g(a) 的最大值为 2，在 a=1 时取得。 【讲解·如何讲清】 这就是"对称轴与区间三种位置关系"的含参版本。讲完让学生回看本节二级结论，会发现本质完全一样——只是谁动、谁不动换了位置。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】某通讯公司有两种资费：A 类月租 20 元，通话 0.2 元/分钟；B 类无月租，通话 0.4 元/分钟。(1) 分别写出月费用 y1、y2 与通话时间 t（分钟）的关系式；(2) 通话多少分钟时两类资费相同？什么情况下选 A 类更省钱？ 【变式2】在例2中，若物价部门规定售价不得高于 65 元，则最大利润是多少？此时售价为多少？ 【探究】为什么求出的顶点必须检验是否在实际定义域内？请你改编例2的一个条件，使"顶点取不到"，并说明此时最值怎么看。 【探究】 变式1：y1=20+0.2t，y2=0.4t，令相等得 t=100；通话超过 100 分钟选 A 类，不足 100 分钟选 B 类。变式2：对称轴 x=70 不在 [40, 65] 内，且 f 在 x<70 时递增，故 x=65 时最大，S=−4225+9100−4000=875 元。探究：顶点是"整个抛物线"的最高点，实际问题的定义域只是其中一段，两者不一致时只能看端点。 【师生活动】变式1 让学生体会在两个一次函数中"比大小"就是解方程与解不等式；变式2 是例2的关键变式，务必人人过关。 五、分层训练（课堂/课后均可） 【选题说明 普通班保底：一次函数待定系数法 + 顶点在定义域内的最值 + 分段函数求值；重点班加：顶点取不到时改用端点 + 几何建模；清北班加：含参最值讨论 + 基本不等式求最值。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 建立一次函数模型的常用方法是 ____ 法（设 y=kx+b 后代入两组数据求 k、b）。 2. 二次函数 y=−2x²+8x−3 的对称轴是 x=____，最大值是 ____。 3. 某商品每件成本 30 元，售价 x 元时销量为 (100−2x) 件，则总利润 S=____（写成关于 x 的式子）。 4. 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的 ____，求值域时应先逐段求值域再取 ____。 5. 出租车起步价 8 元（含 3 km），超出部分每千米 1.5 元，乘坐 10 km 应付 ____ 元。 【重点班】能力提升（+做） 6. 在例2中，若规定售价不得高于 60 元，则最大利润为 ____ 元。 7. 用长 40 m 的篱笆靠一面长为 25 m 的墙围成矩形菜园（不加隔断），设垂直于墙的边长为 x m。(1) 写出面积 S 与 x 的关系式及定义域；(2) 求最大面积。 8. 某地对居民用水实行阶梯水价：月用水量不超过 10 t 的部分按 2 元/t 收费，超过 10 t 但不超过 20 t 的部分按 3 元/t 收费，超过 20 t 的部分按 5 元/t 收费。某户某月用水 25 t，应交水费 ____ 元。 【清北班】拓展挑战（+做） 9. 记 f(x)=x²−4x+3 在 [0, t] 上的最小值为 h(t)，求 h(t) 的表达式。 10. 把边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，再折成一个无盖长方体盒子。(1) 写出盒子的容积 V 关于 x 的式子及定义域；(2) x 为多少时容积最大？最大容积是多少？（提示：用基本不等式） 11. 结合例2与变式2，说明为什么"实际问题的定义域"比"抛物线的顶点"更值得先看一眼。 【对应练习·闭环】 例1↔训练1、3；例2↔训练2、6；例3↔训练4、5、8；例4↔训练7；例5↔训练9；训练10、11 供清北班综合提升。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 四步走：设（写范围）→ 列 → 解 → 验。 2. 二次函数在闭区间上求最值：轴在区间内看顶点，轴在区间外看端点。 3. 分段函数：先判断落在哪一段，再代入对应式子；定义域是各段的并集。 4. 利润类问题的翻译公式：利润 = (售价 − 成本) × 销量。 【流程】闭卷默写：解应用题四步 + 闭区间最值口诀 + 利润公式；教师补全板书。 【板书设计】 左：四步法；中：对称轴与区间的三种位置关系（配草图）；右：分段函数示例 + 例4 面积函数。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P97 练习 1~3；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~8，另整理"定义域漏写"类错题 2 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~11，并尝试用基本不等式重做例4。 【反思】 下节课前抽测：① 口述解应用题四步；② 例2 中若限价 65 元，最值怎么求；③ 分段函数已知函数值求自变量。第三章到此收官——函数概念、性质、幂函数、应用已完整闭环，第四章将引入指数与对数两类全新的基本初等函数。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·必修第一册（人教A版2019）学案（学生版）班级：_________ 姓名：_________ 日期：__________ 3.4 函数的应用（一） 【学习目标】 • 1. 了解一次函数、二次函数、分段函数等常见函数模型的实际背景。（数学建模） • 2. 会把实际问题中的数量关系转化为函数关系，并写出自变量的取值范围。（数学建模、数学抽象） • 3. 能利用二次函数的顶点与单调性、分段函数的分段求值解决利润最大、费用最低、面积最大等问题。（数学运算、逻辑推理） • 4. 养成"求出的最值必须落在实际定义域内"的检验习惯。（逻辑推理） 一、新知引入 【问题1·利润】某商品成本 40 元/件，售价越高卖得越少。售价 50 元时每天卖 50 件，售价 60 元时每天卖 40 件。你觉得定价多少时每天利润最大？凭感觉定，还是算一算？ 【问题2·分段】某市出租车起步价 10 元（含 3 km），超过 3 km 后每千米 2 元。坐 2 km、5 km、13 km 分别付多少钱？能把"路程→车费"写成一个式子吗？ 【问题3·几何】用一段 60 m 长的篱笆靠墙围矩形菜园，怎样围面积最大？墙的长度有限（40 m），这会不会影响你的方案？ 我的猜想：利润最大要用到 ____；"起步价+超出部分"要用 ____ 函数来写；篱笆问题要先把 ____ 设为自变量。 二、知识梳理 （一）解函数应用题的一般步骤 第一步 ____（选定自变量，并写明它的取值范围）；第二步 ____（根据题意列出函数关系式）；第三步 ____（利用单调性、顶点、基本不等式等求最值或解方程）；第四步 ____（检验所得结果是否符合实际意义并作答）。 （二）三类常见模型（填表） 模型 解析式 典型情境 求最值的常用方法 一次函数 y=kx+b (k≠0) 行李超重收费、匀速行程 看 k 符号，端点取最值 二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 利润最大、用料最省 配方看顶点，验定义域 分段函数 各段解析式不同 起步价、阶梯水价、税率 逐段求值，比较各段结果 （三）二次函数在闭区间上的最值（二级结论） 设 f (x)=a(x−h)²+k (a<0，开口向下)，求 f(x) 在 [m, n] 上的最大值： ① 若 h ∈ [m, n]，则最大值在 x=____ 处取得，为 ____； ② 若 h < m，则 f (x) 在 [m, n] 上单调 ____，最大值在 x=____ 处取得； ③ 若 h > n，则 f (x) 在 [m, n] 上单调 ____，最大值在 x=____ 处取得。 三、典型例题（约18分钟） 例1.某长途汽车客运公司规定：旅客可免费携带一定质量的行李，超过部分需购买行李票。行李费用 y（元）与行李质量 x（kg）之间是一次函数关系，已知 x=40 时 y=6，x=60 时 y=18。(1) 求 y 关于 x 的函数关系式；(2) 旅客最多可免费携带多少千克行李？ 例2.某商品每件成本 40 元，售价定为 x 元/件（40≤x≤80），此时每天的销售量 y（件）满足 y=−x+100。(1) 写出每天利润 S（元）与售价 x 的函数关系式；(2) 售价定为多少时每天利润最大？最大利润是多少？此时销量是多少？ 例3.某市出租车收费标准为：起步价 10 元（含 3 km），超过 3 km 的部分按每千米 2 元计费。(1) 写出车费 y（元）与行驶路程 x（km）之间的函数关系式；(2) 某乘客付费 30 元，求他乘坐的路程。 例4.用一段长 60 m 的篱笆靠一面墙围成矩形菜园，并用篱笆在中间加一道与墙垂直的隔断，把它分成两块。(1) 设垂直于墙的边长为 x m，写出菜园面积 S（m²）关于 x 的函数关系式及定义域；(2) x 为多少时菜园面积最大？最大面积是多少？ 例5.已知 f(x)=x²−2ax+3，记 f (x) 在 [1, 4] 上的最小值为 g(a)。(1) 求 g(a) 的表达式；(2) 求 g(a) 的最大值。 四、变式探究 【变式1】某通讯公司有两种资费：A 类月租 20 元，通话 0.2 元/分钟；B 类无月租，通话 0.4 元/分钟。(1) 分别写出月费用 y1、y2 与通话时间 t（分钟）的关系式；(2) 通话多少分钟时两类资费相同？什么情况下选 A 类更省钱？ 【变式2】在例2中，若物价部门规定售价不得高于 65 元，则最大利润是多少？此时售价为多少？ 【探究】为什么求出的顶点必须检验是否在实际定义域内？请你改编例2的一个条件，使"顶点取不到"，并说明此时最值怎么看。 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 建立一次函数模型的常用方法是 ____ 法（设 y=kx+b 后代入两组数据求 k、b）。 2. 二次函数 y=−2x²+8x−3 的对称轴是 x=____，最大值是 ____。 3. 某商品每件成本 30 元，售价 x 元时销量为 (100−2x) 件，则总利润 S=____（写成关于 x 的式子）。 4. 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的 ____，求值域时应先逐段求值域再取 ____。 5. 出租车起步价 8 元（含 3 km），超出部分每千米 1.5 元，乘坐 10 km 应付 ____ 元。 能力提升（+做） 6. 在例2中，若规定售价不得高于 60 元，则最大利润为 ____ 元。 7. 用长 40 m 的篱笆靠一面长为 25 m 的墙围成矩形菜园（不加隔断），设垂直于墙的边长为 x m。(1) 写出面积 S 与 x 的关系式及定义域；(2) 求最大面积。 8. 某地对居民用水实行阶梯水价：月用水量不超过 10 t 的部分按 2 元/t 收费，超过 10 t 但不超过 20 t 的部分按 3 元/t 收费，超过 20 t 的部分按 5 元/t 收费。某户某月用水 25 t，应交水费 ____ 元。 拓展挑战（+做） 9. 记 f(x)=x²−4x+3 在 [0, t] 上的最小值为 h(t)，求 h(t) 的表达式。 10. 把边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，再折成一个无盖长方体盒子。(1) 写出盒子的容积 V 关于 x 的式子及定义域；(2) x 为多少时容积最大？最大容积是多少？ 11. 结合例2与变式2，说明为什么"实际问题的定义域"比"抛物线的顶点"更值得先看一眼。 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业（分层布置） 学科网（北京）股份有限公司 $