3.3 幂函数 导学案 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦幂函数的定义、解析式特征及常见幂函数的图像与性质，引导学生掌握单调性、奇偶性等规律及比较大小、解不等式等应用。通过联系已学函数知识，为后续指数函数、对数函数学习搭建方法支架。 以数学抽象、直观想象、逻辑推理为核心素养导向，通过表格对比五种常见幂函数性质，结合高考真题改编例题与变式练习，总结“正增负减”等解题口诀，助力学生形成数形结合思维，提升综合应用能力。

新课标高中数学导学案 第三章 函数的概念和性质 3.3 幂函数 导学案（人教A版2019必修第一册）【解析】 【内容导航】 本节课核心学习幂函数的定义、解析式特征、常见幂函数的图像与性质，掌握幂函数的单调性、奇偶性、定义域与值域规律，学会利用幂函数性质比较大小、求解不等式、解决综合应用及高考创新问题，是高中基本初等函数体系的重要组成部分，为后续指数函数、对数函数的学习奠定函数研究方法基础。 【导学目标导航】 一、知识目标 1. 理解幂函数的定义，掌握幂函数解析式的标准形式，能够区分幂函数与指数函数、一次函数、二次函数的区别。 2. 掌握常见幂函数、、、、的定义域、值域、图像、奇偶性与单调性。 3. 熟记幂函数的通用性质，掌握幂指数不同取值下幂函数的图像变化规律与性质差异。 二、能力目标 1. 具备识别幂函数、求解幂函数解析式参数的能力。 2. 能够利用幂函数的单调性、奇偶性进行数值大小比较、简单不等式求解。 3. 具备结合幂函数图像与性质解决综合题型、高考真题及创新题型的逻辑推理与运算能力。 三、素养目标 1. 数学抽象：通过归纳幂函数的共同特征，抽象出幂函数的通用定义，形成基本初等函数的认知体系。 2. 直观想象：通过绘制、分析幂函数图像，建立数形结合思维，借助图像判断函数性质、解决函数问题。 3. 逻辑推理：根据幂指数的取值，推理幂函数的定义域、单调性、奇偶性，形成严谨的数学推理思维。 4. 数学运算：熟练完成幂函数相关的大小比较、不等式求解、参数计算等运算，提升运算准确性。 【导学重点】 1. 幂函数的定义与常见五种幂函数的图像和性质。 2. 利用幂函数的单调性、奇偶性解决比较大小、求解不等式等基础问题。 【导学难点】 1. 不同幂指数下幂函数的图像变化规律与性质辨析。 2. 幂函数与不等式、奇偶性、单调性结合的综合问题及创新题型求解。 【知识框架】 1. 幂函数定义⇨标准解析式形式、判定方法 2. 常见幂函数⇨五种核心幂函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性 3. 幂函数通用性质⇨第一象限图像规律、奇偶性规律、单调性规律 4. 题型应用⇨基础判定、大小比较、不等式求解、高考综合、创新应用 【导学过程】 一、知识要点 （一）幂函数的定义 一般地，形如（）的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 核心辨析要点： 1. 幂函数解析式中，自变量在底数位置，指数为常数； 2. 幂函数的系数必须为，不含常数项； 3. 区分：指数函数（底数常数、指数自变量），幂函数（底数自变量、指数常数）。 （二）五种常见幂函数核心性质 性质 函数 特征 y＝x y＝x2 y＝x3 图 像 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值 域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞) 增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 公共点 (1,1) （三）幂函数通用性质（第一象限） 1. 所有幂函数在上都有定义，且图像过定点（因为）。 2. 当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减。 3. 当时，图像下凸；当时，图像上凸。 二、公式推导 1. 幂函数定点推导 对任意幂函数，将代入解析式，得，因此所有幂函数恒过定点。 2. 第一象限单调性推导 设，对于，作比值。 因为，若，则，即，函数单调递增； 若，则，即，函数单调递减。 三、例题讲解 题型一：幂函数定义与解析式（2025新高考真题改编） 例题1（2025·新高考Ⅰ卷改编）：已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 答案：B 核心考点：幂函数定义（系数为1）+ 单调性 解析：根据幂函数定义：幂函数解析式系数必须为， 即： 整理得：，因式分解， 解得或。 又在上单调递增，故幂指数。 综上，。故选B。 易错点拨：幂函数判定核心：，系数恒为1，切勿忽略系数条件。 题型二：幂函数单调性与区间最值 例题2.已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性. 【解析】因为是幂函数，所以，即， 又的图象经过点，所以，解得， 所以，则为上的增函数， 则，则函数的定义域为， 所以非奇非偶函数，且为上的减函数. 故选：D. 题型三：幂函数与充分必要条件 例题3.设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件 答案：C 核心考点：幂函数单调性、逻辑命题 解析：幂函数定义域为，且在上单调递增。 根据增函数性质：。 双向等价成立，故为充要条件。 故选C。 题型四：幂值大小比较 例题4.下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 答案：B 核心考点：幂函数单调性规律 规律总结：幂函数在上： 1. ，函数单调递增； 2. ，函数单调递减。 解析：A、C、D选项幂指数均小于，在递减； B选项，在单调递增。 故选B。 题型五：幂函数奇偶性综合 例题5.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递增，则，解得. 故选：B． 题型六：幂函数与不等式综合 例题6.（多选）若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性逐项比较指数式的大小关系即可得结论. 【解析】对A，当时，是减函数，所以，故A错误； 对B，当时，函数在上单调递增，故，故B正确； 对C，当时，，则是增函数，故，故C错误； 对D，当时，是减函数，，D正确． 故选：BD. 幂函数核心解题总结 1. 定义核心：形如（系数为1，底数为自变量，指数为常数）； 2. 单调性口诀：正增负减（）； 3. 奇偶性规律：指数分数约分后，分母奇定义域R，分母偶定义域非负； 4. 高频考法：幂值比大小、奇偶性与单调性综合、幂函数与不等式、充分必要条件判断。 四、方法分析 1. 幂函数判定法：解析式为，系数为，无常数项，自变量在底数位置。 2. 大小比较三步法：统一指数构造幂函数⇨判断单调性⇨结合自变量大小比较函数值。 3. 参数求解法：先由定义锁定参数范围，再由奇偶性、单调性筛选最终值。 4. 数形结合法：借助幂函数图像，快速判断定义域、单调性、对称性质，解决抽象函数问题。 五、变式练习（含答案解析） （一）提高题型变式 变式：若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性比较大小关系，通过指数幂运算比较大小关系，由此结果可知. 【解析】因为，，， 因为幂函数在上单调递增，所以， 又因为，所以， 由上可知， 故选：B. （二）高考题型变式 变式：已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A． 恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以，所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以，所以. 故选：A. 六、本节知识总结 1. 核心定义：幂函数，系数为1，区别于指数函数。 2. 核心定点：所有幂函数在有定义，过定点。 3. 单调性规律：第一象限递增，第一象限递减。 4. 解题核心思想：数形结合、构造函数、利用单调性与奇偶性转化问题。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学案 第三章 函数的概念和性质 3.3 幂函数 导学案（人教A版2019必修第一册） 【内容导航】 本节课核心学习幂函数的定义、解析式特征、常见幂函数的图像与性质，掌握幂函数的单调性、奇偶性、定义域与值域规律，学会利用幂函数性质比较大小、求解不等式、解决综合应用及高考创新问题，是高中基本初等函数体系的重要组成部分，为后续指数函数、对数函数的学习奠定函数研究方法基础。 【导学目标导航】 一、知识目标 1. 理解幂函数的定义，掌握幂函数解析式的标准形式，能够区分幂函数与指数函数、一次函数、二次函数的区别。 2. 掌握常见幂函数、、、、的定义域、值域、图像、奇偶性与单调性。 3. 熟记幂函数的通用性质，掌握幂指数不同取值下幂函数的图像变化规律与性质差异。 二、能力目标 1. 具备识别幂函数、求解幂函数解析式参数的能力。 2. 能够利用幂函数的单调性、奇偶性进行数值大小比较、简单不等式求解。 3. 具备结合幂函数图像与性质解决综合题型、高考真题及创新题型的逻辑推理与运算能力。 三、素养目标 1. 数学抽象：通过归纳幂函数的共同特征，抽象出幂函数的通用定义，形成基本初等函数的认知体系。 2. 直观想象：通过绘制、分析幂函数图像，建立数形结合思维，借助图像判断函数性质、解决函数问题。 3. 逻辑推理：根据幂指数的取值，推理幂函数的定义域、单调性、奇偶性，形成严谨的数学推理思维。 4. 数学运算：熟练完成幂函数相关的大小比较、不等式求解、参数计算等运算，提升运算准确性。 【导学重点】 1. 幂函数的定义与常见五种幂函数的图像和性质。 2. 利用幂函数的单调性、奇偶性解决比较大小、求解不等式等基础问题。 【导学难点】 1. 不同幂指数下幂函数的图像变化规律与性质辨析。 2. 幂函数与不等式、奇偶性、单调性结合的综合问题及创新题型求解。 【知识框架】 1. 幂函数定义⇨标准解析式形式、判定方法 2. 常见幂函数⇨五种核心幂函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性 3. 幂函数通用性质⇨第一象限图像规律、奇偶性规律、单调性规律 4. 题型应用⇨基础判定、大小比较、不等式求解、高考综合、创新应用 【导学过程】 一、知识要点 （一）幂函数的定义 一般地，形如（）的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 核心辨析要点： 1. 幂函数解析式中，自变量在底数位置，指数为常数； 2. 幂函数的系数必须为，不含常数项； 3. 区分：指数函数（底数常数、指数自变量），幂函数（底数自变量、指数常数）。 （二）五种常见幂函数核心性质 性质 函数 特征 y＝x y＝x2 y＝x3 图 像 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值 域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞) 增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 公共点 (1,1) （三）幂函数通用性质（第一象限） 1. 所有幂函数在上都有定义，且图像过定点（因为）。 2. 当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减。 3. 当时，图像下凸；当时，图像上凸。 二、公式推导 1. 幂函数定点推导 对任意幂函数，将代入解析式，得，因此所有幂函数恒过定点。 2. 第一象限单调性推导 设，对于，作比值。 因为，若，则，即，函数单调递增； 若，则，即，函数单调递减。 三、例题讲解 题型一：幂函数定义与解析式（2025新高考真题改编） 例题1（2025·新高考Ⅰ卷改编）：已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 题型二：幂函数单调性与区间最值 例题2.已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 题型三：幂函数与充分必要条件 例题3.设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件 题型四：幂值大小比较 例题4.下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 题型五：幂函数奇偶性综合 例题5.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：幂函数与不等式综合 例题6.（多选）若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 幂函数核心解题总结 1. 定义核心：形如（系数为1，底数为自变量，指数为常数）； 2. 单调性口诀：正增负减（）； 3. 奇偶性规律：指数分数约分后，分母奇定义域R，分母偶定义域非负； 4. 高频考法：幂值比大小、奇偶性与单调性综合、幂函数与不等式、充分必要条件判断。 四、方法分析 1. 幂函数判定法：解析式为，系数为，无常数项，自变量在底数位置。 2. 大小比较三步法：统一指数构造幂函数⇨判断单调性⇨结合自变量大小比较函数值。 3. 参数求解法：先由定义锁定参数范围，再由奇偶性、单调性筛选最终值。 4. 数形结合法：借助幂函数图像，快速判断定义域、单调性、对称性质，解决抽象函数问题。 五、变式练习（含答案解析） （一）提高题型变式 变式：若，，，则（    ） A． B． C． D． （二）高考题型变式 变式：已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A． 恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 六、本节知识总结 1. 核心定义：幂函数，系数为1，区别于指数函数。 2. 核心定点：所有幂函数在有定义，过定点。 3. 单调性规律：第一象限递增，第一象限递减。 4. 解题核心思想：数形结合、构造函数、利用单调性与奇偶性转化问题。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $