精品解析：天津市第二耀华中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试卷

天津市第二耀华中学2026~2027学年度第一学期第一次学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷考试时间100分钟，总分100分. 一、选择题：本大题共9小题，每小题3分．共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积公式得到答案. 【详解】. 故选：D 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件判断直线与平面的位置关系即可. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，所以或. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 6. 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量， 利用向量的距离公式，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则， 即，解得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标，即可得直线与的方向向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【详解】取中点建立如图所示空间直角坐标系， 设正四面体边长为，则，，， 由正四面体性质可得，则， 即，则，， ，， 则， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由直线的斜率与倾斜角的关系，得.因为，即， 又，所以的取值范围是， 故选：C. 9. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，由两点斜率公式得； 已知，，同理得. 直线过定点，当绕点旋转时，若直线与线段相交， 结合图象分析可得：或，即或. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】，则方向的单位向量为， 向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 11. 若三个向量，，共面，则实数m的值为______． 【答案】21 【解析】 【分析】根据向量共面基本定理即可求解. 【详解】，，共面，则存在实数，使得，即， 故答案为：21 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 13. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 14. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 15. 已知命题： ①“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 ②“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 ③直线的倾斜角的取值范围是 ④是，共线的充分不必要条件； 在以上命题中，所有正确命题序号有_________________________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】逐个判断命题①②③④：①用两直线垂直的法向量条件；②用两直线平行且不重合的条件；③由直线斜率范围求倾斜角范围；④将向量等式平方，判断其与共线的关系. 【详解】对于①，两直线与的法向量分别为,. 两直线垂直等价于，即，解得或. 所以“”是两直线垂直的充分不必要条件，命题①错误. 对于②，两直线的法向量分别为,. 两直线平行时法向量平行，由得或. 当时，两直线重合；当时，两直线不重合，故只有时两直线平行，命题②正确. 对于③，直线化为，斜率. 由，当时，倾斜角；当时，. 因此倾斜角取值范围为，命题③正确. 对于④，由可知. 两边平方得，展开得. 当两向量均非零时，，两向量反向； 若含零向量，等式成立时也只能是零向量与另一向量共线.因此该等式能推出两向量共线. 反之，取,，两向量共线， 但，，等式不成立.故该条件不是必要条件. 因此该等式是两向量共线的充分不必要条件，命题④正确. 三、解答题：本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 17. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 18. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，得存在实数，使得，由向量模的运算求得得向量； （2）由垂直的数量积运算计算； （3）由空间向量共面定理求解，即存在，使得，然后求得值． 【详解】解：（1），因为，所以存在实数，使得. 又，所以，解得. 所以或. （2）由已知，， 因为与互相垂直，故即， 故即. （3）因为点在平面上，故存在，使得， 又，所以，解得. 故. 19. 如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点． （1）求异面直线、EF所成角的余弦值； （2）求点到平面AEF的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答. （2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 所以异面直线所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设平面AEF的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 于是． 所以点到平面AEF的距离为． 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第二耀华中学2026~2027学年度第一学期第一次学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷考试时间100分钟，总分100分. 一、选择题：本大题共9小题，每小题3分．共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A. 12 B. C. D. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A. B. C. D. 7. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 11. 若三个向量，，共面，则实数m的值为______． 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 13. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 14. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 15. 已知命题： ①“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 ②“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 ③直线的倾斜角的取值范围是 ④是，共线的充分不必要条件； 在以上命题中，所有正确命题序号有_________________________． 三、解答题：本大题共5题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 17. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 18. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 19. 如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点． （1）求异面直线、EF所成角的余弦值； （2）求点到平面AEF的距离． 20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $