第二十八章 旋转 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章旋转 一、单选题 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 3．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（　　） A．AC＝AE B．∠BAD＝∠CAE C．∠B＝∠ACE D．BC⊥CE 4．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转后得到，连接，过点作的垂线，垂足为，与交于点.若，，则的长为（　　） A． B． C．5 D．4 5． 如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　） A．34° B．36° C．38° D．40° 7．如图，已知中，，，以为腰向外作等腰，，连结，则线段的最大值为（　　） A． B．6 C． D．8 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．如图，O是正 内一点， ， ， ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列五个结论中，其中正确的结论是（　　） 可以由 绕点B逆时针旋转 得到； 点O与 的距离为4； ； ； ． A． B． C． D． 10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为(　　) A． B． C．4 D． 二、填空题 11．如图，和关于点C成中心对称，若，，，则的长是　 　． 12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　． 13．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，连接BB′，则∠BAC′的度数为　 　°. 14．如图，游乐场的大型摩天轮顺时针旋转1周需要（匀速）．启动时，旋转的度数为　 　． 15．如图，将边长为 的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为　 　平方单位． 16．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC=　 　． 17．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为　 　． 18．如图，在Rt中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM，若，，则当　 　时，线段PM的值最大，这个最大值是　 　． 19．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点C顺时针旋转到，使点落在AC上，那么∠A的度数是 　 　°． 20．在平面直角坐标系中点A（0，6）、B（6，0），AC、BD分别垂直于y轴、x轴，CA＝3，∠COD＝45°，二次函数y＝﹣ x2+m与线段CD有两个公共点时，m的取值范围是　 　. 21．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上（不与原点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是的中点，连接，当是等腰三角形时，点的坐标是　 　． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝　 　. 23．如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接． （1）当三点共线时，线段的长度为　 　； （2）在旋转过程中，线段的最小值为　 　． 三、解答题 24．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点F落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC=40°，则∠AFE的度数为　 　 （2）若AC=8，BC=6，求AF的长． 26．如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为的等边三角形． （1）求点的坐标； （2）若将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是　 　； （3）将沿着轴向右平移到处，如图，连接，交于点判断的形状，并说明理由． 27．如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中， （1）分别写出点A、B、C、D各点的坐标； （2）作出四边形ABCD关于原点O对称的四边形A′B′C′D′，并写出各顶点坐标． 28．如图，，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的度数； （3）若射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值． 29．已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接． （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值． （3）如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长． 30．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点． （1）直接写出，，之间的关系： ___________=____________+___________ （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 31．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应），直线交直线于点G． （1）求直线的解析式； （2）点P为y轴上一动点，若，求点P的坐标； （3）如图2，直线，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 32．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，直线与直线交于点C，与x轴交于点B，点C在x轴上方，轴于点D，． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点F在直线上运动，当时，求点F的坐标； （3）如图3，将绕点B逆时针方向旋转，得到，使点A与点G重合，点C与点H重合，将沿直线左右平移，平移中的记为，在平移过程中，设直线与x轴交于点M，点N是直线上的一个动点，是否存在这样的点N，使得是以点N为锐角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 【解析】【解答】如图所示，AC与A'B'交于点D， 根据题意可得：∠ACA'=20°， ∵， ∴∠A'DC=90°， 在△A'CD中， ∠A'=180°-90°-20°=70°， ∵△ABC与△A'B'C全等， ∴∠BAC=∠A'=70°， 故答案为：C. 【分析】先利用旋转的性质及三角形的内角和求出∠A'的度数，再利用全等三角形的性质可得∠BAC=∠A'=70°. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得，，，又， ． 故答案为：C． 【分析】根据旋转的性质可得，，再利用角的运算求出即可。 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】C 【解析】【解答】 为等边三角形， ， ， 线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ， ， ， ， ， ， 可以由 绕点B逆时针旋转 得到，所以 正确； ， ， 为等边三角形， ， ，所以 正确； 可以由 绕点B逆时针旋转 得到， ， 在 中， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ，所以 正确； ，所以 错误； 作 于H，如图， 在RtAOH中， ， ， ， ， ， ， 即 ， ，所以 正确． 故选C． 【分析】利用等边三角形的性质得 ， ，利用性质得性质得 ， ，则根据旋转的定义可判断 可以由 绕点B逆时针旋转 得到，则可对 进行判断；再判断 为等边三角形得到 ， ，则可对 进行判断；接着根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形得到 ，所以 ，则可对 进行判断；利用 可对 进行判断；作 于H，如图，计算出 ， ，则 ， ，然后计算出 ，从而得到 ，最后利用 可对 进行判断． 10．【答案】B 11．【答案】5 12．【答案】15° 【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE， ∴∠BAD=150°，AD=AB， ∵点B，C，D恰好在同一直线上， ∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形， ∴∠B=∠BDA， ∴∠B= （180°﹣∠BAD）=15°， 故答案为：15°． 【分析】根据旋转的性质得出∠BAD=150°，AD=AB，又点B，C，D恰好在同一直线上，故△BAD是顶角为150°的等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得出∠B的度数。 13．【答案】80 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C， ∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°， ∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝80°， 故答案为：80. 【分析】由图形旋转的性质，∠BAC＝∠B′AC′=40°，则问题可解. 14．【答案】 15．【答案】6﹣2 【解析】【解答】解：设B′C′和CD的交点是O，连接OA， ∵AD=AB′，AO=AO，∠D=∠B′=90°， ∴Rt△ADO≌Rt△AB′O， ∴∠OAD=∠OAB′=30°， ∴OD=OB′= ， S四边形AB′OD=2S△AOD=2× × =2 ， ∴S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD=6﹣2 ． 【分析】设B′C′和CD的交点是O，连接OA，根据“HL”可证Rt△ADO≌Rt△AB′O，可得∠OAD=∠OAB′=30°，利用解直角三角形求出OD=OB′= ，利用S四边形AB′OD=2S△AOD=求出面积，由S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD计算即可. 16．【答案】7 【解析】【解答】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点， 由旋转的性质可知CD=ED， ∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°， ∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°， ∴△CDF≌△EDG， ∴CF=EG， ∵S△ADE= AD×EG=6，AD=4， ∴EG=3，则CF=EG=3， 依题意得四边形ABFD为矩形， ∴BF=AD=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， 故答案为：7 【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点。根据三角形的两个角对应相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△CDF≌△EDG，所以CF=EG。根据三角形ADE的面积可求得高EG的长度，即CF的长度，所以BC=BF+FC即可。 17．【答案】 18．【答案】120°；9 19．【答案】15 20．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴将 以点O为旋转中心旋转 ，得到 ，作图如下： ∴ 又∵旋转 ∴ ， ， ∴ 在 与 中： ∴ ∴ ∵ 轴， 轴，且AC=3 ∴ ∴ 设点 ，则： ∴ ， ， ∴ 解得： ∴ 设线CD所在的直线表达式为： ， 将 ， 代入得： ，解得： ∴线段CD所在的直线表达式为： （ ） 又∵二次函数 与线段CD有两个公共点 ∴ ∴ 又∵有两个公共点 ∴ ，即 解得： 又∵与线段CD相交， ，且 的对称轴为： ∴ 解得： ∴m的取值范围是 . 【分析】根据A、B的坐标可得AO=BO=6，由旋转的性质可得∠AOC=∠BOE，OC=OE，AC=BE，证明△COD≌△EOD，得到CD=ED，易得C（3，6），求出AC=BE=3，设D（6，a），则ED=a+3，然后根据ED=CD可得a，进而可得点D的坐标，求出直线CD的解析式，联立二次函数解析式并结合根的判别式可得m的范围，据此求解. 21．【答案】或 22．【答案】100°或120° 【解析】【解答】解：如图： ①当点B落在AB边上时， ∵DB＝DB1， ∴∠B＝∠DB1B＝40°， ∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°， ②当点B落在AC上时， 在Rt△DCB2中， ∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD， ∴∠CB2D＝30°， ∴m＝∠C+∠CB2D＝120°， 综上所述，m的值为100°或120°. 故答案为：100°或120°. 【分析】如图：①当点B落在AB边上时，根据旋转的性质得出DB＝DB1，根据等边对等角得出∠B＝∠DB1B＝40°，进而根据三角形的内角和由m＝∠BDB1＝180°-∠B-∠BB1D即可算出答案；②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据含30°直角三角形的边之间的关系判断出∠CB2D＝30°，进而由m＝∠C+∠CB2D即可算出答案，综上所述即可得出答案. 23．【答案】；1 24．【答案】解：A、B、C、D关于原点对称的点的坐标分别为：A′（2，﹣3）、B′（4，﹣1）、C′（3，1），D′（1，0），如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求． 【解析】【解答】解：A、B、C、D关于原点对称的点的坐标分别为：A′（2，﹣3）、B′（4，﹣1）、C′（3，1），D′（1，0），如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求． 【分析】利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． 25．【答案】（1）15° （2）解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10 ， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到AFBE， ∴BE= BC=6，EF= AC=8， ∠BEF = 90°， ∴AE= AB- BE=10-6=4，∠AEF =90°， ∴ AF=． 【解析】【解答】解：（1）∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴AB=FB，∠BFE=∠BAC=40°，∠ABC=∠FBE，∠BEF=∠C=90°， 在△AFE中，∠FBE=180°-∠BEF-∠BFE=180°-90°-40°=50°， ∵AB=FB， ∴∠BFA=∠BAF， ∴∠BFA=∠BAF=， ∴∠AFE=∠BFA-∠BFE=65°-40°=15°， 故答案为：15°； 【分析】（1）先利用旋转的性质可得AB=FB，∠BFE=∠BAC=40°，∠ABC=∠FBE，∠BEF=∠C=90°，再利用三角形的内角和及角的运算求出∠AFE=∠BFA-∠BFE=65°-40°=15°即可； （2）利用旋转的性质可得BE= BC=6，EF= AC=8， ∠BEF = 90°，再利用线段的和差求出AE的长，最后利用勾股定理求出AF的长即可. 26．【答案】（1）解：如图，过点作于点， 是边长为的等边三角形， ， ， ； （2） （3）解：是等腰三角形，理由如下： 沿着轴向右平移到处，是等边三角形， 等边≌等边， ，，， ， 又， ≌， ， ， 是等腰三角形． 【解析】【解答】解：（2）∵将绕点顺时针旋转， ∴点的对应点的坐标是 故答案为：. 【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形的性质得到：再根据勾股定理可求出BC的长度，进而得到点B的坐标； （2）根据旋转的性质，即可得到答案； （3）根据平移的性质知：是等边三角形，进而得到：即可得到：，结合已知条件利用"SAS"证明得到：，即可判断出是等腰三角形. 27．【答案】（1）解：A（-2，0），B（2，﹣2），C（1，0），D（1，3）； （2）解：如图所示：A′（2，0），B′（﹣2，2），C′（﹣1，0），D（﹣1，﹣3）． 【解析】【分析】（1）主要考查平面直角坐标系中各象限内的点及坐标轴上的点的特点，根据其特点写出各点的坐标。 （2）平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数。根据这个特点写出各点的坐标，画出关于原点对称的四边形的图象即可。 28．【答案】（1） （2） （3）3或5 29．【答案】（1）， （2）当点落在上时，，当点落在上时， （3）的长度分别为2或或或． 30．【答案】（1）；（2）；（3）6或24或15或30 31．【答案】（1） （2）或 （3）或或或 32．【答案】（1） （2）或 （3）存在， 学科网（北京）股份有限公司 $