第二十八章 旋转 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十八章 旋转 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十八章 旋转 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 【答案】D 【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，相交于点E，则△ABC与△A′B′C'关于点E成中心对称．故选：D． （来源：2026秋•同步） 2．（3分）下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：③方向盘的转动，④水龙头开关的转动，⑤钟摆的运动是旋转，故选：B． （来源：2026秋•同步） 3．（3分）把△ABC各点的横、纵坐标都乘﹣1后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：把△ABC各点的横、纵坐标都乘﹣1后，得到的点与△ABC的各点关于原点对称，所以得到的图形与△ABC关于原点对称，故选：C． （来源：2024春•长安区期中） 4．（3分）对于题目“把△ABC的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以﹣1，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【解答】解：把△ABC的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以﹣1，则△ABC的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，故只有淇淇对；故选：B． （来源：2024春•襄都区月考） 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF相交于原点O，MF∥x轴，点M的坐标是（﹣2，m），点N的坐标是（n，﹣3），则点E的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【答案】D 【解答】解：由题意得点M与点E关于原点对称， ∵点M的坐标是（﹣2，m）， ∴点E的横坐标是2， ∵MF平行x轴，MF∥NE， ∴NE平行x轴， ∵点N的坐标是（n，﹣3）， ∴点E的纵坐标是﹣3． ∴点E的坐标是（2，﹣3）．故选：D． （来源：2026•监利市二模） 6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD＝8，∠B＝45°，E，F分别是BC和AD上的点，且EF平分▱ABCD的面积，若BE＝3，则EF的长为（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解答】解：建立平面直角坐标系如图：由图可知，B（0，0）， ∵AB=4，∠B＝45°， ∴A（4，4）， ∵▱ABCD，AD＝8， ∴BC＝8， ∴C（8，0），D（12，4）， ∵BE＝3， ∴E（3，0），设F（x，4）， ∵EF平分▱ABCD的面积， ∴梯形ABEF的面积=×4=▱ABCD的面积=×8×4，解得：x＝9， ∴F（9，4）， ∴EF==2，故选：B． （来源：2026春•碑林区校级期中） 7．（3分）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为4，宽为2的矩形OABC，且点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，于是过定点P（0，﹣1）沿直线向矩形OABC射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，则该直线与矩形BC边的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣2，2） C．（﹣4，2） D．（﹣3，2） 【答案】D 【解答】解： ∵矩形OABC的长为4，宽为2，且点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上， ∴点C（0，2），点B（﹣4，2），点O（0，0），点A（﹣4，0）， ∵直线将矩形OABC分成面积相等的两部分， ∴该直线必经过矩形OABC的对称中心（即对角线OB的中点），设矩形中心为点M，则M(，)，即M（﹣2，1），设过点P（0，﹣1）和点M（﹣2，1）的直线解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线解析式为y＝﹣x﹣1， ∵点B（﹣4，2），点C（0，2）， ∴线段BC在直线y＝2上， 令y＝2，则2＝﹣x﹣1，解得x＝﹣3， ∴交点坐标为（﹣3，2）．故选：D． （来源：2026•贵州） 8．（3分）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：①∠EAF＝45°；②点E在BC上运动过程中，始终有∠EFC＝45°；③DF最小值为2；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是6，其中一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【解答】解： ∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE， ∴FE＝AE，∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°，故①正确；作FH⊥BC交BC的延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴CD＝BC＝AB＝4，∠H＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵∠HEF+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠HEF＝∠BAE，在△HEF和△BAE中，， ∴△HEF≌△BAE（AAS）， ∴HF＝BE，EH＝AB＝BC， ∴EH﹣CE＝BC﹣CE， ∴CH＝BE， ∴HF＝CH， ∴∠HCF＝∠HFC＝45°，如图1， ∵∠HCF＞∠EFC， ∴∠EFC＜45°，故②错误； ∵∠DCH＝90°， ∴∠FCD＝180°﹣∠HCF＝45°， ∵点E为BC边上的动点， ∴点F在射线CF上运动， ∴当DF⊥CF时，DF的值最小，如图2，DF⊥CF，则∠CFD＝90°， ∴∠FDC＝∠FCD＝45°， ∴CF＝DF， ∵CD==DF＝4， ∴DF＝2， ∴DF的最小值为2，故③正确； ∵CF＝DF＝2，且HF＝CH，∠H＝90°， ∴CF==CH＝2， ∴HF＝CH＝BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣2＝2，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20， ∴S△CEF=CD•HF=×2×2＝2，S△AEF=FE•AE=AE2=×20＝10， ∴S四边形EDFA＝S△CEF+S△AEF＝2+10＝12≠6，故④错误，故选：B． （来源：2026春•锡山区校级月考） 9．（3分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【解答】解：方法一： ∵▱ABCD对角线的交点O为原点， ∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称， ∵A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．方法二： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴点A和C关于对角线的交点O对称，又 ∵O为原点， ∴点A和C关于原点对称， ∵点A（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）． （来源：2026•东城区校级开学） 10．（3分）已知点A（m﹣1，2）和点B（3，﹣n+1）关于坐标原点对称，则m+n的值为 ． 【答案】1 【解答】解： ∵点A（m﹣1，2）和点B（3，﹣n+1）关于原点对称， ∴m﹣1＝﹣3，﹣n+1＝﹣2，解得：m＝﹣2，n＝3，则m+n＝﹣2+3＝1．故答案为：1． （来源：2026春•同步） 11．（3分）如图图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ． 【答案】B，D 【解答】解：由题意可得，A、左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，B、左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，C、左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，D、左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．故答案为：B，D． （来源：2023秋•梁园区校级期中） 12．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为 ． 【答案】π﹣2 【解答】解：连接AB，阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△ABO=-×2×2＝π﹣2．故答案为：π﹣2． （来源：2026春•高邮市校级期中） 13．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】（﹣2，1） 【解答】解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）． （来源：2026•天河区校级开学） 14．（3分）正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF＝3，CF＝1．则EF＝ ． 【答案】2 【解答】解：如图所示，过点O作BC的垂线，垂足为M， ∵BF＝3，CF＝1， ∴BC＝3+1＝4． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OC， ∴BM＝CM=BC＝2，则OM=BC=2， ∴MF＝CM﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△OMF中，OF==． ∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心， ∴EF＝2OF=2．故答案为：2． （来源：2026•南京） 15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′．（1）当点B′恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则BE＝ ；（2）当点E为BC的中点时，B′C的长为 ． 【答案】3 【解答】解：（1）点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC===10，由折叠的性质得BE＝B'E，AB＝AB'＝6，∠B＝∠AB'E＝90°， ∴B'C＝AC﹣AB'＝10﹣6＝4，∠CB'E＝90°，设BE＝B'E＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，在Rt△CB′E中，由勾股定理得CE2＝B'E2+B'C2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3， ∴BE的长为3，故答案为：3．（2）如图，连接BB'交AE于点F，由折叠的性质得BB'⊥AE，BE＝B'E， ∵点E为BC的中点， ∴BE=B′E=EC=BC=4， ∴∠BB'E＝∠B'BE，∠EB'C＝∠B'CE， ∴∠BB'C+∠B'BE+∠B'CE＝180°， ∴∠BB'C＝∠BB'E+∠EB'C＝90°， ∴EF∥B'C， ∴EF为△BB'C的中位线，即B'C＝2EF，在Rt△ABE中，AE===2，S△ABE=AB⋅BE=AE⋅BF， ∴×6×4=×2×BF， ∴BF=，在Rt△BFE中，EF===， ∴B′C=2EF=，故答案为：． （来源：2026春•天门校级期中） 16．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，在边AC上方作等边△ACD，则BD的长为 ． 【答案】 【解答】解：如图，以AB为边，在AB的左侧作等边△ABE，连接EC，作EF⊥CB交CB的延长线于F． ∵△ABE，△ACD都是等边三角形， ∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°， ∴∠EAC＝∠BAD， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴EC＝BD， ∵∠ABE＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF＝60°，在Rt△EFB中， ∵∠F＝90°，BE＝AB＝4，∠BEF＝30°， ∴BF=BE＝2，EF=BF＝2，在Rt△ECF中， ∵∠F＝90°，CF＝BF+BC＝2+5＝7，EF＝2， ∴EC===，故答案为． （来源：2026春•莲湖区校级月考） 17．（6分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，已知AB＝6，AC＝4． （1）画出△ACD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段AD长的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△MBD即为所求； （2）由中心对称的性质可得，点A，D，M共线，MD＝AD，BM＝AC＝6， ∴AM＝AD+MD＝2AD， ∵|AB﹣BM|＜AM＜AB+BM， ∴|6﹣4|＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5． （来源：2025春•市中区期末） 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）将△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 【答案】（﹣2，0） 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）分别连接A1A2，B1B2，C1C2相交于点P， ∴点P的坐标是（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）． （来源：2025秋•周村区期末） 19．（6分）如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F． （1）若∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1，求BD的长； （2）连接BM、DN，证明四边形BMDN是平行四边形． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1， ∴BN＝2ON＝2， ∴BO==， ∵点O为平行四边形ABCD的对称中心， ∴BD=2BO=2； （2）证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ODM＝∠OBN，∠OMD＝∠ONB， ∵BO＝DO， ∴△DOM≌△BON（AAS）， ∴DM＝BN， ∵DM∥BN， ∴四边形BNDM为平行四边形． （来源：2025春•梅县区期末） 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点A1的坐标为（3，3）． （2）如图，△AB2C2即为所求．由图可得，点C2的坐标为（﹣5，0）． （来源：2026春•余江区期中） 21．（6分）如图，在7×6的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形． （1）在图甲中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点D成中心对称； （2）在图乙中分别找两个格点C2、D2，使得以A、B、C2、D2为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为△ABC面积的4倍． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图甲中，△A1B1C1即为所求； （2）在图乙中，平行四边形ABC2D2即为所求． （来源：2026春•下城区期中） 22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ． （1）求证：EA是∠QED的平分线； （2）已知：BE＝1，DF＝2，求EF的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∴∠QAE＝45°， ∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）解：由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠ABQ＝45°， ∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又 ∵QB＝DF， ∴EF2＝BE2+DF2＝1+4＝5， ∴EF=． （来源：2025秋•富顺县期末） 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为 ． （2）作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′． （3）在（2）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标． 【答案】（2，0） 【解答】解： （1）如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P，由图可知，点P的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）； （2）△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′，如图2即为所求； （3）由（2）知△ABC和△A′B′C′关于点O中心对称，M（a，b），N为点M的对称点， ∵对称点坐标互为相反数， ∴N（﹣a，﹣b）． （来源：2026春•彰武县期末） 24．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+t，y﹣t）（t≠0）称为将点P进行“t型平移”，P′点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如：将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点进行“1型平移”，将点P（x，y）平移到P′（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣1型平移”．已知点A（1，2）和点B（3，2）． （1）若将点A（1，2）进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为 ； （2）将线段AB进行“t型平移”后得到线段A1B1．①若线段A1B1与y轴有公共点，求t的取值范围；②以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5，求t的值． 【答案】（2，1） 【解答】解： （1） ∵点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点进行“1型平移”，且A（1，2）， ∴A'（1+1，2﹣1）， ∴A'（2，1），故答案为（2，1）； （2）① ∵线段AB进行“t型平移”后得到线段A1B1，且点A（1，2）和点B（3，2）， ∴A1（1+t，2﹣t），B1（3+t，2﹣t）， ∴A1B1始终平行于x轴， ∵线段A1B1与y轴有公共点， ∴1+t≤0，3+t≥0， ∴﹣3≤t≤﹣1，即线段A1B1与y轴有公共点，t的取值范围为﹣3≤t≤﹣1；②如图，由①知，A1B1始终平行于x轴，A1（1+t，2﹣t），B1（3+t，2﹣t）， ∴A1B1＝3+t﹣（1+t）＝2，点O到A1B1距离为|2﹣t|， ∵以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5， ∴点O到直线A1B1的距离为5，即点A1的纵坐标（2﹣t）的绝对值， ∴|2﹣t|＝5， ∴t＝﹣3或t＝7，即以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5，t的值的值为﹣3或7． （来源：2026春•连江县期末） 25．（10分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH． （1）如图①所示，点C，D分别在边OA，OB上，求证：OH=AD且OH⊥AD． （2）将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？证明你的结论． （3）如图③所示，当OB＝4，OD=时，求OH长的取值范围． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD，OA＝OB， ∵在△AOD与△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD， ∵点H为线段BC的中点，∠BOC＝90° ∴OH＝HB＝CH=BC， ∴∠OBH＝∠HOB，OH=AD． ∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD， ∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠ADO+∠BOH＝90°， ∴OH⊥AD； （2）解：将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD的关系为：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，如图， ∵点H是BC中点， ∴BH＝CH，在△BEH和△COH中， ∴△BEH≌△COH（SAS）， ∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO， ∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，在△BEO和△ODA中，， ∴△BEO≌△ODA（SAS）， ∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO， ∴OH=OE=AD， ∵∠AOB＝90°， ∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°， ∴OH⊥AD． （3）解：延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM，如图，在△BMH和△COH中，， ∴△BMH≌△COH（SAS）， ∴BM＝OC=， ∵OB＝4， ∵OB﹣BM≤OM≤OB+BM， ∴3≤OM≤5， ∵OM＝2OH， ∴≤OH≤． （来源：2026春•永城市校级月考） 26．（10分）在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G，连接AF． （1）如图1，当点D与点A重合时，①求证：FG＝AG；②判断AF与BC的位置关系是 ； （2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA，CF相交于点P．若AB＝CD＝2，求PF的长． 【答案】AF∥BC 【解答】（1）①证明： ∵将△BDC绕点A旋转得到△EDF， ∴△AEF≌△ABC， ∴∠EDF＝∠CAB，∠F＝∠C，AE＝AB，即∠FAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE， ∴∠FAC＝∠BAE， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B，在△ABE中，∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣2∠B，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣2∠B， ∴∠EAB＝∠C， ∴∠F＝∠FAC， ∴FG＝AG．②解：由上述证明可得∠F＝∠C＝∠FAC， ∴AF∥BC，故答案为：AF∥BC． （2）解： ∵将△BDC绕点D旋转得到△EDF， ∴△DEF≌△DBC， ∴∠DEF＝∠B，DE＝DB，EF＝BC， ∴∠DEB＝∠B， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB＝180°﹣2∠B， ∵∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣2∠B， ∴∠ACB＝∠CEF， ∴CG＝EG， ∴AC﹣CG＝EF﹣EG，即AG＝FG， ∴=， ∵∠CGE＝∠AGF， ∴△CGE∽△AGF， ∴∠GAF＝∠GCE， ∴AF∥BC． （3）解： ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴AD＝BD，∠BDC＝∠PDC＝90°， ∴BC==，由（2）可知∠CAB＝∠B＝∠DEB， ∴△CAB∽△DEB， ∴=， ∴BE==， ∴CE=BC-BE=， ∵∠EDF＝∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴∠EDF﹣∠FDC＝∠ADC﹣∠FDC，即∠ADF＝∠EDC， ∵AD＝BD＝DE，DF＝DC， ∴△ADF≌△EDC（SAS）， ∴AF=CE=， ∵AF∥BC， ∴△PAF∽△PBC， ∴===， ∴=，解得PA＝3， ∵PC==2， ∴PF=PC=． （来源：2026春•达州校级期末） 27．（10分）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，将△DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DEA（如图2），我们称△DEA为△DBC的“旋补三角形”．△DEA的边EA上的中线DF叫做△DBC的“旋补中线”． （1）在图2，图3，图4中，△DEA为△DBC的“旋补三角形”，DF是△DBC的“旋补中线”．①如图2，∠BDE+∠CDA＝ °；②如图3，当△DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝ BC；③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为 ； （2）在图2中，当△DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明． （3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】180 【解答】解： （1）① ∵∠ADE+∠BDC＝180°， ∴∠BDE+∠CDA＝180°，故答案为：180；②当△DBC为等边三角形时，BC＝DB＝DE＝DC＝DA，∠BDC＝60°， ∴△ADE是等腰三角形，∠ADE＝120°，∠E＝30°，又 ∵DF是△ADE的中线， ∴DF⊥AE， ∴Rt△DEF中，DF=DE， ∴DF=BC，故答案为：；③当∠BDC＝90°时，BC＝4时，易得△ADE≌△CDB， ∴AE＝BC＝4， ∴Rt△ADE中，DF=AE＝2；方法2：由旋转可知△ADE≌△CDB， ∴DF为△BCD的中线， ∴DF=AE＝2；故答案为：2； （2）猜想：DF=AE．证明：如图2，延长DF至G，使得FG＝DF，连接EG，AG， ∵EF＝FA，FG＝DF， ∴四边形AGED是平行四边形， ∴EG∥DA，GE＝AD＝CD， ∴∠GED+∠ADE＝180°，又 ∵∠BDC+∠ADE＝180°， ∴∠BDC＝∠DEG，在△GED和△CDB中，， ∴△DGE≌△CDB（SAS）， ∴BC＝DG， ∴DF=DG=BC； （3）存在．理由：如图5，延长AD，BC，交于点F，作线段BC的垂直平分线PG，交BE于P，交BC于G，连接PA、PD、PC，由定义知当PA＝PD，PB＝PC，且∠DPA+∠CPB＝180°时，△PDC是△PAB的“旋补三角形”， ∵∠ADC＝150°， ∴∠FDC＝30°，在Rt△DCF中， ∵CD＝2，∠DCF＝90°，∠FDC＝30°， ∴CF＝2，DF＝4，∠F＝60°，在Rt△BEF中， ∵∠BEF＝90°，BF＝14，∠FBE＝30°， ∴EF=BF＝7， ∴DE＝EF﹣DF＝3， ∵AD＝6， ∴AE＝DE，又 ∵BE⊥AD， ∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△BPG中， ∵BG=BC＝6，∠PBG＝30°， ∴PG＝2， ∴PG＝CD，又 ∵CD∥PG，∠PGC＝90°， ∴四边形CDPG是矩形， ∴∠DPG＝90°， ∴∠DPE+∠BPG＝90°， ∴2∠DPE+2∠BPG＝90°，即∠DPA+∠BPC＝180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”． （来源：2026•寿县模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章 旋转 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十八章 旋转 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章 旋转 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十八章 旋转 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 2．（3分）下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（3分）把△ABC各点的横、纵坐标都乘﹣1后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）对于题目“把△ABC的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以﹣1，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF相交于原点O，MF∥x轴，点M的坐标是（﹣2，m），点N的坐标是（n，﹣3），则点E的坐标是（　　） A． （3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD＝8，∠B＝45°，E，F分别是BC和AD上的点，且EF平分▱ABCD的面积，若BE＝3，则EF的长为（　　） A． B．2 C．3 D．6 7．（3分）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为4，宽为2的矩形OABC，且点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，于是过定点P（0，﹣1）沿直线向矩形OABC射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，则该直线与矩形BC边的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣2，2） C．（﹣4，2） D．（﹣3，2） 8．（3分）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：①∠EAF＝45°；②点E在BC上运动过程中，始终有∠EFC＝45°；③DF最小值为2；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是6，其中一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 　　　　 ． 10．（3分）已知点A（m﹣1，2）和点B（3，﹣n+1）关于坐标原点对称，则m+n的值为 　　　　 ． 11．（3分）如图图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 　　　　 ． 12．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为　　　　 ． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　　　　 ． 14．（3分）正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF＝3，CF＝1．则EF＝　　　　 ． 15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′．（1）当点B′恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则BE＝　　　　 ；（2）当点E为BC的中点时，B′C的长为　　　　 ． 16．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，在边AC上方作等边△ACD，则BD的长为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，已知AB＝6，AC＝4． （1）画出△ACD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段AD长的取值范围． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）将△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　　　　 ． 19．（6分）如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F． （1）若∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1，求BD的长； （2）连接BM、DN，证明四边形BMDN是平行四边形． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标． 21．（6分）如图，在7×6的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形． （1）在图甲中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点D成中心对称； （2）在图乙中分别找两个格点C2、D2，使得以A、B、C2、D2为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为△ABC面积的4倍． 22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ． （1）求证：EA是∠QED的平分线； （2）已知：BE＝1，DF＝2，求EF的长． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为　　　　 ． （2）作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′． （3）在（2）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标． 24．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+t，y﹣t）（t≠0）称为将点P进行“t型平移”，P′点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如：将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点进行“1型平移”，将点P（x，y）平移到P′（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣1型平移”．已知点A（1，2）和点B（3，2）． （1）若将点A（1，2）进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为　　　　 ； （2）将线段AB进行“t型平移”后得到线段A1B1．①若线段A1B1与y轴有公共点，求t的取值范围；②以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5，求t的值． 25．（10分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH． （1）如图①所示，点C，D分别在边OA，OB上，求证：OH=AD且OH⊥AD． （2）将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？证明你的结论． （3）如图③所示，当OB＝4，OD=时，求OH长的取值范围． 26．（10分）在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G，连接AF． （1）如图1，当点D与点A重合时，①求证：FG＝AG；②判断AF与BC的位置关系是 　　　　 ； （2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA，CF相交于点P．若AB＝CD＝2，求PF的长． 27．（10分）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，将△DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DEA（如图2），我们称△DEA为△DBC的“旋补三角形”．△DEA的边EA上的中线DF叫做△DBC的“旋补中线”． （1）在图2，图3，图4中，△DEA为△DBC的“旋补三角形”，DF是△DBC的“旋补中线”．①如图2，∠BDE+∠CDA＝　　　　 °；②如图3，当△DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝　　　　 BC；③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为 　　　　 ； （2）在图2中，当△DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明． （3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P并给予证明；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章 旋转 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十八章 旋转 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 2．（3分）下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（3分）把△ABC各点的横、纵坐标都乘﹣1后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）对于题目“把△ABC的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以﹣1，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF相交于原点O，MF∥x轴，点M的坐标是（﹣2，m），点N的坐标是（n，﹣3），则点E的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD＝8，∠B＝45°，E，F分别是BC和AD上的点，且EF平分▱ABCD的面积，若BE＝3，则EF的长为（　　） A． B．2 C．3 D．6 7．（3分）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为4，宽为2的矩形OABC，且点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，于是过定点P（0，﹣1）沿直线向矩形OABC射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，则该直线与矩形BC边的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣2，2） C．（﹣4，2） D．（﹣3，2） 8．（3分）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：①∠EAF＝45°；②点E在BC上运动过程中，始终有∠EFC＝45°；③DF最小值为2；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是6，其中一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 　　　　 ． 10．（3分）已知点A（m﹣1，2）和点B（3，﹣n+1）关于坐标原点对称，则m+n的值为 　　　　 ． 11．（3分）如图图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 　　　　 ． 12．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为　　　　 ． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　　　　 ． 14．（3分）正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF＝3，CF＝1．则EF＝　　　　 ． 15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′．（1）当点B′恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则BE＝　　　　 ；（2）当点E为BC的中点时，B′C的长为　　　　 ． 16．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，在边AC上方作等边△ACD，则BD的长为　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，已知AB＝6，AC＝4． （1）画出△ACD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段AD长的取值范围． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）将△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　　　　 ． 19．（6分）如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F． （1）若∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1，求BD的长； （2）连接BM、DN，证明四边形BMDN是平行四边形． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标． 21．（6分）如图，在7×6的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形． （1）在图甲中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点D成中心对称； （2）在图乙中分别找两个格点C2、D2，使得以A、B、C2、D2为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为△ABC面积的4倍． 22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ． （1）求证：EA是∠QED的平分线； （2）已知：BE＝1，DF＝2，求EF的长． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为　　　　 ． （2）作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′． （3）在（2）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标． 24．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+t，y﹣t）（t≠0）称为将点P进行“t型平移”，P′点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如：将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点进行“1型平移”，将点P（x，y）平移到P′（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣1型平移”．已知点A（1，2）和点B（3，2）． （1）若将点A（1，2）进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为　　　　 ； （2）将线段AB进行“t型平移”后得到线段A1B1．①若线段A1B1与y轴有公共点，求t的取值范围；②以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5，求t的值． 25．（10分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH． （1）如图①所示，点C，D分别在边OA，OB上，求证：OH=AD且OH⊥AD． （2）将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？证明你的结论． （3）如图③所示，当OB＝4，OD=时，求OH长的取值范围． 26．（10分）在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G，连接AF． （1）如图1，当点D与点A重合时，①求证：FG＝AG；②判断AF与BC的位置关系是 　　　　 ； （2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA，CF相交于点P．若AB＝CD＝2，求PF的长． 27．（10分）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，将△DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DEA（如图2），我们称△DEA为△DBC的“旋补三角形”．△DEA的边EA上的中线DF叫做△DBC的“旋补中线”． （1）在图2，图3，图4中，△DEA为△DBC的“旋补三角形”，DF是△DBC的“旋补中线”．①如图2，∠BDE+∠CDA＝　　　　 °；②如图3，当△DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝　　　　 BC；③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为 　　　　 ； （2）在图2中，当△DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明． （3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P并给予证明；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章 旋转 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十八章 旋转 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章 旋转 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十八章 旋转 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于某个点成中心对称，则这个点是（　　） A．点D B．点G C．点F D．点E 【答案】D 【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，相交于点E，则△ABC与△A′B′C'关于点E成中心对称．故选：D． （来源：2026秋•同步） 2．（3分）下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：③方向盘的转动，④水龙头开关的转动，⑤钟摆的运动是旋转，故选：B． （来源：2026秋•同步） 3．（3分）把△ABC各点的横、纵坐标都乘﹣1后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：把△ABC各点的横、纵坐标都乘﹣1后，得到的点与△ABC的各点关于原点对称，所以得到的图形与△ABC关于原点对称，故选：C． （来源：2024春•长安区期中） 4．（3分）对于题目“把△ABC的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以﹣1，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【解答】解：把△ABC的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以﹣1，则△ABC的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，故只有淇淇对；故选：B． （来源：2024春•襄都区月考） 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF相交于原点O，MF∥x轴，点M的坐标是（﹣2，m），点N的坐标是（n，﹣3），则点E的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【答案】D 【解答】解：由题意得点M与点E关于原点对称， ∵点M的坐标是（﹣2，m）， ∴点E的横坐标是2， ∵MF平行x轴，MF∥NE， ∴NE平行x轴， ∵点N的坐标是（n，﹣3）， ∴点E的纵坐标是﹣3． ∴点E的坐标是（2，﹣3）．故选：D． （来源：2026•监利市二模） 6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD＝8，∠B＝45°，E，F分别是BC和AD上的点，且EF平分▱ABCD的面积，若BE＝3，则EF的长为（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解答】解：建立平面直角坐标系如图：由图可知，B（0，0）， ∵AB=4，∠B＝45°， ∴A（4，4）， ∵▱ABCD，AD＝8， ∴BC＝8， ∴C（8，0），D（12，4）， ∵BE＝3， ∴E（3，0），设F（x，4）， ∵EF平分▱ABCD的面积， ∴梯形ABEF的面积=×4=▱ABCD的面积=×8×4，解得：x＝9， ∴F（9，4）， ∴EF==2，故选：B． （来源：2026春•碑林区校级期中） 7．（3分）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为4，宽为2的矩形OABC，且点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，于是过定点P（0，﹣1）沿直线向矩形OABC射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，则该直线与矩形BC边的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣2，2） C．（﹣4，2） D．（﹣3，2） 【答案】D 【解答】解： ∵矩形OABC的长为4，宽为2，且点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上， ∴点C（0，2），点B（﹣4，2），点O（0，0），点A（﹣4，0）， ∵直线将矩形OABC分成面积相等的两部分， ∴该直线必经过矩形OABC的对称中心（即对角线OB的中点），设矩形中心为点M，则M(，)，即M（﹣2，1），设过点P（0，﹣1）和点M（﹣2，1）的直线解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线解析式为y＝﹣x﹣1， ∵点B（﹣4，2），点C（0，2）， ∴线段BC在直线y＝2上， 令y＝2，则2＝﹣x﹣1，解得x＝﹣3， ∴交点坐标为（﹣3，2）．故选：D． （来源：2026•贵州） 8．（3分）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：①∠EAF＝45°；②点E在BC上运动过程中，始终有∠EFC＝45°；③DF最小值为2；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是6，其中一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【解答】解： ∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE， ∴FE＝AE，∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°，故①正确；作FH⊥BC交BC的延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴CD＝BC＝AB＝4，∠H＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵∠HEF+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠HEF＝∠BAE，在△HEF和△BAE中，， ∴△HEF≌△BAE（AAS）， ∴HF＝BE，EH＝AB＝BC， ∴EH﹣CE＝BC﹣CE， ∴CH＝BE， ∴HF＝CH， ∴∠HCF＝∠HFC＝45°，如图1， ∵∠HCF＞∠EFC， ∴∠EFC＜45°，故②错误； ∵∠DCH＝90°， ∴∠FCD＝180°﹣∠HCF＝45°， ∵点E为BC边上的动点， ∴点F在射线CF上运动， ∴当DF⊥CF时，DF的值最小，如图2，DF⊥CF，则∠CFD＝90°， ∴∠FDC＝∠FCD＝45°， ∴CF＝DF， ∵CD==DF＝4， ∴DF＝2， ∴DF的最小值为2，故③正确； ∵CF＝DF＝2，且HF＝CH，∠H＝90°， ∴CF==CH＝2， ∴HF＝CH＝BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣2＝2，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20， ∴S△CEF=CD•HF=×2×2＝2，S△AEF=FE•AE=AE2=×20＝10， ∴S四边形EDFA＝S△CEF+S△AEF＝2+10＝12≠6，故④错误，故选：B． （来源：2026春•锡山区校级月考） 9．（3分）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【解答】解：方法一： ∵▱ABCD对角线的交点O为原点， ∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称， ∵A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．方法二： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴点A和C关于对角线的交点O对称，又 ∵O为原点， ∴点A和C关于原点对称， ∵点A（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）． （来源：2026•东城区校级开学） 10．（3分）已知点A（m﹣1，2）和点B（3，﹣n+1）关于坐标原点对称，则m+n的值为 ． 【答案】1 【解答】解： ∵点A（m﹣1，2）和点B（3，﹣n+1）关于原点对称， ∴m﹣1＝﹣3，﹣n+1＝﹣2，解得：m＝﹣2，n＝3，则m+n＝﹣2+3＝1．故答案为：1． （来源：2026春•同步） 11．（3分）如图图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ． 【答案】B，D 【解答】解：由题意可得，A、左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，B、左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，C、左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，D、左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．故答案为：B，D． （来源：2023秋•梁园区校级期中） 12．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为 ． 【答案】π﹣2 【解答】解：连接AB，阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△ABO=-×2×2＝π﹣2．故答案为：π﹣2． （来源：2026春•高邮市校级期中） 13．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】（﹣2，1） 【解答】解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）． （来源：2026•天河区校级开学） 14．（3分）正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF＝3，CF＝1．则EF＝ ． 【答案】2 【解答】解：如图所示，过点O作BC的垂线，垂足为M， ∵BF＝3，CF＝1， ∴BC＝3+1＝4． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OC， ∴BM＝CM=BC＝2，则OM=BC=2， ∴MF＝CM﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△OMF中，OF==． ∵正方形ABCD是中心对称图形且点O为其对称中心， ∴EF＝2OF=2．故答案为：2． （来源：2026•南京） 15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′．（1）当点B′恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则BE＝ ；（2）当点E为BC的中点时，B′C的长为 ． 【答案】3 【解答】解：（1）点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC===10，由折叠的性质得BE＝B'E，AB＝AB'＝6，∠B＝∠AB'E＝90°， ∴B'C＝AC﹣AB'＝10﹣6＝4，∠CB'E＝90°，设BE＝B'E＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，在Rt△CB′E中，由勾股定理得CE2＝B'E2+B'C2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3， ∴BE的长为3，故答案为：3．（2）如图，连接BB'交AE于点F，由折叠的性质得BB'⊥AE，BE＝B'E， ∵点E为BC的中点， ∴BE=B′E=EC=BC=4， ∴∠BB'E＝∠B'BE，∠EB'C＝∠B'CE， ∴∠BB'C+∠B'BE+∠B'CE＝180°， ∴∠BB'C＝∠BB'E+∠EB'C＝90°， ∴EF∥B'C， ∴EF为△BB'C的中位线，即B'C＝2EF，在Rt△ABE中，AE===2，S△ABE=AB⋅BE=AE⋅BF， ∴×6×4=×2×BF， ∴BF=，在Rt△BFE中，EF===， ∴B′C=2EF=，故答案为：． （来源：2026春•天门校级期中） 16．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，在边AC上方作等边△ACD，则BD的长为 ． 【答案】 【解答】解：如图，以AB为边，在AB的左侧作等边△ABE，连接EC，作EF⊥CB交CB的延长线于F． ∵△ABE，△ACD都是等边三角形， ∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°， ∴∠EAC＝∠BAD， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴EC＝BD， ∵∠ABE＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF＝60°，在Rt△EFB中， ∵∠F＝90°，BE＝AB＝4，∠BEF＝30°， ∴BF=BE＝2，EF=BF＝2，在Rt△ECF中， ∵∠F＝90°，CF＝BF+BC＝2+5＝7，EF＝2， ∴EC===，故答案为． （来源：2026春•莲湖区校级月考） 17．（6分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，已知AB＝6，AC＝4． （1）画出△ACD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段AD长的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△MBD即为所求； （2）由中心对称的性质可得，点A，D，M共线，MD＝AD，BM＝AC＝6， ∴AM＝AD+MD＝2AD， ∵|AB﹣BM|＜AM＜AB+BM， ∴|6﹣4|＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5． （来源：2025春•市中区期末） 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）将△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 【答案】（﹣2，0） 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）分别连接A1A2，B1B2，C1C2相交于点P， ∴点P的坐标是（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）． （来源：2025秋•周村区期末） 19．（6分）如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F． （1）若∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1，求BD的长； （2）连接BM、DN，证明四边形BMDN是平行四边形． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵∠BON＝90°，∠DBC＝30°，ON＝1， ∴BN＝2ON＝2， ∴BO==， ∵点O为平行四边形ABCD的对称中心， ∴BD=2BO=2； （2）证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ODM＝∠OBN，∠OMD＝∠ONB， ∵BO＝DO， ∴△DOM≌△BON（AAS）， ∴DM＝BN， ∵DM∥BN， ∴四边形BNDM为平行四边形． （来源：2025春•梅县区期末） 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点A1的坐标为（3，3）． （2）如图，△AB2C2即为所求．由图可得，点C2的坐标为（﹣5，0）． （来源：2026春•余江区期中） 21．（6分）如图，在7×6的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形． （1）在图甲中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点D成中心对称； （2）在图乙中分别找两个格点C2、D2，使得以A、B、C2、D2为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为△ABC面积的4倍． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图甲中，△A1B1C1即为所求； （2）在图乙中，平行四边形ABC2D2即为所求． （来源：2026春•下城区期中） 22．（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ． （1）求证：EA是∠QED的平分线； （2）已知：BE＝1，DF＝2，求EF的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∴∠QAE＝45°， ∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）解：由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠ABQ＝45°， ∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又 ∵QB＝DF， ∴EF2＝BE2+DF2＝1+4＝5， ∴EF=． （来源：2025秋•富顺县期末） 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为 ． （2）作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′． （3）在（2）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标． 【答案】（2，0） 【解答】解： （1）如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P，由图可知，点P的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）； （2）△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′，如图2即为所求； （3）由（2）知△ABC和△A′B′C′关于点O中心对称，M（a，b），N为点M的对称点， ∵对称点坐标互为相反数， ∴N（﹣a，﹣b）． （来源：2026春•彰武县期末） 24．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+t，y﹣t）（t≠0）称为将点P进行“t型平移”，P′点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如：将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点进行“1型平移”，将点P（x，y）平移到P′（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣1型平移”．已知点A（1，2）和点B（3，2）． （1）若将点A（1，2）进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为 ； （2）将线段AB进行“t型平移”后得到线段A1B1．①若线段A1B1与y轴有公共点，求t的取值范围；②以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5，求t的值． 【答案】（2，1） 【解答】解： （1） ∵点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点进行“1型平移”，且A（1，2）， ∴A'（1+1，2﹣1）， ∴A'（2，1），故答案为（2，1）； （2）① ∵线段AB进行“t型平移”后得到线段A1B1，且点A（1，2）和点B（3，2）， ∴A1（1+t，2﹣t），B1（3+t，2﹣t）， ∴A1B1始终平行于x轴， ∵线段A1B1与y轴有公共点， ∴1+t≤0，3+t≥0， ∴﹣3≤t≤﹣1，即线段A1B1与y轴有公共点，t的取值范围为﹣3≤t≤﹣1；②如图，由①知，A1B1始终平行于x轴，A1（1+t，2﹣t），B1（3+t，2﹣t）， ∴A1B1＝3+t﹣（1+t）＝2，点O到A1B1距离为|2﹣t|， ∵以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5， ∴点O到直线A1B1的距离为5，即点A1的纵坐标（2﹣t）的绝对值， ∴|2﹣t|＝5， ∴t＝﹣3或t＝7，即以点O，A1，B1为顶点的三角形面积为5，t的值的值为﹣3或7． （来源：2026春•连江县期末） 25．（10分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH． （1）如图①所示，点C，D分别在边OA，OB上，求证：OH=AD且OH⊥AD． （2）将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？证明你的结论． （3）如图③所示，当OB＝4，OD=时，求OH长的取值范围． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD，OA＝OB， ∵在△AOD与△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD， ∵点H为线段BC的中点，∠BOC＝90° ∴OH＝HB＝CH=BC， ∴∠OBH＝∠HOB，OH=AD． ∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD， ∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠ADO+∠BOH＝90°， ∴OH⊥AD； （2）解：将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD的关系为：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，如图， ∵点H是BC中点， ∴BH＝CH，在△BEH和△COH中， ∴△BEH≌△COH（SAS）， ∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO， ∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，在△BEO和△ODA中，， ∴△BEO≌△ODA（SAS）， ∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO， ∴OH=OE=AD， ∵∠AOB＝90°， ∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°， ∴OH⊥AD． （3）解：延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM，如图，在△BMH和△COH中，， ∴△BMH≌△COH（SAS）， ∴BM＝OC=， ∵OB＝4， ∵OB﹣BM≤OM≤OB+BM， ∴3≤OM≤5， ∵OM＝2OH， ∴≤OH≤． （来源：2026春•永城市校级月考） 26．（10分）在△ABC中，AC＝BC，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G，连接AF． （1）如图1，当点D与点A重合时，①求证：FG＝AG；②判断AF与BC的位置关系是 ； （2）如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA，CF相交于点P．若AB＝CD＝2，求PF的长． 【答案】AF∥BC 【解答】（1）①证明： ∵将△BDC绕点A旋转得到△EDF， ∴△AEF≌△ABC， ∴∠EDF＝∠CAB，∠F＝∠C，AE＝AB，即∠FAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE， ∴∠FAC＝∠BAE， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B，在△ABE中，∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣2∠B，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣2∠B， ∴∠EAB＝∠C， ∴∠F＝∠FAC， ∴FG＝AG．②解：由上述证明可得∠F＝∠C＝∠FAC， ∴AF∥BC，故答案为：AF∥BC． （2）解： ∵将△BDC绕点D旋转得到△EDF， ∴△DEF≌△DBC， ∴∠DEF＝∠B，DE＝DB，EF＝BC， ∴∠DEB＝∠B， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB＝180°﹣2∠B， ∵∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣2∠B， ∴∠ACB＝∠CEF， ∴CG＝EG， ∴AC﹣CG＝EF﹣EG，即AG＝FG， ∴=， ∵∠CGE＝∠AGF， ∴△CGE∽△AGF， ∴∠GAF＝∠GCE， ∴AF∥BC． （3）解： ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴AD＝BD，∠BDC＝∠PDC＝90°， ∴BC==，由（2）可知∠CAB＝∠B＝∠DEB， ∴△CAB∽△DEB， ∴=， ∴BE==， ∴CE=BC-BE=， ∵∠EDF＝∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴∠EDF﹣∠FDC＝∠ADC﹣∠FDC，即∠ADF＝∠EDC， ∵AD＝BD＝DE，DF＝DC， ∴△ADF≌△EDC（SAS）， ∴AF=CE=， ∵AF∥BC， ∴△PAF∽△PBC， ∴===， ∴=，解得PA＝3， ∵PC==2， ∴PF=PC=． （来源：2026春•达州校级期末） 27．（10分）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，将△DBA绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DEA（如图2），我们称△DEA为△DBC的“旋补三角形”．△DEA的边EA上的中线DF叫做△DBC的“旋补中线”． （1）在图2，图3，图4中，△DEA为△DBC的“旋补三角形”，DF是△DBC的“旋补中线”．①如图2，∠BDE+∠CDA＝ °；②如图3，当△DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF＝ BC；③如图4，当∠BDC＝90°时，BC＝4时，则DF长为 ； （2）在图2中，当△DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明． （3）如图5，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6，BE⊥AD，E为垂足．在线段BE上是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】180 【解答】解： （1）① ∵∠ADE+∠BDC＝180°， ∴∠BDE+∠CDA＝180°，故答案为：180；②当△DBC为等边三角形时，BC＝DB＝DE＝DC＝DA，∠BDC＝60°， ∴△ADE是等腰三角形，∠ADE＝120°，∠E＝30°，又 ∵DF是△ADE的中线， ∴DF⊥AE， ∴Rt△DEF中，DF=DE， ∴DF=BC，故答案为：；③当∠BDC＝90°时，BC＝4时，易得△ADE≌△CDB， ∴AE＝BC＝4， ∴Rt△ADE中，DF=AE＝2；方法2：由旋转可知△ADE≌△CDB， ∴DF为△BCD的中线， ∴DF=AE＝2；故答案为：2； （2）猜想：DF=AE．证明：如图2，延长DF至G，使得FG＝DF，连接EG，AG， ∵EF＝FA，FG＝DF， ∴四边形AGED是平行四边形， ∴EG∥DA，GE＝AD＝CD， ∴∠GED+∠ADE＝180°，又 ∵∠BDC+∠ADE＝180°， ∴∠BDC＝∠DEG，在△GED和△CDB中，， ∴△DGE≌△CDB（SAS）， ∴BC＝DG， ∴DF=DG=BC； （3）存在．理由：如图5，延长AD，BC，交于点F，作线段BC的垂直平分线PG，交BE于P，交BC于G，连接PA、PD、PC，由定义知当PA＝PD，PB＝PC，且∠DPA+∠CPB＝180°时，△PDC是△PAB的“旋补三角形”， ∵∠ADC＝150°， ∴∠FDC＝30°，在Rt△DCF中， ∵CD＝2，∠DCF＝90°，∠FDC＝30°， ∴CF＝2，DF＝4，∠F＝60°，在Rt△BEF中， ∵∠BEF＝90°，BF＝14，∠FBE＝30°， ∴EF=BF＝7， ∴DE＝EF﹣DF＝3， ∵AD＝6， ∴AE＝DE，又 ∵BE⊥AD， ∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△BPG中， ∵BG=BC＝6，∠PBG＝30°， ∴PG＝2， ∴PG＝CD，又 ∵CD∥PG，∠PGC＝90°， ∴四边形CDPG是矩形， ∴∠DPG＝90°， ∴∠DPE+∠BPG＝90°， ∴2∠DPE+2∠BPG＝90°，即∠DPA+∠BPC＝180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”． （来源：2026•寿县模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $