第二十八章 旋转 单元培优测试 2026--2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学（人教版）上学期单元培优测试 第二十八章 旋转 （考试时间 90 分钟　满分 120 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列现象中，属于旋转的是（　　） A．电梯的上下运动 B．传送带上物体的移动 C．钟表时针的转动 D．火车在平直轨道上行驶 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．角 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 4. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5. 如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．将线段 绕原点 逆时针旋转 得到线段 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 7. 如图，把 绕点 顺时针旋转 得到 ， 与 交于点 ．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． （第7题图） （第8题图） 8. 如图，在正方形 中，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．若 ，则 的长为（　　） A． B． C． D． 9. 如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 落在边 上．若 ，则旋转角 的度数为（　　） A． B． C． D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知 、，将 绕原点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点的坐标是_______． 12. 如图，在 中，，，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的度数为_______． 13. 在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则 的值为_______． 14. 如图，将 （）绕点 顺时针旋转 得到 ．若 ，则 的长为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 旋转 得到 ．已知 、，则点 的坐标为_______． 16. 如图，在 中，，，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则线段 的长为_______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17. （6分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 、、． (1) 画出 关于原点 成中心对称的 ，并写出点 的坐标；（3分） (2) 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出旋转后的图形，并写出点 、 的坐标．（3分） 18. （6分）如图，在正方形网格中， 的三个顶点 、、 都在格点上，每个小正方形的边长为 ． (1) 画出 绕点 逆时针旋转 后的图形 ；（3分） (2) 求线段 的长．（3分） 19. （8分）如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，点 落在边 上，且 ，． (1) 求证： 是等边三角形；（4分） (2) 若 ，求 的长．（4分） 20. （8分）如图，在正方形 中，点 在边 上，将 绕点 逆时针旋转 得到 ． (1) 求证：点 、、 在同一条直线上；（4分） (2) 若 ，，求 的长．（4分） 21. （10分）【手拉手模型】如图， 和 都是等腰直角三角形，，，，连接 、． (1) 求证：；（4分） (2) 若 与 交于点 ，求 的度数；（3分） (3) 若 ，，直接写出线段 长的取值范围．（3分） 22. （10分）如图，某公园有一块边长为 的正方形草坪 ，在边 上有一点 ，且 ．现修建一条从 到 的小路，并将 绕点 逆时针旋转 得到 ，在 区域内种植花卉． (1) 求小路 的长；（3分） (2) 求四边形 的面积；（4分） (3) 求 的面积．（3分） 23. （12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 、，将 绕原点 逆时针旋转 得到 ． (1) 求点 、 的坐标；（3分） (2) 求 的面积；（4分） (3) 在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．（5分） 24. （12分）【新定义】在平面直角坐标系中，对于点 ，若将点 绕原点 逆时针旋转 后，再向右平移 个单位得到点 ，则称点 为点 的“旋转平移点”． (1) 已知点 ，求点 的“旋转平移点”的坐标（用含 的式子表示）；（3分） (2) 已知点 ，若点 的“旋转平移点”在 轴上，求 的值；（4分） (3) 已知点 在第一象限，点 的“旋转平移点”为 ．若 与点 关于原点对称，求 、 满足的关系式，并判断这样的点 是否存在．（5分） 参考答案 1. C【解析】旋转是图形绕某一点按一定方向转动一定角度的变换，转动过程中图形上各点到旋转中心的距离不变．A 项、B 项、D 项中物体的运动方向都不改变，属于平移；只有 C 项中时针绕表盘中心转动，属于旋转．故选 C． 2. B【解析】中心对称图形是绕某一点旋转 后能与自身重合的图形． 等边三角形、正五边形、角都只是轴对称图形，绕中心旋转 后不能与自身重合． 平行四边形绕对角线的交点旋转 后能与自身重合，是中心对称图形．故选 B． 3. C【解析】轴对称图形需沿某条直线折叠后两部分重合，中心对称图形需绕某点旋转 后与自身重合，两者要求不同．等边三角形与正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形．正方形既是轴对称图形（有 条对称轴），又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）．故选 C． 4. D 【解析】关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数． 点 关于原点的对称点坐标为 ．故选 B． 5. B 【解析】由旋转的性质，旋转角 ，且 ． 因为 ，所以 ．故选 B． 6. A 【解析】点 绕原点逆时针旋转 后，对应点的坐标为 ． 把 代入得 ．故选 A． 7. C 【解析】由旋转的性质，，即 ，且 ． 在 中，． 所以 ．故选 C． 8. B 【解析】由旋转的性质，，旋转角 ． 在 中，．故选 B． 9．D 【解析】由旋转的性质，，故 是等腰三角形，． 所以 ．故选 D． 10．B 【解析】点 绕原点逆时针旋转 后，对应点的坐标为 ． 把 代入得 ．故选 B． 11．【解析】关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数． 故点 关于原点的对称点坐标为 ． 12．【解析】由旋转的性质，，旋转角 ，所以 是等边三角形，．又 ．因为 ，，所以 ，故 ． 所以 ． 13．【解析】由关于原点对称的两点坐标特征得 ，． 所以 ． 14．【解析】由旋转的性质，，旋转角 ． 在 中，． 15． 【解析】绕点 旋转 即作关于点 的中心对称，点 是对应点所连线段的中点． 设 ，则 ，，解得 ，． 故点 的坐标为 ． 16． 【解析】由旋转的性质，，旋转角 ． 又 ，所以点 、、 在同一条直线上，且点 在点 与点 之间． 因为 ，，所以 ． 17．解：分别作出 、、 关于原点 的对称点 、、，顺次连接得 （如图），故点 的坐标为 ．（3 分） 绕点 顺时针旋转 ：，顺时针旋转 后为 ，故 ；，顺时针旋转 后为 ，故 ．顺次连接 、、 得 （如图）．（3 分） 18．解：由旋转的性质，，，．分别作出点 、 绕点 逆时针旋转 后的对应点 、，顺次连接 、、 得 （如图）．（3 分） ．由旋转的性质，，．在 中，．故线段 的长为 ．（3 分） 19．解：由旋转的性质得 ．又 ，所以 是有一个角为 的等腰三角形，即 是等边三角形．（4 分） 由 是等边三角形得 ．由旋转的性质得 ，对应边 与 相等，故 ．（4 分） 20．解：由旋转的性质得 ，故 ．因为四边形 是正方形，所以 ，．于是 ，即点 、、 在同一条直线上．（4 分） 由旋转的性质得 ，旋转角 ．在 中，．在 中，．（4 分） 21．解：因为 ，所以 ，即 ．又 ，，所以 （SAS），故 ．（4 分） 由 得 ．设 与 交于点 ，在 与 中，，，所以 ．（3 分） 在 中，由三角形的三边关系得 ，即 ．（3 分） 22．解：在 中，．故小路 的长为 ．（3 分） 由旋转的性质得 ，故 ．于是 ．故四边形 的面积为 ．（4 分） 由旋转的性质得 ，．故 ，即 的面积为 ．（3 分） 23．解：点 绕原点逆时针旋转 后对应点的坐标为 ．故 的对应点为 ， 的对应点为 ．（3 分） 由旋转的性质得 ，，且 ．故 ．所以 的面积为 ．（4 分） 存在．，，设 ，则 ，，．分三种情况：①当 时，，解得 ，此时 ；②当 时，，解得 或 ，其中 时点 与点 重合、不能构成三角形，故 ；③当 时，，解得 或 ，此时 或 ．综上，满足条件的点 的坐标为 、、、．（5 分） 24．解：点 绕原点逆时针旋转 后对应点的坐标为 ．点 旋转后得到 ，再向右平移 个单位得 ．故点 的“旋转平移点”的坐标为 ．（3 分） 点 旋转后得到 ，再向右平移 个单位得 ．该点在 轴上，则横坐标为 ，即 ，解得 ．（4 分） 点 旋转后得到 ，再向右平移 个单位得 ．由 与点 关于原点对称得 ，于是 ，，即 ．因为点 在第一象限，所以 ，，从而 ，与 矛盾．故这样的点 不存在．（5 分） 九年级数学第二十八章《旋转》单元培优测试卷　第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $