第二十七章 一次函数与反比例函数图像综合判断、一次函数与反比例函数交点问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

一次函数与反比例函数图像综合判断、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 一次函数与反比例函数图像综合判断、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 考点目录 一次函数与反比例函数图像综合判断 一次函数与反比例函数交点问题 考点一 一次函数与反比例函数图像综合判断 例1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 考点二 一次函数与反比例函数交点问题 例1．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 例2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 例3．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 例4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 例5．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 例6．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求k的值； (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集； 变式1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 变式4．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 变式5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 变式6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数与反比例函数图像综合判断、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 一次函数与反比例函数图像综合判断、一次函数与反比例函数交点问题专项训练 考点目录 一次函数与反比例函数图像综合判断 一次函数与反比例函数交点问题 考点一 一次函数与反比例函数图像综合判断 例1．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 例2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 变式1．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，判断反比例函数图象所在象限，一次函数与反比例函数图象综合判断等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据，分、两种情况讨论，分别得出两个函数图象的大致位置，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，一次函数过第一、二、三象限， 反比例函数在第一、三象限，故A符合； 当时，一次函数过第二、三、四象限， 反比例函数在第二、四象限，没有选项符合， 故选：A． 考点二 一次函数与反比例函数交点问题 例1．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 例2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，联立反比例函数与直线的解析式，结合线段的取值范围确定的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是， 联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得； ∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 例3．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 例4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 例5．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ； (2)点的坐标为． 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差： 整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 例6．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求k的值； (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点坐标代入求出k的值即可； （2）利用函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）解：由可知，反比例函数图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为或． 变式1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 变式2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 变式4．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将交点分别代入两个函数解析式，得到和的值，将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解：点是与的交点， 将代入，得，变形得， 将代入，得，变形得， ． 变式5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 变式6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：当或时，； （3）解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $